2024-2025学年湖南省长沙市高二上学期开学摸底考数学检测试题合集2套（附解析）

2024-2025学年湖南省长沙市高二上学期开学摸底考数学检测试题（一）一、单选题（本大题共8小题）1．（

）A． B． C． D．2．若集合，则是（

）A．或 B．C． D．3．已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能是（

）A． B．C． D．4．在四面体ABCD中，点M，N满足，，若，则（

）A． B． C． D．15．已知，，则（

）A． B． C． D．6．甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（

）A．甲：平均数为，中位数为 B．乙：中位数为，众数为C．丙：平均数为，方差为 D．丁：中位数为，方差为7．在正四棱柱中，，，设四棱柱的外接球的球心为，动点在正方形的边上，射线交球的表面于点，现点从点出发，沿着运动一次，则点经过的路径长为（

）A． B． C． D．8．如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知复数的虚部与的实部均为2，则下列说法正确的是（

）A．是虚数B．若，则C．若，则与对应的点关于x轴对称D．若是纯虚数，则10．一口袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球，则下列结论正确的是（

）A．从中任取3球，恰有一个红球的概率是；B．从中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为；C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为；D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为.11．已知平行六面体的棱长均为1，分别是棱和的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则∥面C．若，则面D．若是线段的中点，是线段上的动点，则的最小值是三、填空题（本大题共3小题）12．已知函数若函数仅有一个零点，则实数m的值是．13．《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，岁至岁儿童青少年超重肥胖率高达为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取名学生，测量他们的体重(单位：千克)，根据测量数据，按，，，，，分成六组，得到的频率分布直方图如图所示，根据调查的数据，估计该地中学生体重的分位数是．14．已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大，母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的外接球(圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上)的体积为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知两组各有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：10，11，12，13，14，组：12，13，15，14，．假设所有病人的康复时间相互独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．(1)如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(2)如果，事件：“甲康复时间为11天”，事件：“甲乙康复时间之和为25天”，事件是否相互独立？16．如图所示，已知底面，，，且，为的中点．

(1)若，求三棱锥的体积．(2)求证：；17．已知函数.(1)当时，函数存在零点，求实数的取值范围；(2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求的取值范围.18．在中，内角，，的对边分别为，，，且．(1)求角；(2)点在边上，且，，求面积的最小值．19．已知正实数集，定义：称为的平方集.记为集合中的元素个数.(1)若，求集合和；(2)若，求；(3)求证：，并指出取等条件．

参考答案1．【答案】A【分析】利用辅助角公式，即可化简求值.【详解】原式.故选A.2．【答案】B【分析】先解不等式求出两个集合，再求两集合的交集即可.【详解】由，得或，解得或，所以或，由，得，所以，所以.故选B.3．【答案】A【分析】利用排除法，根据题意结合函数定义域以及函数值的符号分析判断.【详解】由题意可知：的定义域为，故B错误；当，先正后负，则有：对于C：因为，则，可知，故C错误；对于D：因为，则，但的符号周期性变化，故D错误；故选A.4．【答案】C【分析】直接利向量的线性运算求出结果．【详解】在四面体中，由于点，满足，，如图所示：故，故．故选C.5．【答案】A【分析】由结合两角差的正切公式求得.【详解】由得，故选A.6．【答案】C【分析】根据平均数、中位数、方差的定义，通过举例排除ABD，由假设推理判断C．【详解】若甲的5个点数分别是，满足选项A；若乙的5个点数分别是，满足选项B；若丁的5个点数分别是，平均数为4，其方差为，满足选项D；若丙的平均数为2，又有点数6，则方差，不可能满足C，因此丙不会出现点数6.故选C．7．【答案】A【分析】点的路径是4段长度相等的弧，求出圆心角可得弧长.【详解】因为正四棱柱外接球的直径为其体对角线的长，故（为正四棱柱外接球的半径）.所以.所以为等边三角形，所以.所以劣弧的长为：.所以点经过的路径长为：.故选A.8．【答案】B【分析】根据题设条件可得，然后利用三角变换公式结合正弦函数的性质可求最大值.【详解】由余弦定理可得，整理得到，，则，整理得到：，而，故，而，故，设，则，其中为锐角且，因为，故，故，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故选B.9．【答案】ACD【分析】借助虚数定义可得A；借助模长共识计算即可得B；借助共轭复数定义与复数的几何意义可得C；借助复数的乘法运算与纯虚数定义及模长定义即可得D.【详解】可设复数，A选项：根据虚数定义可知A正确；B选项：，所以，则，所以，，所以，故B错误；C选项：若，所以，所以，，所以，对应的点分别为和，则关于x轴对称，故C正确；D选项：因为，且是纯虚数，所以，所以，，则，所以，故D正确．故选ACD.10．【答案】AC【分析】A应用古典概型求概率即可；B、D由取到白球服从分布，应用二项分布概率公式求出对应事件的概率；C由题设第二次取球时剩余4个红球、2个白球即可判断.【详解】A：任取3球恰有一个红球的概率，正确；B：由每次取到红白球概率分别为，则取到白球服从分布，则恰好有两个白球的概率，错误；C：第一次取到红球，则剩余4个红球、2个白球，故第二次取到红球的概率为，正确；D：由B分析知：，错误.故选AC.11．【答案】ACD【分析】选项，在，，中依次使用余弦定理即可解得；B选项，假设平面成立，由线面平行的性质可知，由平行线分线段成比例可知,找出全等三角形,可得；C选项，分别证明，由线面垂直的判定可得平面；D选项，找出全等三角形,可知当最小时，故最小，故此时三点共线，利用余弦定理求的长度即的最小值.【详解】由题设可知，平行六面体的六个面均为一个角是的菱形，连接交于点，在菱形中易得,又O为中点，则，在直角三角形中有,在中，由余弦定理可得，解得，则，在中，由余弦定理得,则，在中，余弦定理可得,解得，A正确；连接交于G，连接交于H，由于分别是棱和的中点,可得，连接,交于点，则有，故，若平面,平面,平面平面,则，故,易得,故,与题设不符，B错误；设与交于点，连接，因为分别是，的中点,则,在菱形中易得，则，又是中点，则，则，过点C作，使，连接,易得，在平面内由余弦定理得，解得，又，，则，则，又，则，因为平面,平面，面，C正确；由平行六面体的对称性可得,则，当最小时，可知最小，故此时三点共线，此时易得N为的中点，由可得,由B选项可知,又，则,在中，由余弦定理可得,解得，故的最小值是，D正确.故选ACD.【关键点拨】空间中的最值问题，一般情况下会利用转化到同一个平面内，将其化简为代数类问题解决往往比较容易.12．【答案】0【分析】根据解析式分析的单调性并画出大致图象，将问题化为与仅有一个交点，数形结合求参数值.【详解】由函数解析式，在上递减，、上递增，且在处连续，所以大致图象如下，由函数仅有一个零点，即与仅有一个交点，由图知：.故答案为：0.13．【答案】【分析】先根据频率分布直方图判断分位数的位置，然后列方程求解即可.【详解】因为前2组的频率和为，前3组的频率和为，所以分位数在内，设分位数为，则，解得.故答案为：.14．【答案】【分析】结合题意计算可得，，，再设出该圆台的外接球球心，借助球的性质得到，再代入数据计算即可得.【详解】如图，设、分别为上下底面圆心，为母线，为点在底面的投影，为该圆台的外接球球心，由该圆台的侧面积为，则有，即，由下底面半径比上底面半径大，则有，由母线与下底面所成角的正切值为，则有，即，又，即有，则，即，则，则有，即，即，即，设该圆台的外接球半径为，则,故该圆台的外接球体积.故答案为：.【关键点拨】本题关键点在于设出该圆台的外接球球心，从而借助勾股定理得到.15．【答案】(1)(2)不相互独立【分析】（1）列举符合条件的基本事件，即可由古典概型的概率公式求解，（2）分别求解,即可根据相互独立事件满足的关系求解.【详解】（1）如果，从两组随机各选1人，样本空间，，共有25种，甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有，共有8种，所以概率为；（2）当时，，事件的情况有，共4种所以事件：“甲康复时间为11天且甲乙康复时间和为25天”的情况为．故所以事件不相互独立．16．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用体积变换法求（2）先证明DE⊥面，即证.【详解】（1）根据题意可得，，所以，由，得平面，所以（2）连接，交DE于F，

因为CE⊥面ABC，，所以所以和为直角三角形，又，，所以所以，又已知CE⊥底面ABC，，所以CE⊥AB，AB⊥BC，面，所以AB⊥面，面，所以AB⊥DE，又，所以，，面，所以DE⊥面，又面，所以DE⊥．【关键点拨】（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查体积的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.（2）空间几何体体积的计算常用的有公式法、割补法和体积变换法.17．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据函数零点的定义，利用转化法进行求解即可；（2）把公共点的问题转化为方程的解的问题，结合换元法进行求解即可.【详解】（1），当时，函数存在零点，即在时有解，设，即，即实数的取值范围为.（2）若函数与的图象只有一个公共点，则关于的方程只有一解，只有一解，令，得关于的方程有一正数解，①当时，方程的解为，不合题意；②当时，则恒成立，此方程有一正一负根，负根舍去，满足题意；③当时，满足的情况下，因为，同号，所以得满足，只需,且，解得；综上：实数的取值范围为.18．【答案】(1)A；(2)．【分析】（1）由正弦定理及余弦定理化简得到，再利用余弦定理得，根据角的范围求出即可；（2）设，求得，再通过求得，进而得到,过点做的垂线，交于点，求得，结合三角形面积公式及三角恒等变换即可求解.【详解】（1）由题意及正弦定理得，，由余弦定理得，，整理得，所以，又，故A；（2）设，则，因为，，，由于，则，在中由正弦定理得，，解得，因此，过点做的垂线，交于点，设三角形的面积为，，所以，所以，所以，当且仅当时，等号成立，即三角形面积的最小值为．19．【答案】(1)；(2)(3)答案见解析【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可；（2）由题意得和全都互质，所以，则答案可求；（3）分，和三种情况讨论即可.【详解】（1），；（2），要使得最小，就得使和全都互质，当中所有元素互质的时候，，即，解得：就是所求的最小值；（3）当时，取等号当时，取等号当时不妨令，则有其中中元素的个数为个，即，当且仅当，此时中只有个元素．（或指出an为等比数列）.2024-2025学年湖南省长沙市高二上学期开学摸底考数学检测试题（二）一、单选题（本大题共8小题）1．已知定义在上的偶函数满足，当时，．给出下列四个结论：①的图象关于直线对称；②在上为减函数；③的值域为；④有个零点，其中正确的结论是（

）A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②2．在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件“第二次摸出的球是红球”，事件“两次摸出的球颜色相同”，事件“第二次摸出的球是黄球”，若，则下列结论中错误的是（

）A． B．C． D．3．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于（

）A． B． C． D．4．在中，角所对的边分别为，，且的面积为，若，则（

）A． B．5 C． D．5．如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且），则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．6．是虚数单位，则（

）A． B． C． D．7．某商场做促销抽奖活动，规则如下：商家在箱中装入大小相同的20个球，其中6个红球、14个黑球，参加活动的人，每人都有放回地取球2次，每次从中任取一球，每个红球兑换20元，每个黑球兑换5元，则每位参与者获奖的期望是（

）A．15．5元 B．31元 C．9．5元 D．19元8．在中，，，垂足为D.若，，则AD的长为（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（

）

A．与所成的角为B．该半正多面体过、、三点的截面面积为C．该半正多面体的体积为D．该半正多面体的顶点数、面数、棱数满足关系式10．是虚数单位，下列说法中正确的有（

）A．若复数满足，则B．若复数，满足，则C．若复数，则可能是纯虚数D．若复数满足，则对应的点在第一象限或第三象限11．如图，已知是边长为4的等边三角形，分别是，的中点，将沿着翻折，使点运动到点处，得到四棱锥，则（

）

A．对任意的点，始终有平面B．对任意的点，始终有C．翻折过程中，四棱锥的体积有最大值9D．存在某个点的位置，满足平面平面三、填空题（本大题共3小题）12．已知，，，则．13．已知，，若，则．14．已知分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点．（1）的值为；（2）若，且的面积为，求b的值为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知平面向量，(1)若与垂直，求k；(2)若向量，若与共线，求.16．某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下：①有4次游戏机会．②依次参加A，B，C游戏.③前一个游戏胜利后才可以参加下一个游戏，若轮到C游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加C游戏，直到4次机会全部用完.④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金50元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元．已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是，乙参加每一个游戏获胜的概率都是，甲、乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下：(1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏?并说明理由．(2)在（1）的基础上，解答下列两问．（ⅰ）求该运动员能参加游戏的概率．（ⅱ）记为该运动员最终获得的奖金额，P为获得每个奖金额对应的概率，请用适当的表示法表示关于的函数．17．如图，在四边形ABCD中，，且，若P，Q为线段AD上的两个动点，且.

(1)当为AD的中点时，求CP的长度；(2)求的最小值.18．如图，已知，直线平面，为CE的中点．(1)求证：直线平面；(2)若，求证：平面平面．19．已知向量，，定义函数．(1)若函数为偶函数，求实数的值；(2)当时，关于的方程，在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的范围．

参考答案1．【答案】A【分析】根据的奇偶性和周期性，结合当时，，可得到函数的图象，可判断①②③；在同一直角坐标系中画出和的图象，即可判断④的正误．【详解】由题意知，为偶函数，且当时，，所以当时，，又因为，所以周期为2，所以当时，；当时，．故可画出的图象，如图所示：由图可知，关于对称，在先减后增，的值域为0,1，故①正确，②③错误；再在同一直角坐标系下画出的图象，由图可知：与有个交点，即有个零点，故④正确．故选A．2．【答案】C【分析】由对立事件的性质判断B；由结合乘法公式得出，进而判断ACD.【详解】依题意，事件对立，，故B正确；设盒子中有个红球，个黄球，，，故A、D正确；，故C错误.故选C.3．【答案】D【分析】由三视图可知：该几何体为高、底面边长均为2的正三棱柱，结合正三棱柱的外接球的结构特征求球的半径，即可得表面积.【详解】由三视图可知：该几何体为高、底面边长均为2的正三棱柱，则外接球的球心即为两底面三角形的中心连线的中点，如图所示：可知底面外接圆半径，则外接球的半径，所以外接球的表面积为.故选D．4．【答案】A【分析】根据三角形面积可推出，利用余弦定理即可求得答案.【详解】由于,，故有，解得，又，则,故选：A．5．【答案】D【分析】先判断出点G到平面D1EF的距离即为点A1到平面D1EF的距离，再由等体积法求解即可.【详解】∵长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），∴D1E=，∵A1B1∥EF，∴点G到平面D1EF的距离即为点A1到平面D1EF的距离，设这个距离为h，∵，∴h=．∴点G到平面D1EF的距离为．故选D．6．【答案】C【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【详解】由题意可得：.故选C．7．【答案】D【分析】由题意得到每位参与者获奖奖金数的可能取值，计算对应的概率，利用期望的公式，求得数学期望，即可求解.【详解】由题意知，设每位参与者获奖奖金数为，则的可能取值为，则，，所以每位参与者获奖的期望是（元）.故选D.【关键点拨】本题主要考查了离散型随机变量的数学期望的计算问题，其中解答中认真审题，准确求得随机变量的取值和相应的概率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.8．【答案】C【分析】结合正弦函数定义，利用射影定理求解即可.【详解】由射影定理，得，，即，，即，，又∵，∴.故选C.9．【答案】ABD【分析】由异面直线所成角的定义可判断A选项；由截面为正六边形可求面积判断B选项；利用柱体和锥体的体积公式可判断C选项；根据顶点，面数，棱数判断D选项.【详解】该半正多面体，是由棱长为的正方体沿各棱中点截去个三棱锥所得到的.

对于A选项，连接、、，易知是等边三角形，因为、分别为、的中点，则，同理可得，所以，与所成的角为，A正确；对于B选项，如图，过、、三点的截面为正六边形，又，所以正六边形面积为，B正确；对于C选项，因为由正方体沿各棱中点截去个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为，C错误；对于D选项，几何体顶点数为，有个面，条棱，满足，D正确.故选ABD.10．【答案】AD【解析】A选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A选项，设，则其共轭复数为，则，所以，即；A正确；B选项，若，，满足，但不为；B错误；C选项，若复数表示纯虚数，需要实部为，即，但此时复数表示实数，故C错误；D选项，设，则，所以，解得或，则或，所以其对应的点分别为或，所以对应点的在第一象限或第三象限；D正确.故选AD.11．【答案】AB【分析】利用线面平行的判定推理判断A；取中点，利用线面垂直的判定、性质推理判断B；求出四棱锥的体积最大值判断C；确定平面与平面所成角判断D作答.【详解】等边的边长为4，分别是，的中点，则，对于A，由，平面，平面，得平面，A正确；对于B，取的中点，连接，由，得，而平面，于是平面，又平面，则，所以，B正确；

对于C，延长交于，则，等腰梯形的面积为，由选项B知，平面平面，而平面平面，因此点在平面上的射影在上，点到平面的距离，当且仅当，即平面时取等号，四棱锥的体积为，C错误；对于D，连接，由选项C知，，即为锐角，令平面平面，由选项A知，，从而平面，又平面，则，即是平面与平面所成二面角的平面角，所以平面与平面不垂直，D错误.故选AB.12．【答案】【分析】运用平面向量数量积的运算定义和垂直的向量结论可解．【详解】因为，所以，所以，所以.故答案为：．13．【答案】【分析】运用平面向量的坐标运算，利用向量平行的坐标表示列方程求解．【详解】，，因为，所以，所以．故答案为：．14．【答案】208【分析】（1）根据椭圆的定义，直接求即可得解；（2）根据焦点三角形的性质，利用面积公式结合余弦定理，即可得解.【详解】（1）由知，，（2）设，，可得，所以，所以，所以.故答案为：（1）20；（2）8.15．【答案】(1)；(2)【分析】（1）借助数量积的坐标运算即可得；（2）借助向量共线定理与模长的坐标表示计算即可得.【详解】（1）因为，，所以，，因为与垂直，所以，整理得，解得；（2）因为，，，所以，，因为与共线，故，所以，解得，所以，，所以.16．【答案】(1)甲，理由见解析；(2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析.【分析】（1）利用频率分布直方图，结合中位数的意义判断甲乙中位数的大小即得.（2）（ⅰ）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算即得；（ⅱ）按游戏使用次数，求出值及对应的概率，再用列表法表示出函数关系即可.【详解】（1）甲运动员成绩位于的频率为0.3，则其中位数大于80，而乙运动员成绩位于的频率为0.6，，则其中位数小于80，所以甲运动员参加第二阶段游戏.（2）（ⅰ）若甲能参加游戏，则游戏至多共使用3次机会，①游戏共使用2次机会，则概率；②游戏共使