2025年高考数学总复习《外接球、内切球与棱切球问题》专项测试卷及答案

第页2025年高考数学总复习《外接球、内切球与棱切球问题》专项测试卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图41．（2022•乙卷）已知球的半径为1，四棱锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为A． B． C． D．2．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A． B． C． D．3．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是A．， B．， C．， D．，4．（2021•天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为A． B． C． D．5．（2021•甲卷）已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为A． B． C． D．6．（2023•甲卷）在正方体中，，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．7．（2023•甲卷）在正方体中，，分别为，的中点，则以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为．8．（2020•新课标Ⅲ）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．考点一：正方体、长方体外接球1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．例1．（2023·四川·高三统考学业考试）若球的表面积为，则顶点均在该球球面上的正方体体积为（

）A．256 B．64 C．27 D．8例2．（2023·四川巴中·统考一模）已知长方体的表面积为22，过一个顶点的三条棱长之和为6，则该长方体外接球的表面积为.例3．（2023·重庆渝北·高三重庆市南华中学校校考阶段练习）在长方体中，，，，则长方体外接球的表面积为．考点二：正四面体外接球如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．例4．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）已知正四面体的外接球的体积为，则该正四面体的棱长为（

）A． B． C． D．例5．（2023·天津北辰·统考三模）中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（

）A． B． C． D．6例6．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知正四面体的各棱长均为，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．考点三：对棱相等的三棱锥外接球四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．例7．（2023·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（

）A． B． C． D．例8．（2023·广东揭阳·高三校联考期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（

）A． B． C． D．例9．（2023•五华区校级期中）如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”等，“跳”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录．若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四个点，，，满足，，，则该“鞠”的表面积为A． B． C． D．考点四：直棱柱外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出例10．（2023·湖南·高三校联考阶段练习）在直三棱柱中，为等边三角形，若三棱柱的体积为，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（

）A． B． C． D．例11．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）在直三棱柱中，为等腰直角三角形，若三棱柱的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（

）A．12π B．24π C．48π D．96π例12．（2023·陕西咸阳·统考一模）在直三棱柱中，，，若该直三棱柱的外接球表面积为，则此直三棱柱的高为（

）．A．4 B．3 C． D．例13．（2023·广东·统考一模）如图，在直三棱柱的侧面展开图中，，是线段的三等分点，且．若该三棱柱的外接球的表面积为，则（

）A． B． C． D．考点五：直棱锥外接球如图，平面，求外接球半径．解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：=1\*GB3①；=2\*GB3②．例14．（2023·江西萍乡·高三统考期末）三棱锥A-BCD中，平面BCD，，，则该三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．例15．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）如图，四棱锥中，平面，底面为边长为的正方形，，则该四棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．例16．（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（

）A． B． C． D．考点六：正棱锥与侧棱相等模型1、正棱锥外接球半径：．2、侧棱相等模型：如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出．例17．（2023·重庆·高三重庆八中校考期末）已知球O为三棱锥S﹣ABC的外接球，，则球O的表面积是（

）A． B． C． D．例18．（2023·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，且顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．例19．（2023·福建福州·高三福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥的顶点都在球O的球面上，其侧棱与底面所成角为，且，则球O的表面积为例20．（2023·河南·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为，高为，且，该四棱锥的外接球的表面积为，则的取值范围为．考点七：侧棱为外接球直径模型找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．例21．（2023·江苏南通·高三海安市曲塘中学校考期末）在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是边长为2的等边三角形，PA为此三棱锥外接球O的直径，PA＝4，则点P到底面ABC的距离为（

）A． B． C． D．例22．（2023•云南校级月考）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为A． B． C． D．例23．（2023•防城港模拟）体积为的三棱锥的所有顶点都在球的球面上，已知是边长为1的正三角形，为球的直径，则球的表面积为A． B． C． D．考点八：共斜边拼接模型如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．例24．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把折起，则三棱锥D-ABC的外接球表面积等于（

）A． B． C． D．不确定的实数例25．（2023·安徽·芜湖一中高二期中）已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．例26．（2023·江西赣州·高二期中）在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（

）A． B． C． D．考点九：垂面模型如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．图1图2例27．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）在三棱锥中、平面平面，，且，则三棱维的外接球表面积是（

）A． B． C． D．例28．（2023·全国·模拟预测）如图1，平面五边形，，，，，将沿折起至平面平面，如图2，若，则四棱锥的外接球体积是（

）A． B． C． D．例29．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥外接球表面积为（

）A． B． C． D．考点十：二面角模型如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．例30．（2023·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是（

）A． B． C． D．例31．（2023·广东·统考模拟预测）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．例32．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．考点十一：坐标法对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．例33．（2023·广东阳江·高三阳春市第一中学阶段练习）已知正方体的棱长为2，点是线段上的动点，则三棱锥的外接球半径的取值范围为．例34．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）空间直角坐标系中，则四面体ABCD外接球体积是（）A． B． C． D．例35．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）如图，已知四棱锥，底面是边长为3的正方形，面，，，，若，则四棱锥外接球表面积为（

）

A． B． C． D．例36．（2023·浙江金华·模拟预测）三棱锥中，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（

）A． B． C． D．考点十二：圆锥圆柱圆台模型1、球内接圆锥如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图、图可知，或，故，所以．2、球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．3、球内接圆台，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．例37．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在正三棱台中，，，，则正三棱台的外接球表面积为（

）

A．64 B． C． D．例38．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的顶点和底面圆周均在球的球面上.若该圆锥的底面半径为，高为6，则球的表面积为（

）A． B． C． D．例39．（2023·全国·高三专题练习）已知圆台的母线长为2，母线与轴的夹角为60°，且上、下底面的面积之比为1：4，则该圆台外接球的表面积为（

）A． B． C． D．例40．（2023·全国·高三专题练习）如图，半径为4的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（

）A． B． C． D．考点十三：锥体内切球等体积法，即例41．（2023·浙江温州·统考一模）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为.例42．（2023·湖南郴州·统考三模）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为.例43．（2023·四川成都·高三四川省成都列五中学校考阶段练习）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为.例44．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）如图，四边形为平行四边形，，，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球表面积为．

考点十四：棱切球找切点，找球心，构造直角三角形例45．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知球的表面积为，若球与正四面体的六条棱均相切，则此四面体的体积为（

）A．9 B． C． D．例46．（2023·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习）已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是．例47．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知三棱锥的棱长均为，则与其各条棱都相切的球的体积为.参考答案1．（2022•乙卷）已知球的半径为1，四棱锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为A． B． C． D．【答案】【解析】对于圆内接四边形，如图所示，，当且仅当，为圆的直径，且时，等号成立，此时四边形为正方形，当该四棱锥的体积最大时，底面一定为正方形，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，该四棱锥的高，该四棱锥的体积，当且仅当，即时，等号成立，该四棱锥的体积最大时，其高，故选：．2．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A． B． C． D．【答案】【解析】当球心在台体外时，由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为，下底面所在平面截球所得圆的半径为，如图，设球的半径为，则轴截面中由几何知识可得，解得，该球的表面积为．当球心在台体内时，如图，此时，无解．综上，该球的表面积为．故选：．3．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】如图所示，正四棱锥各顶点都在同一球面上，连接与交于点，连接，则球心在直线上，连接，设正四棱锥的底面边长为，高为，在中，，即，球的体积为，球的半径，在中，，即，，，，又，，该正四棱锥体积，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，（4），又，，且，，即该正四棱锥体积的取值范围是，，故选：．4．（2021•天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为A． B． C． D．【答案】【解析】如图，设球的半径为，由题意，，可得，则球的直径为4，两个圆锥的高之比为，，，由直角三角形中的射影定理可得：，即．这两个圆锥的体积之和为．故选：．5．（2021•甲卷）已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为A． B． C． D．【答案】【解析】因为，，所以底面为等腰直角三角形，所以所在的截面圆的圆心为斜边的中点，所以平面，在中，，则，在中，，故三棱锥的体积为．故选：．6．（2023•甲卷）在正方体中，，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．【答案】，．【解析】设球的半径为，当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径为体对角线长，即，，故，分别取侧枝，，，的中点，，，，则四边形是边长为4的正方形，且为正方形的对角线交点，连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径最小，即的最小值为，综上，球的半径的取值范围是，．故答案为：，．7．（2023•甲卷）在正方体中，，分别为，的中点，则以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为．【答案】12．【解析】在正方体中，，分别为，的中点，设正方体中棱长为2，中点为，取，中点，，侧面的中心为，连接，，，，，如图，由题意得为球心，在正方体中，，，则球心到的距离为，球与棱相切，球面与棱只有一个交点，同理，根据正方体的对称性可知，其余各棱和球面也只有一个交点，以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12．故答案为：12．8．（2020•新课标Ⅲ）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．【答案】【解析】因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线，底面半径，则其高，不妨设该内切球与母线切于点，令，由，则，即，解得，，故答案为：．考点一：正方体、长方体外接球1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．例1．（2023·四川·高三统考学业考试）若球的表面积为，则顶点均在该球球面上的正方体体积为（

）A．256 B．64 C．27 D．8【答案】B【解析】因为球的表面积为，所以，解得，设正方体的棱长为，因为正方体外接球的直径为正方体的体对角线，所以，即，所以.故选：B例2．（2023·四川巴中·统考一模）已知长方体的表面积为22，过一个顶点的三条棱长之和为6，则该长方体外接球的表面积为.【答案】【解析】令长方体的长、宽、高分别为，则，由，则，而长方体外接球半径，故，其表面积.故答案为：例3．（2023·重庆渝北·高三重庆市南华中学校校考阶段练习）在长方体中，，，，则长方体外接球的表面积为．【答案】【解析】由题意，根据长方体外接球的性质，可得，，该长方体的外接球的表面积.故答案为：.考点二：正四面体外接球如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．例4．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）已知正四面体的外接球的体积为，则该正四面体的棱长为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设外接球半径为，则，解得，将正四面体放入正方体中，设正方体边长为，如图所示：则，，正四面体的棱长为.故选：C.例5．（2023·天津北辰·统考三模）中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（

）A． B． C． D．6【答案】A【解析】由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大，则该球半径，如图：可知为外接球球心，，平面，为底面等边的中心，设正四面体的棱长为，则，，在中，则，即，解得，即．故选：A例6．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知正四面体的各棱长均为，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，是正四面体的高，是外接球球心，设外接球半径为，∵正四面体棱长为，∴，，，，由得，解得，∴．故选：D．考点三：对棱相等的三棱锥外接球四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．例7．（2023·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示，所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得.所以四面体外接球表面积是.故答案为：B.例8．（2023·广东揭阳·高三校联考期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则有，整理得，则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，所以有，所以所求的球体表面积为：．故选：A．例9．（2023•五华区校级期中）如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”等，“跳”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录．若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四个点，，，满足，，，则该“鞠”的表面积为A． B． C． D．【解析】解：因为鞠表面上的四个点，，，满足，，，所以可以把，，，四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是鞠的直径，设该长方体的长、宽、高分别为，，，鞠的半径为，则，由题意得，，，所以，即，所以该鞠的表面积为，故选：．考点四：直棱柱外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出例10．（2023·湖南·高三校联考阶段练习）在直三棱柱中，为等边三角形，若三棱柱的体积为，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设直三棱柱的高为，外接球的半径为，外接圆的半径为，则，所以，又，令，则，易知的最小值为，此时，所以该三棱柱外接球表面积的最小值为.故选：A.例11．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）在直三棱柱中，为等腰直角三角形，若三棱柱的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（

）A．12π B．24π C．48π D．96π【答案】C【解析】设为等腰直角三角形的直角边为，三棱柱的高为，则，所以，则，外接圆的半径为，所以棱柱外接球的半径为，令，则，则，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，则该三棱柱外接球表面积最小值为.故选：C.例12．（2023·陕西咸阳·统考一模）在直三棱柱中，，，若该直三棱柱的外接球表面积为，则此直三棱柱的高为（

）．A．4 B．3 C． D．【答案】D【解析】由题意将直三棱柱补成长方体，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，利用直三棱柱的外接球表面积为，可求出外接球的半径，从而可求得直三棱柱的高因为，所以将直三棱柱补成长方体，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，设球的半径为，则，解得，设直三棱柱的高为，则，即，解得，所以直三棱柱的高为，故选：D例13．（2023·广东·统考一模）如图，在直三棱柱的侧面展开图中，，是线段的三等分点，且．若该三棱柱的外接球的表面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由展开图可知，直三棱柱的底面是边长为的等边三角形，其外接圆的半径满足，所以．由得．由球的性质可知，球心到底面的距离为，结合球和直三棱柱的对称性可知，，故选D．考点五：直棱锥外接球如图，平面，求外接球半径．解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：=1\*GB3①；=2\*GB3②．例14．（2023·江西萍乡·高三统考期末）三棱锥A-BCD中，平面BCD，，，则该三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由平面BCD，，知三棱锥A-BCD可补形为以AD，DC，BD为三条棱的长方体，如图所示，三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，设外接球的半径为R，则，所以该三棱锥的外接球表面积为.故选：C．例15．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）如图，四棱锥中，平面，底面为边长为的正方形，，则该四棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】四边形为边长为的正方形，四边形的外接圆半径，又平面，，四棱锥的外接球半径，四棱锥的外接球表面积.故选：D.例16．（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意三棱锥可以补成分别以为长、宽、高的长方体，其中为长方体的对角线，则三棱锥的外接球球心即为的中点，要使三棱锥的外接球的体积最小，则最小．设，则，，，所以当时，，则有三棱锥的外接球的球半径最小为，所以．故选：A考点六：正棱锥与侧棱相等模型1、正棱锥外接球半径：．2、侧棱相等模型：如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出．例17．（2023·重庆·高三重庆八中校考期末）已知球O为三棱锥S﹣ABC的外接球，，则球O的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取SC中点M，连接AM、MB，因为△SAC是等边三角形，且SB＝BC，∴AM⊥SC，MB⊥SC，∴SC⊥平面AMB，∴球心O在平面AMB上，作⊥平面SAC，可得为等边三角形SAC的中心，所以＝，取AB中点N，连接ON，∴ON⊥AB，∴四点共圆，AO为这四点共圆的直径，也是三棱锥S−ABC外接球的半径，连接，在△ABM中：，，∴∠MAB＝90°，∴在直角三角形中，由勾股定理，得＝，∴三棱锥S−ABC外接球的半径长为AO==，．故选：A．例18．（2023·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，且顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．【答案】【解析】如图设底面的中心为，连接，则球心在直线上，由几何关系可知，，先将三角形转化成平面三角形，如图：因为，由勾股定理可得，设球心为，则在的延长线上，且，则，由勾股定理可得，即，解得，所以球体的表面积．故答案为：．例19．（2023·福建福州·高三福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥的顶点都在球O的球面上，其侧棱与底面所成角为，且，则球O的表面积为【答案】【解析】如图，正三棱锥中，设点Q为的中心，则PQ⊥平面ABC，∴，∴，PQ＝3．球心O在直线PQ上，连接AO，设球O的半径为r，则，，在中，，即，解得，∴球O的表面积为．故答案为：.例20．（2023·河南·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为，高为，且，该四棱锥的外接球的表面积为，则的取值范围为．【答案】【解析】连接相交于点，连接，则⊥平面，球心在上，连接，则，，因为正四棱锥的底面边长为，所以，在直角三角形上，由勾股定理得，即，，解得，由，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在取得极小值，也是最小值，此时，又当和时，，所以，则.故答案为：考点七：侧棱为外接球直径模型找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．例21．（2023·江苏南通·高三海安市曲塘中学校考期末）在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是边长为2的等边三角形，PA为此三棱锥外接球O的直径，PA＝4，则点P到底面ABC的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设点P到底面ABC的距离为，点到底面ABC的距离为，则.连接、，则三棱锥是棱长为2的正四面体，取的中点，连接，作，则平面，即，在正中，，在中，，即，即点P到底面ABC的距离为.故选：D.例22．（2023•云南校级月考）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为A． B． C． D．【解析】解：因为是边长为2的正三角形，所以外接圆的半径，所以点到平面的距离，为球的直径，点到平面的距离为，此棱锥的体积为，故选：．例23．（2023•防城港模拟）体积为的三棱锥的所有顶点都在球的球面上，已知是边长为1的正三角形，为球的直径，则球的表面积为A． B． C． D．【解析】解：根据题意作出图形：设球心为，球的半径．过三点的小圆的圆心为，则平面，延长交球于点，则平面．，，高，是边长为1的正三角形，，，．则球的表面积为故选：．考点八：共斜边拼接模型如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．例24．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把折起，则三棱锥D-ABC的外接球表面积等于（

）A． B． C． D．不确定的实数【答案】B【解析】设矩形的边长分别为、，则，所以矩形周长，，，当且仅当时取等号，矩形周长最小时，，，，因为外接球的半径，外接球表面积．故选：B．例25．（2023·安徽·芜湖一中高二期中）已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，，则，所以，又因为，，，则，所以，由，，，则，所以，又由，，，则，所以，可得为三棱锥的外接球的直径，又由，所以此三棱锥的外接球半径为，所以球的表面积为．故选：C．例26．（2023·江西赣州·高二期中）在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示：设SC的中点为O，AB的中点为D，连接OA、OB、OD，因为，所以，则，所以O为其外接球的球心，设球的半径为R，因为，，所以，所以，因为，所以平面AOB，所以，解得，所以其外接球的体积为，故选：D考点九：垂面模型如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．图1图2例27．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）在三棱锥中、平面平面，，且，则三棱维的外接球表面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，为直角三角形，故在三棱维的外接球的一个切面圆上，为该圆直径；又平面平面，故外接球的球心在所在的平面内，又，故为等腰三角形，球心O在BD边中线所在直线上，点到线段的距离为，设外接球的半径为，则，解得，则外接球的表面积为.故选：C.例28．（2023·全国·模拟预测）如图1，平面五边形，，，，，将沿折起至平面平面，如图2，若，则四棱锥的外接球体积是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，易得，由题可知四边形为等腰梯形，过点作，在中，，，由三角函数知，所以，取中点，过点作交于点，连接，，又因为平面平面，所以平面，易求，所以为中点，且外接球球心在平面的垂线上，又因为中，，，所以；同理可得，所以在平面内，，即就是外接球球心，所以半径，所以四棱锥外接球体积为.故选：A.例29．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设正方形的边长为，在等边三角形中，过点作于E，由于平面平面，∴平面．由于是等边三角形，则，∴，解得．设四棱锥外接球的半径为，为正方形ABCD中心，为等边三角形PAB中心，O为四棱锥P－ABCD外接球球心，则易知为矩形，则，，，∴外接球表面积．故选：C．考点十：二面角模型如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．例30．（2023·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，过这两点分别作平面、平面的垂线，交于点O，则O就是外接球的球心；取中点E，连接，因为，，所以，因为和是正三角形，所以，由得，所以由，即球半径为，所以球体积为．故选：C.例31．（2023·广东·统考模拟预测）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，为直角三角形，又，所以，因为为正三角形，所以，连接，为的中点，E为中点，则，所以为二面角的平面角所以．因为为直角三角形，E为中点，所以点为的外接圆的圆心，设G为的中心，则G为的外接圆圆心．过E作面的垂线，过G作面的垂线，设两垂线交于O．则O即为三棱锥的外接球球心．设与交于点H，，所以,，∴．所以，故选：C.例32．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，作出图形，如图所示，因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以的外心在中点，设为，设的外心为，中点为，，因为，所以必在连线上，则，即，因为两平面交线为，为平面所在圆面中心，所以，，又因为二面角的大小为，，所以，所以，锥体外接球半径，则三棱锥的外接球表面积为，故选：B考点十一：坐标法对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．例33．（2023·广东阳江·高三阳春市第一中学阶段练习）已知正方体的棱长为2，点是线段上的动点，则三棱锥的外接球半径的取值范围为．【答案】【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，设为的中点，为三棱锥外接球的球心，则为外接圆的圆心，平面，，设，则，所以，化简得，所以，所以球的半径.故答案为：.例34．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）空间直角坐标系中，则四面体ABCD外接球体积是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取，则是长方体，其对角线长为，∴四面体外接球半径为．，故选：B．例35．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）如图，已知四棱锥，底面是边长为3的正方形，面，，，，若，则四棱锥外接球表面积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，则，，，于是，则，∴，四棱锥外接球直径为，故其表面积为．故选：B.例36．（2023·浙江金华·模拟预测）三棱锥中，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，将三棱锥画在长方体方体中，并建立空间直角坐标系，由，由面，可知P点在面上，又，面，所以为直角三角形，故，即P点轨迹为以D为圆心，半径为4，在上的圆，设点，则

—①，因为为等腰直角三角形，所以三棱锥的外接球的球心在直线上，设点，由，得—②，联立①②得：，设过点和点的直线斜率为，则，由直线与圆相切，可得，则，所以，所以．故选：C考点十二：圆锥圆柱圆台模型1、球内接圆锥如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图、图可知，或，故，所以．2、球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．3、球内接圆台，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．例37．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在正三棱台中，，，，则正三棱台的外接球表面积为（

）

A．64 B． C． D．【答案】B【解析】设外接球球心为，等边三角形的外心为，等边三角形的外心为，三点共线，则是正三棱台的高，设台体的高为，设外接球的半径为，过作，垂足为，根据正棱台的性质可知，所以平面，平面，所以，设等边三角形的外接圆半径为，由正弦定理得.设等边三角形的外接圆半径为，由正弦定理得.在直角三角形中，，所以.当