湖南省娄底市2024-2025学年湖南省汨罗市高二上学期开学考试数学检测试题合集2套（附解析）

湖南省娄底市2024-2025学年湖南省汨罗市高二上学期开学考试数学检测试题（一）一、单选题（本大题共8小题）1．若，则（

）A． B． C． D．2．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．为了培养青少年无私奉献，服务社会，回馈社会的精神，某学校鼓励学生在假期去社会上的一些福利机构做义工．某慈善机构抽查了其中100名学生在一年内在福利机构做义工的时间（单位：小时），绘制成如图所示的频率分布直方图，则x的值为（

）A．0.0020 B．0.0025 C．0.0015 D．0.00304．已知四边形中，，并且，则四边形是（

）A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形5．抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，事件“两枚硬币都正面朝上”，事件“至少一枚硬币反面朝上”则（

）A．与独立 B．与互斥 C． D．6．在中，内角所对的边分别为，若，则的形状一定为（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形7．已知两个平面，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（

）A．都垂直于一个平面B．平面内有无数条直线与平面平行C．是内两条直线，且都与平面平行D．是两条异面直线，且分别与平面都平行8．已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为棱上一点，则三棱锥的体积为（

）A．3 B． C．1 D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C．向量与夹角是 D．10．若，则下列结论正确的有（

）A． B．若，则C．若，则 D．若，则11．如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列判断正确的是（

）A．三棱锥的体积是定值B．过，，三点的平面截正方体所得的截面是六边形C．存在唯一的点，使得D．与平面所成的角为定值三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量，，且，则．13．甲､乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是.14．在中，，满足此条件有两解，则边长度的取值范围为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知向量，．(1)若与垂直，求实数k的值；(2)已知O，A，B，C为平面内四点，且，，．若A，B，C三点共线，求实数m的值．16．如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，.

(1)求证：平面；(2)求证：平面.17．在中，(1)求值；(2)求角和的面积.18．某地区课改时实行高考新方案试点，规定：语文、数学和英语是必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率.选考情况第1门第2门第3门第4门第5门第6门物理化学生物历史地理政治高一选科人数807035203560高二选科人数604555404060高三选科人数504060404070(1)已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；(2)现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率；(3)假设三个年级选择选考科目是相互独立的.为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，求这3名学生均选择了第1门科目的概率.19．如图，在三棱柱中，底面中角为直角，，侧面底面.(1)求证：；(2)当，直线与平面所成角为时，（i）求证：平面平面；（ii）求二面角的正弦值.

参考答案1．【答案】C【分析】求出向量的坐标，根据模的计算公式求得答案.【详解】因为，所以,因此，，故选：.2．【答案】C【分析】化简复数后，利用复数对应象限内点的特征求解即可.【详解】由题意得，故在复平面内对应的点为，该点位于第三象限.故选C.3．【答案】B【分析】根据题意结合频率和为1列式求解即可.【详解】由题意可得：，解得.故选：B.4．【答案】A【分析】由，得到四边形为平行四边形，再由，得到，得出四边形为菱形.【详解】由题意，四边形中，因为，可得且，所以四边形为平行四边形，又因为，可得，所以四边形为菱形.故选：A.5．【答案】D【分析】写出样本空间及事件，再结合相互独立事件、互斥事件判断AB；利用古典概率公式计算判断CD.【详解】样本空间{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，事件{(正,正),(正,反)}，事件{(正,反),(反,反)}，事件{(正,正)}，事件{(正,反),(反,正),(反,反)}，对于A，，而，，与不独立，A错误；对于B，事件可以同时发生，与不互斥，B错误；对于C，，C错误；对于D，{(正,正),(正,反),(反,反)}，，D正确.故选：D6．【答案】A【分析】利用余弦定理将化为，然后化简可得答案.【详解】，由余弦定理可得，则，则，所以为直角三角形.故选：A.7．【答案】D【分析】根据空间线面位置关系，依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，都垂直于一个平面，平面与平面平行或相交，故错误；对于B选项，平面内有无数条直线与平面平行，则两个平面平行或相交，故错误；对于C选项，当是内两条相交直线，且都与平面平行时，，故错误；对于D选项，是两条异面直线，且分别与平面都平行，则，故正确.故选：D8．【答案】C【分析】连接,通过已知条件证明平面,即为三棱锥的高，再通过三棱锥的体积公式计算即可.【详解】如图所示，连接,因为为正三角形，且为中点，所以,又因为平面,且平面，所以,因为,平面,平面，所以平面,所以为三棱锥的高，且,所以.故选C.9．【答案】BCD【分析】根据题意，由条件可得，再由平面向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】因为向量，，则，且，则，解得，故A错误；因为，，则，故B正确；因为，则，故C正确；因为，则，故D正确；故选：BCD10．【答案】BCD【解析】对于选项ABC：利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项D：利用作差法判断即可.【详解】对于选项A：若，由基本不等式得，即，得，故，当且仅当时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若，，，当且仅当且，即时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由，，即，由基本不等式有：，当且仅当且，即时取等号，所以选项C正确；对于选项D：，又，得，所以，所以选项D正确；故选：BCD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11．【答案】AC【分析】利用，结合的面积为定值，点到平面的距离为定值，可判断A；平面的基本性质作出面与的交点，利用正方体的性质及线线平行、线面平行、中位线性质判断B；当为中点时，可得，进而判断C；到平面的距离一定，而长度随运动会变化，结合线面角定义判断D.【详解】因为是线段上的动点，而且，所以的面积为定值，又点到平面的距离为定值，，所以三棱锥的体积是定值，A正确；过作分别交，的延长线于，，连接，，如图，为，的交点，为，的交点，所以截面为五边形，B错误；在上运动，当时，，而为中点，所以当为中点时，，故存在唯一的点使得，C正确；由，平面，平面，则平面，所以到平面的距离一定，而长度随运动会变化，故与平面所成的角不为定值，D错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题A选项解决的关键在于，利用线线平行得到点到的面积为定值，从而得解.12．【答案】【分析】根据向量平行的坐标运算求解.【详解】因为，则，解得.故答案为：.13．【答案】【分析】设这道题没被解出来为事件A，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率【详解】设数学题没被解出来为事件A，则，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率：.故答案为：14．【答案】【分析】根据三角形有两解，应满足，化简即可求解.【详解】有两解，，.故答案为：.15．【答案】(1)；(2).【分析】(1)由向量坐标线性运算结合垂直关系的坐标运算，列出方程求解即可；(2)由向量的加减、数乘运算表示，，再由共线定理解出实数m的值．【详解】(1)，则，因为与垂直，所以，解得．(2)，，，，因为A，B，C三点共线，所以．所以，解得．16．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由菱形的性质证得，由已知平面，证得，由线面垂直的判定定理得证平面；（2）取的中点，证明四边形为平行四边形，得证，由线面平行的判定定理得平面.【详解】（1）证明：连接，交于点，因为四边形为菱形，所以，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面；

（2）证明：取的中点，连接，又为的中点，有，，已知，，则有，，四边形为平行四边形，有，即有，平面，平面，所以平面.17．【答案】(1)(2)，的面积为【详解】（1）在中，由正弦定理得因为，所以，由余弦定理得，代入，解得或（舍）（2）由余弦定理推论得，因为，所以角；因此的面积为.18．【答案】(1)80人(2)(3)【分析】（1）由样本中选择历史学科的比例结合高一年级学生总人数即可得解.（2）先确认各年级样本中抽取的人数并进行编号，列出从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛所有可能的结果，再由2名参赛同学来自相同年级的可能结果即可求出2名参赛同学来自不同年级的概率.（3）先求出样本中三个年级选第一门科目的概率即可依据相互独立乘法概率公式进一步求出所求概率.【详解】（1）由题意知，样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，故估计高一年级选历史学科的学生有人.（2）由表格数据可知应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，编号依次为，，，，，从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，所有可能的结果为，，，，，，，，，，共10种，设为事件“这2名参赛同学来自不同年级”，则为事件“这2名参赛同学来自相同年级”有，共2种，所以事件发生的概率.（3）样本中三个年级选第一门科目的学生分别为80，60，50，所以样本中三个年级选第一门科目的概率分别为，所以现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，则这3名学生均选择了第1门科目的概率为.19．【答案】(1)证明见解析(2)（i）证明见解析；（ii）【分析】（1）先求证平面，进而得，接着由是菱形得，从而得平面，进而得证.（2）（i）求证平面即可由面面垂直的判定定理得证平面平面；（ii）分别作交于，作交于，连接，进而得平面，从而得是二面角的平面角，接着由等面积法求出和即可由得解.【详解】（1）因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，由三棱柱性质得四边形是平行四边形，又因为，所以是菱形，所以，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以.（2）（i）当时，因为，所以，所以，由（1）平面，平面，所以，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（ii）因为平面，平面，所以直线与平面所成的角为，所以，因为，且，，，故，作交于，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，作交于，连接，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以，所以是二面角的平面角，因为即，所以，因为即，所以，所以，所以二面角的正弦值为.【点睛】思路点睛：本题在求二面角时采用的方法是定义法，通过作交于和作交于，从而作出二面角的棱的垂面，进而得到二面角的平面角，再由等面积法求出和即可得解.2024-2025学年湖南省汨罗市高二上学期开学考试数学检测试题（二）一、单选题（本大题共8小题）1．已知向量，，且，则（

）A．6 B． C． D．2．若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（

）A． B． C． D．3．下列各组数的方差最大的是（

）A．5，5，5，5，5，5，5，5，5 B．4，4，4，5，5，5，6，6，6C．3，3，4，4，5，6，6，6，7，7 D．2，2，2，2，5，8，8，8，84．已知m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，则5．若向量，满足，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．6．圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（

）A．圆台的母线长是20 B．圆台的表面积是C．圆台的高是 D．圆台的体积是7．位于四川省乐山市的乐山大佛，又名“凌云大佛”，是世界文化与自然双重遗产之一．如图，已知PH为佛像全身高度，PQ为佛身头部高度（PQ约为15米）．某人为测量乐山大佛的高度，选取了与佛像底部在同一水平面上的两个测量基点A，B，测得米，米，，在点A处测得点Q的仰角为48.24°，则佛像全身高度约为（

）（参考数据：取，，）

A．56米 B．69米 C．71米 D．73米8．如图，已知正方形的边长为2，，分别是，的中点，平面，且，则与平面所成角的正弦值为（

）

A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题）9．对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中假命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．如图，E，H分别在线段PA，PD上，C是线段AD的中点，F是线段EH的中点，，PC与EH交于点G，则（

）

A． B． C． D．11．在等腰直角三角形中，，，则下列命题正确的是（

）A． B．C． D．12．已知O为坐标原点，点，，，，则（

）A． B．C． D．三、填空题（本大题共4小题）13．已知点B是点在坐标平面内的射影，则.14．已知平面向量的夹角为，则15．已知三棱锥，底面，且是边长为的正三角形，，则该三棱锥的外接球表面积是．16．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是．

四、解答题（本大题共6小题）17．已知，求下列各式的值.(1)；(2).18．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取60个直播商家进行问询交流.

(1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示.（i）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）；（ii）若将平均日利润超过470元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数.19．已知复数，．(1)若是纯虚数，求的值；(2)若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围．20．已知，，其中，函数的最小正周期为.(1)求函数的单调递增区间；(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围.21．在锐角中，角的对边分别为，，，已知且．(1)求角A的大小；(2)若，求的面积；(3)求的取值范围．22．在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．

参考答案1．【答案】B【分析】根据平面向量的共线定理，列出方程求出的值.【详解】向量，，且，，解得.故选B.2．【答案】C【分析】根据象限角的概念判断即可.【详解】若是第一象限角，则，，则是第四象限角，故D错误；，则是第一象限角，故A错误；，则是第二象限角，故B错误；，则是第三象限角，故C正确.故选C.3．【答案】D【分析】根据平均数、方差的公式逐一计算并比较即可得解.【详解】对于A，所有数都是5，所以方差为0，对于B，该组数据的平均数为，方差为，对于C，该组数据的平均数为，方差为，对于D，该组数据的平均数为，方差为，对比各个选项可知，D符合题意.故选D.4．【答案】D【分析】由平行于同一平面的两直线的位置关系判定A；由面面垂直、线面垂直判定线面关系判断B；由两平行平面内两直线的位置关系判断C；由平面与平面垂直的判定定理判断D．【详解】若，，则或m与n相交或m与n异面，故A错误；若，，则或，故B错误；若，，，则或m与n异面，故C错误；若，，由面面垂直的判定定理可得，故D正确.故选D.5．【答案】C【分析】由向量垂直的数量积表示得，然后由向量夹角公式计算．【详解】由已知得，，，，所以.故选C．6．【答案】C【分析】根据给定条件，作出圆台侧面展开图，求出圆台的母线长和高，再利用表面积和体积公式求解判断作答.【详解】依题意，圆台侧面展开图，如图，

设圆台的上底面周长为，由扇环的圆心角为，得，又，则，同理，于是圆台的母线，高，表面积，体积，ABD正确，C错误.故选C.7．【答案】C【分析】由余弦定理可得，再由，可求得，从而可得结论.【详解】由余弦定理可得．依题意得，则，所以，则，故佛像全身高度约为71米．故选C.8．【答案】D【分析】连接、，且、分别交于、，证明平面，再利用面面垂直的判定得平面平面，再作出，利用面面垂直的性质有平面，最后根据线面角的定义计算相关长度即可.【详解】如图，连接、，且、分别交于、.四边形是正方形，、分别为和的中点，故为的中点，平面，平面，平面，到平面的距离就是点到平面的距离.，即，平面，平面，，平面，平面平面平面平面，作交于点，平面，平面平面，平面，线段的长就是点到平面的距离.正方形的边长为.平面，平面，所以，在中，，根据，有，得，，平面，的长即为点到平面的距离，，即与平面成角的正弦值为.故选D.

9．【答案】ABC【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，若，可得或，所以A是假命题；对于B中，若，可得或，所以B是假命题；对于C中，由，设，当且时，可得，此时，所以C是假命题；对于D中，如图所示，过点作，因为，可得，设，可得，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，因为，所以，在矩形中，可得，所以，即，所以D正确.故选ABC.

10．【答案】CD【分析】由题意，选定和作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，将和用基底表示出来，比较系数即可求得．【详解】设，，因为是线段的中点，则有，由，可得，设，则由平面向量基本定理可得，解得，又，，三点共线，故可设，设，由为中点可知，，将代入可得，即，正确；又，，，设，则有，即，解得，，故，正确；故选CD．11．【答案】AD【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A正确；由，可判定B不正确；，可判定C不正确；由，，结合数量积的运算公式，可判定D正确.【详解】如图所示，等腰直角中，，，对于A中，由，所以A正确；对于B中，由，所以B错误；对于C中，由，所以，所以C错误；对于D中，由，所以，所以D正确.故选AD.

12．【答案】ABD【分析】AB选项，利用向量模长公式计算得到，；C选项，由向量数量积公式得到不一定相等；D选项，由向量数量积运算法则，和差化积公式计算出，D正确.【详解】A选项，，，故，A正确；B选项，，故，，故，由于，故，B正确；C选项，，，因为不一定相等，故不一定相等，C错误；D选项，由和差化积可得，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选ABD.【思路导引】和差化积公式：，，，积化和差公式：，，，.13．【答案】【解析】根据空间中点的对称关系得到B点的坐标，利用两点之间的距离公式得到结果．【详解】∵点B是点在坐标平面内的正射影，∴B在坐标平面上，横标和纵标与A相同，而竖标为0，∴B的坐标是，∴.故答案为：.14．【答案】【分析】由向量的数量积运算及运算律可求得答案.【详解】，所以．故答案为：.15．【答案】【分析】取的中点，连接，过点作平面，得到球心在上，过球心作，则球的半径为，求得，求得球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】取三角形的中心，连接，过点作平面，因为为边长为的等边三角形，所以球心在上,不妨设为三棱锥外接球球心，过球心作，交于点，则球的半径为，因为在三棱锥中，底面，且是边长为的等边三角形，,所以，因为，所以，所以，所以球的半径，所以该三棱锥外接球的表面积为.故答案为：.16．【答案】【分析】根据线面平行判定定理以及面面平行判定定理，利用线面角的定义，结合锐角三角函数的定义，可得答案.【详解】如图，取的中点，的中点M，连接AM，AN，MN，，，

由正方体，E，N分别为，的中点，易知，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面BEF，平面BEF，所以平面BEF，因为E，F分别为，的中点，由中位线性质可得，同理可知，所以，又因为平面，平面，所以平面，又，平面AMN，所以平面平面，因为P是底面上一点，且平面，所以点，由分别为的中点，且，，则，，即，由，则在等腰中，底边上的高，则AP的长度的取值范围为，设与平面成角为，在正方体中，易知平面，且为垂足，所以．故答案为：.【思路导引】本题的解题关键在于面面平行的性质定理以及线面角定义的理解，利用正方体的几何性质，得以解题.17．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得，将要求的表达式转化只含的形式，由此求得表达式的值.（2）利用“”的代换的方法求得表达式的值.【详解】（1）由于，所以，所以.（2）.18．【答案】(1)小吃类21家，生鲜类9家.(2)（i）中位数为元，平均数为440元；（ii）256.【分析】（1）根据分层抽样的定义计算即