2024-2025学年河南省新乡市高二上学期开学摸底考试数学检测试题合集2套（附解析）

2024-2025学年河南省新乡市高二上学期开学摸底考试数学检测试题（一）一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则（

）A． B． C． D．3．已知是夹角为的单位向量，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．若直线的倾斜角为，则直线的一个法向量是（

）A． B． C． D．5．下列四个函数中,以为最小正周期,且在区间上为减函数的是（

）A． B． C． D．6．幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，且，则的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断7．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（

）A． B． C．3 D．8．已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（

）A． B． C．2 D．二、多选题（本大题共3小题）9．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则不可能使的是（

）A．， B．，C．， D．，10．锐角三角形中，角，，所对应的边分别是，，，下列结论一定成立的有（

）.A． B．C．若，则 D．若，则11．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法中正确的是（

）A．与是互斥事件 B．与是对立事件C． D．与是相互独立事件三、填空题（本大题共3小题）12．某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年级抽取名志愿者．13．从、、、任取两个不同的数字，分别记为、，则为整数的概率是14．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，，平面平面ABCD，中BC边上的高，则该几何体的体积为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知，，．(1)求与的夹角；(2)求与．16．2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：

(1)请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）；(2)现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.17．甲，乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲，乙各射击一次，至少击中目标一次的概率；(2)若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．18．在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分）问题：在中，角，，的对边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，求面积的最大值；(3)在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围.19．如图，在矩形中，，，是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段BC上．

(1)当点M与点重合时，①证明：平面；②求二面角的余弦值；(2)设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值．

参考答案1．【答案】B【分析】先求解两个集合，再结合两集合交集定义求解答案；【详解】因为，所以．故选B.2．【答案】C【分析】运用复数的除法运算法则进行求解即可.【详解】∵，∴.故选C.3．【答案】B【分析】直接利用投影向量定义及数量积的几何意义进行求解即可．【详解】因为．故选B．4．【答案】B【分析】先求直线斜率，得到方向向量，再取到法向量.【详解】直线的倾斜角为，直线的斜率，直线的一个方向向量为，则直线的一个法向量为．故选B.5．【答案】B【分析】根据函数图象分析周期性和单调性选出答案即可.【详解】由题知关于选项A,最小正周期为,所以选项A错误;关于选项B,画函数图象如下:根据图象可知选项B正确;关于选项C,画函数图象如下:根据图象可知周期为,选项C错误;关于选项D,画函数图象如下:根据图象可知函数在区间上为增函数,选项D错误.故选B.6．【答案】A【分析】先根据幂函数的定义和函数单调性求出m的值，再判断函数的单调性，根据单调性和奇偶性即可判断．【详解】幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，∴，解得m＝2，∴，∴在R上为奇函数，由，得，∵在R上为单调增函数，∴，∴恒成立．故选A．7．【答案】B【分析】结合图形可得，则可得四边形面积，后可得四边形的面积.【详解】设轴与交点为D，因轴，轴，则，又轴，则四边形为平行四边形，故.又，结合A′B′⊥x′轴，则，故.则四边形面积为，因四边形面积是四边形的面积的倍，则四边形OABC的面积为.故选B.8．【答案】D【分析】连接，结合圆的切线性质可推得点在以点为圆心，为半径的圆上，再由题意可知该圆与直线相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案.【详解】连接，则.又，所以四边形为正方形，，于是点在以点为圆心，为半径的圆上.又由满足条件的点有且只有一个，则圆与直线相切，所以点到直线的距离，解得.故选D.9．【答案】ABC【分析】由题意得只需即可，然后逐个分析判断.【详解】若，则需，即，对于A，，所以A正确，对于B，，所以B正确，对于C，，所以C正确，对于D，，所以D错误.故选ABC.10．【答案】BCD【分析】由为锐角三角形，正弦定理及余弦定理即可判断A；由诱导公式即可判断B；由为锐角三角形及三角函数的单调性即可判断C；由为锐角三角形及列出不等式组求解即可判断D．【详解】对于A，因为为锐角三角形，所以，由余弦定理得，，即，由正弦定理得，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，因为为锐角三角形，且，所以，又因为在上单调递增，所以，故C正确；对于D，由得，，由为锐角三角形得，，即，解得，故D正确；故选BCD．11．【答案】CD【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及事件的概率求法判断即可.【详解】由事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，可知两事件互不影响，即M与N相互独立，易得，，所以,且，综上，选项C和选项D正确.故选CD.12．【答案】15【分析】根据分层抽样的特征可知，抽取人数等于样本容量乘以抽样比，即可求出．【详解】高三年级抽取的人数为．故答案为：15．13．【答案】【分析】由利用列举法先求出基本事件总数，再判断为整数满足的基本事件个数，由此能求出为整数的概率．【详解】从、、、中任取两个数记为，作为对数的底数与真数：，共12个不同的基本事件，其中为整数的只有两个基本事件，所以其概率．故答案为：.14．【答案】【分析】先补全多面体ABCDEF，得到三棱柱，然后求出三棱锥的体积，从而求解．【详解】在多面体中，由，平面，平面，得平面，延长FE到G，使得，连接DG、AG，如图：显然，，几何体为三棱柱，由平面平面，平面平面，平面，得平面，则三棱柱为直三棱柱，于是三棱锥的体积为：，所以原几何体的体积为：.故答案为：.15．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用向量数量积的运算律展开已知条件，将，代入求解可得；（2）利用向量平方等于模的平方，转化为数量积求解即可.【详解】（1）由，得，即，求得，再由，可得．（2）；．16．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根据频率分布直方图中平均数计算规则计算可得；(2)首先求出年龄在区间和中抽取的人数，再列出所有可能结果，最后由古典概型的概率公式计算可得.【详解】(1)由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄为：；(2)样本中年龄在区间的频率为，年龄在区间的频率为，则年龄在区间抽取（人），分别记作，，，，年龄在区间抽取（人），分别记作，，从这6人中随机抽取2人进行电话回访可能结果有、、、、、、、、、、、、、、共个，其中满足抽取的2人的年龄差大于10岁的有、、、、、、、共个，所以“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.17．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.(2)根据“第次击中，后两次未击中”求得乙恰好射击4次后被终止射击的概率．【详解】(1)甲，乙各射击一次，至少击中目标一次的概率为：.(2)乙恰好射击4次后被终止射击，则“第次击中，后两次未击中”，故所求概率为：.18．【答案】(1)答案见解析(2)3(3)【分析】（1）选①：由正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式化简得到求解；选②先切化弦，再利用正弦定理得到求解；选③利用三角形面积公式和正弦定理得到，再利用余弦定理求解.（2）利用余弦定理和基本不等式即可解题；（3）由正弦定理得到，从而有求解.【详解】（1）若选①：由正弦定理得，则，，，．若选②：，切化弦，得到，则由正弦定理得，，即，，，若选③：，则，由正弦定理得，，.（2）由余弦定理得，，则，当且仅当“”时，取“＝”号，即．，则，当且仅当“”时取得最大值．（3）由正弦定理得，则，，由于为锐角三角形，则，..19．【答案】(1)①证明见详解；②(2)【详解】（1）①

当点M与端点D重合时，由可知，由题意知平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，平面，平面，所以平面；②

过E作于点O，连接.因为平面，平面，所以，因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角,且在四边形ABCD中，A,O,E三点共线.因为所以，所以，所以，所以，所以，所以在中，，即二面角的余弦值为；（2）

过点做交于，所以直线与平面所成的角,即为直线与平面所成的角，过E作于点O，连接.由②同理可得平面，平面，所以平面平面，作，垂足为，平面平面，平面，所以平面，连接，是直线与平面所成的角，即，因为平面，平面，所以,则,易得，有，设，所以，所以，所以，，因为在中，斜边大于直角边，即，所以，所以，，在中由等面积，由,有则，，因为，，所以是二面角平面角，即，，，当且仅当时“＝”成立，故的最大值.2024-2025学年河南省新乡市高二上学期开学摸底考试数学检测试题（二）一、单选题（本大题共8小题）1．已知平面向量，，.若，则实数的值为（

）A． B． C． D．2．设复数是虚数单位),则（

）A． B． C． D．3．在平行四边形中，，且，若将其沿折起使平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．4．如图，已知边长为2的正方体，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值为（

）A． B． C． D．5．我市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度（单位：）如下表：上班时间182021262728303233353640下班时间161719222527283030323637则上、下班时间行驶时速的中位数分别为（

）A．28与28.5 B．29与28.5 C．28与27.5 D．29与27.56．已知个数的平均数为，方差为，则数据的平均数和方差分别为（

）A．， B．， C．， D．，7．正方形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，且，，、分别是线段、的中点，则与所成的角的余弦值为（

）

A． B． C． D．8．在△ABC中，D为AC的中点，E为线段CB上靠近B的三等分点，则（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则点是的重心B．若，则点在边的延长线上C．若在所在的平面内，角所对的边分别是，满足以下条件，则D．若，且，则的面积是面积的10．如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断正确的是（

）

A． B．C． D．11．（多选）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线统计图．根据该折线统计图，下列结论正确的是（

）A．年接待游客量逐年增加B．各年的月接待游客量高峰期大致都在8月C．2017年1月至12月月接待游客量逐月增加D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳三、填空题（本大题共3小题）12．设向量，且，则.13．在ΔABC中,角所对的边分别为,角等于，若，则的长为.14．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来.若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留）四、解答题（本大题共5小题）15．已知，，.(1)求与的夹角；(2)当为何值时，向量的模长为？16．已知复数z=3+bi（bR），且（1+3i）·z纯虚数（1）求复数z（2）若w=z·(2+i)，求复数w的模|w|17．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题．分组频数频率40.080.160.2016合计501.00(1)填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；(2)补全频数分布直方图；(3)若成绩在75.5~85.5分的学生获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？18．如图，在四棱锥中，面面，且，为的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19．已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，且.(1)求；(2)若，求△ABC的面积S的值．

参考答案1．【答案】B【分析】根据向量的坐标运算可得，结合向量平行的坐标表示运算求解.【详解】因为，，，则，又因为，则，解得.故选B.2．【答案】D【详解】∵∴===故选D．3．【答案】D【详解】在平行四边形中，，若将其沿BD折起使平面平面，可得如图所示的三棱锥：其中，三棱锥镶嵌在长方体中，即三棱锥的外接球与长方体的外接球相同.∵∴外接球的半径为∴三棱锥的外接球的表面积为故选D.【方法总结】本题主要考查三棱锥外接球的表面积的求法.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常用方法有：①若三棱棱两两垂直，则用（为三条棱的长）；②若平面（），则（为ΔABC外接圆的半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.4．【答案】A【详解】连接交于,连接,由于,所以平面,所以角为所求线面角,其正切值为.故选.5．【答案】D【分析】根据表格数据，由中位数的定义求上、下班时间行驶时速的中位数即可.【详解】上班时间行驶速度的中位数是，下班时间行驶速度的中位数是.故选D.6．【答案】D【分析】利用平均数与方差的性质求解即可.【详解】因为的平均数为，方差为，所以数据的平均数为，方差为.故选D.7．【答案】C【分析】连接，证明出平面，可得出，计算出、，利用异面直线所成角的定义可知，与所成的角为或其补角，计算出即可.【详解】连接，如下图所示：

四边形为正方形，则，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，在ΔABC中，，，、分别是线段、的中点，，，，，所以，与所成的角为，且.故选C.【方法总结】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．8．【答案】D【分析】利用向量减法的三角形法则，转化为和即可．【详解】=﹣=+﹣=+﹣=+（﹣）﹣=﹣，故选D．【关键点拨】本题考查利用基底表示向量，解题关键理解向量加法、减法、数乘的几何意义.9．【答案】ACD【分析】对于A，只需证明即可；对于B，我们只需证明，进而说明点并不在射线上；对于C，我们先设的内心为，然后证明和重合；对于D，我们只需求出两个三角形面积对比即可.【详解】对于A，，即，则，所以点是的重心；对于B，若，则，所以点在边的反向延长线上，故B错误；如图对于C，延长到，使，同理，因为，所以，以为邻边作平行四边形，所以，则，即，因为，同理，，所以，故C正确；如图对于D，设为中点，，所以，即，由，所以，所以三点共线，所以.故D正确.故选ACD.【关键点拨】向量之间的加减法运算和内积运算，以及内积关于加法的分配律及数形结合是解决本题的关键.10．【答案】ABC【分析】利用平行向量和相等向量的定义求解．【详解】由正六边形的结构特征可知，与方向相同，长度相等，，故选项A正确，与方向相反，，故选项B正确，由正六边形的性质可知，，故选项C正确，与不共线，∴不会相等，故选项D错误，故选ABC．11．【答案】ABD【分析】利用折线统计图中的信息逐一判断即可.【详解】对A，接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A正确；对B，折线统计图可知，各年的月接待游客量高峰期大致都在8月，故B正确；对C，2017年8月至9月月接待游客量呈下降趋势，故C错误；对D，折线统计图可知，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确.故选ABD.12．【答案】27【分析】由向量共线的坐标表示可直接得答案.【详解】因为，所以.故答案为：.13．【答案】【分析】直接利用余弦定理求解即可.【详解】因为角等于，，所以由余弦定理可得，所以.故答案为：.【方法总结】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.14．【答案】【分析】由题若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的直径等于一组正四棱柱的体对角线长，求出半径长再求表面积．【详解】若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的直径等于一组正四棱柱的体对角线长，即所以球形容器的表面积故答案为：.15．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据，结合数量积的运算律，求得，根据向量的夹角公式即可求得答案;（2）根据向量的模长为，结合模的计算以及数量积的运算律，可得到，求得答案.【详解】（1）由题意得，则，得，由于，所以；（2）由于，解得或，即x的值为或.16．【答案】（1）z=3+i（2）【分析】（1）计算得到，得到答案.（2），再计算模长得到答案.【详解】（1），则为纯虚数，故，解得，故.（2），故.17．【答案】(1)填表见解析；(2)作图见解析；(3)234人.【分析】（1）根据表中的数据和频率的求解公式求解即可.（2）由（1）中表格中的数据完成频数分布直方图.（3）根据频率分布表可求出成绩在75.5～80.5分的学生频率为0.10，成绩在80.5～85.5分的学生频率为0.16，从而可得成绩在75.5～85.5分的学生频率为0.26，进而可求得获得二等奖的人数.【详解】（1）补全频率分布表如下：分组频数频率40.0880.