近五年北京中考数学试题及答案20024

2024年北京中考数学试题及答案考生须知：1.本试卷共6页，共两部分.三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4.在答题卡上.选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．2．如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（

）A． B． C． D．3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（

）A． B． C．4 D．165．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（）A． B． C． D．6．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（

）A． B． C． D．7．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；（2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（3）过点作射线，则.上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（

）A．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8．如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点到该八边形各顶点的距离都相等；④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是．10．分解因式：.11．方程的解为.12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是.13．某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：50.03

49.98

50.00

49.99

50.0249.99

50.01

49.97

50.00

50.02当一个工件的质量（单位：g）满足时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是.14．如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则15．如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为．16．联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：节目ABCD演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按的先后顺序彩排三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：18．解不等式组：19．已知，求代数式的值.20．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若，，，求的长.21．为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.22．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.(1)求，的值；(2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围.23．某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.(1)初赛由名数师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息..教师评委打分：

.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）：.评委打分的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数教师评委学生评委根据以上信息，回答下列问题：①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）；(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评委1评委2评委3评委4评委5甲乙丙若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________.24．如图，是的直径，点，在上，平分.(1)求证：；(2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长.25．小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下，当1号杯和2号杯中都有mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：cm）和2号杯的水面高度（单位：cm），部分数据如下：/mL040100200300400500/cm02.55.07.510.012.5/cm02.84.87.28.910.511.8(1)补全表格（结果保留小数点后一位）；(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）；②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）．26．在平面直角坐标系中，已知抛物线.(1)当时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围.27．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.

(1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点；(2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。28．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”．(1)如图，点，．①在点，，中，点___________是弦的“可及点”，其中____________；②若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为__________；(2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围．1．B【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；故选：B．2．B【详解】解：∵，∴，∵，，∴，故选：B．3．C【详解】解：A、由数轴可知，故本选项不符合题意；B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意；C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意；D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意．故选：C．4．C【详解】∵方程，，∴，∴，解得．故选C．5．D【详解】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种，两次都取到白色小球的概率为．故选：D．6．D【详解】，故选D．7．A【详解】根据基本作图中，同圆半径相等，判定三角形全等的依据是边边边原理，故选A.8．B【详解】向两方分别延长，连接，根据菱形，，则，，∵菱形绕点逆时针旋转得到菱形，∴点一定在对角线上，且，，∴，，∵，∴，∴，，同理可证，∵，∴，∴，∴，∴该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，∴④正确；根据题意，得，∵，，∴，∴该八边形各内角不相等；∴②错误，根据，∴，∴，故，∴点到该八边形各顶点的距离都相等错误∴③错误，故选B．9．【详解】解：根据题意得，解得：．故答案为：10．【详解】．故答案为：．11．【详解】解：，解得：，经检验：是原方程的解，所以，原方程的解为，故答案为：．12．0【详解】解：∵函数的图象经过点和，∴有，∴，故答案为：0．13．160【详解】解：10个工件中为一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02这8个，∴这200个工件中一等品的个数为个，故答案为：160．14．55【详解】解：∵直径平分弦，∴，∵，∴，∴，故答案为：55．15．【详解】解：根据正方形的性质，得，，∴，∵，∴,，，∴，∴，∴，∴的面积为；故答案为：．16．60【详解】解：①节目D的演员的候场时间为，故答案为：60；②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面，∴①按照顺序，则候场时间为：分钟；②按照顺序，则候场时间为：分钟；③按照顺序，则候场时间为：分钟；④按照顺序，则候场时间为：分钟；⑤按照顺序，则候场时间为：分钟；⑥按照顺序，则候场时间为：分钟．∴按照顺序彩排，候场时间之和最小，故答案为：．17．【详解】解：原式．18．【详解】∵∴解不等式①，得，解不等式,②，得，∴不等式组的解集为．19．3【详解】解：原式，∵，∴，∴原式．20．(1)见详解(2)【详解】（1）证明：∵是的中点，，∴，∵，∴四边形为平行四边形；（2）解：∵，∴，在中，，，∴，∵是的中点，∴，∵四边形为平行四边形，∴，∴在中，由勾股定理得．21．符合，理由见详解【详解】解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类类物质排放量为，由题意得：，解得：，∵，∴这次技术改进后该汽车的类物质排放量是符合“标准”．22．(1)(2)【详解】（1）解：由题意得将代入得：，解得：，将，，代入函数中，得：，解得：，∴；（2）解：∵，∴两个一次函数的解析式分别为，当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，即当时，对于的每一个值，直线的图像在直线和直线的上方，则画出图象为：由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意，∴当直线与直线平行时，，∴当时，对于的每一个值，直线的图像在直线和直线的上方时，，∴m的取值范围为．23．(1)①，；②(2)甲，【详解】（1）①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为，所以，共有45名学生评委给每位选手打分，所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组，故答案为：，；②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，，，故答案为：；（2），，，，丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，依题意，当，则解得：当时，此时∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，当时，此时∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲故答案为：甲，．24．(1)见解析(2)【详解】（1）根据题意，得，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴；（2）∵，，不妨设，则，∴，∵，∴，，∴，∴，解得，取的中点M，连接，则∵，∴，∴，∴，∵是的切线，∴，∴，解得，故半径的长为.25．(1)1.0(2)见详解(3)1.2，8.5【详解】（1）解：由题意得，设V与的函数关系式为：，由表格数据得：，解得：，∴，∴当时，，∴；（2）解：如图所示，即为所画图像，（3）解：①当时，，由图象可知高度差，故答案为：1.2；②由图象可知当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为，故答案为：．26．(1)；(2)或．【详解】（1）解：把代入得，，∴抛物线的顶点坐标为；（2）解：分两种情况：当时，如图，此时，∴，又∵，∴；当时，如图，此时，解得，又∵，∴；综上，当或，都有．27．(1)见详解(2)，理由见详解【详解】（1）证明：连接，

由题意得：，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴点是的中点；（2）解：，在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，

∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，∵，∴，，∵是的中点，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．28．(1)①，45；②(2)或【详解】（1）解：①：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆，∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，∴点C应在的圆内或圆上，∵点，，∴，而，∴,由对称得：，∴为等腰直角三角形，∴,设半径为，则,故在外，不符合题意；，故在上，符合题意；，故在外，不符合题意，∴点是弦的“可及点”，可知三点共线，∵，∴，故答案为：，45；②取中点为H，连接，∵则，∴，∴点D在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），∴当点轴时，点D横坐标最大，∵，，∴，∴，∵点，，∴，∴此时，∴点的横坐标的最大值为，故答案为：；（2）解：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆，∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，∴点C应在的圆内或圆上，故点P需要在的圆内或圆上，作出的外接圆，连接，∴点P在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点M、N），∴，∴，由对称得点在的垂直平分线上，∵的外接圆为，∴点也在的垂直平分线上，记与交于点Q，∴，∴，随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，，连接，∵，∴当最大,时，此时为等边三角形，由上述过程知∴，∴当，的最大值为2，设，则，解得：，而记直线与交于，与y轴交于点K，过点S作轴，当，当时，，解得，∴与x轴交于点，∴，而∴为等边三角形，∴，∴，∴，∴t的取值范围是或．

2023年北京中考数学真题及答案考生须知1.本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收款2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（

）A． B． C． D．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

3．如图，，，则的大小为（

）

A． B． C． D．4．已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．5．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（

）A． B． C． D．96．十二边形的外角和为（

）A． B． C． D．7．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（

）A． B． C． D．8．如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；

上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．10．分解因式：=__________________.11．方程的解为______．12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为______．13．某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：使用寿命灯泡只数51012176根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为______只．14．如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______．

15．如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______．

16．学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序ABCDEFG所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟．三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20—21题，每题6分，第22—23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：．18．解不答式组：．19．已知，求代数式的值．20．如图，在中，点E，F分别在，上，，．

(1)求证：四边形是矩形；(2)，，，求的长．21．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一幅对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）

22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C．(1)求该函数的解析式及点C的坐标；(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值．23．某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：a.16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.75mn(1)写出表中m，n的值；(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高162165165166166乙组学生的身高161162164165175(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．24．如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．

(1)求证平分，并求的大小；(2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．25．某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990方案一：采用一次清洗的方式．结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．方案二：采用两次清洗的方式．记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.00.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.511.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；

结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．根据以上实验数据和结果，解决下列问题：（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）；（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）．26．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．(1)若对于，有，求的值；(2)若对于，，都有，求的取值范围．27．在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．

(1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；(2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．28．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义：若直线，中一条经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”．(1)如图，点，，①在点，，中，弦的“关联点”是______．②若点C是弦的“关联点”，直接写出的长；(2)已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围．参考答案1．B【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：，故选：B．2．A【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：A既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合要求；B不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；C是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；D是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；故选：A．3．C【分析】由，，可求出的度数，再根据角与角之间的关系求解．【详解】∵，，∴，∵，∴．故选：C．4．B【分析】由可得，则，根据不等式的性质求解即可．【详解】解：得，则，∴，∴，故选：B．5．C【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴．解得：．故选：C．6．C【分析】根据多边形的外角和为360°进行解答即可．【详解】解：∵多边形的外角和为360°∴十二边形的外角和是360°．故选：C．7．A【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理．【详解】

如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为.故选：A8．D【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误．【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形，

∴，∵，∴，①正确，故符合要求；∵，∴，，，，∵，∴，，∴是等腰直角三角形，由勾股定理得，，∵，∴，②正确，故符合要求；由勾股定理得，即，∴，③正确，故符合要求；故选：D．9．【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可．【详解】解：若代数式有意义，则，解得：，故答案为：．10．【详解】试题分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=11．【分析】方程两边同时乘以化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．【详解】解：方程两边同时乘以，得，解得：，经检验，是原方程的解，故答案为：．12．3【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值．【详解】解：∵函数的图象经过点和∴把点代入得，∴反比例函数解析式为，把点代入得：，解得：，故答案为：3．13．460【分析】用1000乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡所占的比例即可．【详解】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为（只），故答案为：460．14．【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.【详解】，

，，，，，，；故答案为：.15．【分析】根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出．【详解】解：∵，∴，．∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴．∵是的切线，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴．故答案为：．16．5328【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案．【详解】解：由题意得：（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟，然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟，最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟），故答案为：53，28；17．【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可．【详解】解：原式．18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解不等式①得：解不等式②得：不等式的解集为：19．2【分析】先将分式进行化简，再将变形整体代入化简好的分式计算即可．【详解】解：原式，由可得，将代入原式可得，原式．20．(1)见解析(2)【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，证明四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论；（2）证明是等腰直角三角形，可得，然后再解直角三角形求出即可．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是矩形；（2）解：由（1）知四边形是矩形，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，∴．21．边的宽为，天头长为【分析】设天头长为，则地头长为，边的宽为，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．【详解】解：设天头长为，由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为，边的宽为，装裱后的长为，装裱后的宽为，由题意可得：解得，∴，答：边的宽为，天头长为．22．(1)，；(2)．【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可；（2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可．【详解】（1）解：把点，代入得：，解得：，∴该函数的解析式为，由题意知点C的纵坐标为4，当时，解得：，∴；（2）解：由（1）知：当时，，因为当时，函数的值大于函数的值且小于4，所以如图所示，当过点时满足题意，代入得：，解得：．

23．(1)，；(2)甲组(3)170，172【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于，结合其余学生的身高即可做出选择．【详解】（1）解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数，16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，∴中位数，∴，；（2）解：甲组身高的平均数为，甲组身高的方差为乙组身高的平均数为，乙组身高的方差为，∵∴舞台呈现效果更好的是甲组，故答案为：甲组；（3）解：168，168，172的平均数为∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，∴数据的差别较小，数据才稳定，可供选择的有：170，172，且选择170，172时，平均数会增大，故答案为：170，172．24．(1)见解析，(2)【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得；（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解．【详解】（1）解：∵∴，∴，即平分．∵平分，∴，∴，∴，即，∴是直径，∴；（2）解：∵，，∴，则．∵，∴．∵，∴，∴是等边三角形，则．∵平分，∴．∵是直径，∴，则．∵四边形是圆内接四边形，∴，则，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵是直径，∴此圆半径的长为．25．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析，4；（1）11.3；（2）<【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可；（Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小；（1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可；（2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990．【详解】（Ⅰ）表格如下：11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.00.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.511.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C0.990√0.9890.990√0.990√0.990√0.990√0.990√0.9880.990√0.990√0.990√（Ⅱ）函数图象如下：

由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小；（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，19-7.7=11.3，即可节水约11.3个单位质量；（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度，故答案为：<．26．(1)(2)【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；（2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解．【详解】（1）解：∵对于，有，∴抛物线的对称轴为直线，∵抛物线的对称轴为．∴；（2）解：∵当，，∴，，∵，，∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，∴，即．27．(1)见解析(2)，证明见解析【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可；（2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可．【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，，∵，∴，∴，∴，∴，即D是的中点；（2）；证明：如图2，延长到H使，连接，，∵，∴是的中位线，∴，，由旋转的性质得：，，∴，∵，∴，是等腰三角形，∴，，设，，则，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即．

28．(1)，；(2)或．【分析】（1）根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可；（2）根据，两点来求最值情况，S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂直平分线上，运用相似三角形计算即可．【详解】（1）解：①由关联点的定义可知，若直线中一经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”，∵点，，，，，∴直线经过点O，且与相切，∴是弦的“关联点”，又∵和横坐标相等，与都位于直线上，∴与相切，经过点O，∴是弦的“关联点”．②∵，，设，如下图所示，共有两种情况，a、若与相切，经过点O，则、所在直线为：，解得：，∴，b、若与相切，经过点O，则、所在直线为：，解得：，∴，综上，．（2）解：∵线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，又∵弦随着S的变动在一定范围内变动，且，，，∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂直平分线上，如图所示，①当S位于点时，为的切线，作，∵，的半径为1，且为的切线，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴根据勾股定理得，，根据勾股定理，，同理，，∴当S位于点时，的临界值为和．②当S位于经过点O的的垂直平分线上即点K时，∵点，，∴，∴，又∵的半径为1，∴，∴三角形为等边三角形，∴在此情况下，，，∴当S位于经过点O的的垂直平分线上即点K时，的临界值为和，∴在两种情况下，的最小值在内，最大值在，综上所述，t的取值范围为或，

2022年北京中考数学试题及答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下面几何体中，是圆锥的为（）A. B. C. D.【参考答案】B2.截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学计数法表示应为（）A. B. C. D.【参考答案】B3.如图，利用工具测量角，则的大小为（）A.30° B.60° C.120° D.150°【参考答案】A4.实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【参考答案】D5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A. B. C. D.【参考答案】A6.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（）A. B. C. D.【参考答案】C7.图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A. B. C. D.【参考答案】D8.下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【参考答案】A第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．【参考答案】x≥8【详解】解：由题意得：x-8≥0，解得：x≥8．故答案为：x≥8．10.分解因式：______．【参考答案】【详解】故答案为：．11.方程的解为___________．【参考答案】x=5【详解】解：方程的两边同乘x(x+5),得：2x=x+5,解得：x=5,经检验：把x=5代入x(x+5)=50≠0.故原方程的解为：x=512.在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则______（填“>”“=”或“<”）【参考答案】＞【详解】解：∵k>0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，，∴>．故答案为：>．13.某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：鞋号353637383940414243销售量/双2455126321根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为________双．【参考答案】120【详解】解：根据题意得：39码的鞋销售量为12双，销售量最高，∴该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为双．故答案为：12014.如图，在中，平分若则____．【参考答案】1【详解】解：如图，作于点F，∵平分，，，∴，∴．故答案为：1．15.如图，在矩形中，若，则的长为_______．【参考答案】1【详解】解：在矩形中：，，∴，，∴，∴，故答案为：1．16.甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：包裹编号I号产品重量/吨II号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一中满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）；（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）．【参考答案】①.ABC（或ABE或AD或ACD或BCD）②.ABE或BCD【详解】解：（1）根据题意，选择ABC时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；选择ABE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；选择AD时，装运I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；选择ACD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；选择BCD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；选择DCE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），不符合要求；选择BDE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），不符合要求；综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或AD或ACD或BCD．故答案为：ABC（或ABE或AD或ACD或BCD）．（2）选择ABC时，装运的II号产品重量为：（吨）；选择ABE时，装运的II号产品重量为：（吨）；选择AD时，装运的II号产品重量为：（吨）；选择ACD时，装运的II号产品重量为：（吨）；选择BCD时，装运的II号产品重量为：（吨）；故答案为：ABE或BCD．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：【参考答案】4【详解】解：．【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键．18.解不等式组：【参考答案】【详解】解：解不等式①得，解不等式②得，故所给不等式组的解集为：．19.已知，求代数式的值．【参考答案】５【详解】解：∵，∴，∴20.下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，,求证：方法一证明：如图，过点A作方法二证明：如图，过点C作【参考答案】答案见解析【详解】证明：过点作，则，．两直线平行，内错角相等）点，，在同一条直线上，．（平角的定义）．即三角形的内角和为．21.如图，在中，交于点，点在上，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若求证：四边形是菱形．【参考答案】（1）见解析（2）见解析【小问1详解】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，∵，∴，即，∴四边形是平行四边形．【小问2详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴，∴，∵∴，∴，∴四边形ABCD为菱形，∴，即，∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．22.在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点．（1）求该函数的解析式及点的坐标；（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．【参考答案】（1），（2）【小问1详解】解：将，代入函数解析式得，，解得，∴函数解析式为：，当时，得，∴点A的坐标为．【小问2详解】由题意得，，即，又由，得，解得，∴的取值范围为．23.某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．甲、乙两位同学得分的折线图：b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：同学甲乙丙平均数8.68.6m根据以上信息，回答下列问题：（1）求表中m的值；（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对_________的评价更一致（填“甲”或“乙”）；（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是_________（填“甲”“乙”或“丙”）．【参考答案】（1）（2）甲（3）乙【小问1详解】解：丙的平均数：，则．【小问2详解】，，，∴甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致，故答案为：甲．【小问3详解】由题意得，去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为：甲：，乙：，丙：，∵去掉一个最高分和一个最低分后乙的平均分最高，因此最优秀的是乙，故答案为：乙．24.如图，是的直径，是的一条弦，连接（1）求证：（2）连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．【参考答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【小问1详解】证明：设交于点，连接，由题可知，，，，，，，，，；【小问2详解】证明：连接，，，同理可得：,，∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，，，，，为的直径，，，，，，，直线为的切线．25.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）．【参考答案】（1）23.20m；（2）【小问1详解】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，∴，，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，根据表格中的数据可知，当时，，代入得：，解得：，∴函数关系关系式为：．【小问2详解】设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，，解得：或，∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离，第二次训练时，，解得：或，∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离，∵，∴，∴．故答案为：．26.在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为（1）当时，求抛物线与y轴交点坐标及的值；（2）点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围．【参考答案】（1）（0，2）；2（2）取值范围为，的取值范围为【小问1详解】解：当时，，∴当x=0时，y=2，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；∵，∴点关于对称轴为对称，∴；【小问2详解】解：当x=0时，y=c，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），∵，∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，，∵1＜3，∴2t＞3，即（不合题意，舍去），当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，，此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，∴，解得：，∵1＜3，∴2t＞3，即，∴，∵，，对称轴为，∴，∴，解得：，∴的取值范围为，的取值范围为．27.在中，，D为内一点，连接，延长到点，使得（1）如图1，延长到点，使得，连接，若，求证：；（2）连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．【参考答案】（1）见解析（2）；证明见解析【小问1详解】证明：在和中，，∴，∴，∴，∵，∴．【小问2详解】解：补全后的图形如图所示，，证明如下：延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，∵，CM＝CB，∴垂直平分BM，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．28.在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．（1）如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”．①在图中画出点；②连接交线段于点求证：（2）的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）【参考答案】（1）见解析（2）【小问1详解】解：①点Q如下图所示．∵点，∴点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，∴，∵点关于点的对称点为，，∴点的横坐标为：，纵坐标为：，∴点，在坐标系内找出该点即可；②证明：如图延长ON至点，连接AQ，∵，∴，在与中，，∴，∴，∵，，，∴，，，∴，∴，∴；【小问2详解】解：如图所示，连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，∴，∵点关于点的对称点为，∴，又∵，∴OM∥ST，∴NM为的中位线，∴，，∵，∴，∴，在中，，结合题意，，，∴，即长的最大值与最小值的差为．

2021年北京中考数学试题及答案一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱2．党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014﹣2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（）A．0.1692×1012 B．1.692×1012 C．1.692×1011 D．16.92×10103．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为（）A．30° B．40° C．50° D．60°4．下列多边形中，内角和最大的是（）A． B． C． D．5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜06．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（）A． B． C． D．7．已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜＜n+1，则n的值为（）A．43 B．44 C．45 D．468．如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系二、填空题(共16分，每题2分)9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．分解因式：5x2﹣5y2＝．11．方程＝的解为．12．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），则m的值为．13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝．14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．15．有甲、乙两组数据，如下表所示：甲1112131415乙1212131414甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．16．某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17．计算：2sin60°++|﹣5|﹣（π+）0．18．解不等式组：．19．已知a2+2b2﹣1＝0，求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）的值．20．《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在△ABC中，BA＝，D是CA的中点，∴CA⊥DB（）（填推理的依据）．∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．22．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB＝，求BF和AD的长．23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．25．为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：10.010.010.110.911.411.511.611.8c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：平均数中位数甲城市10.8m乙城市11.011.5根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2．比较p1，p2的大小，并说明理由；（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．26．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．参考答案：1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】A9.【答案】【详解】解：由题意得：，解得：；故答案为．10.【答案】【详解】解：；故答案为．11.【答案】【详解】解：，∴，经检验：是原方程解．故答案为：x=3．12.【答案】【详解】解：把点代入反比例函数得：，∴，解得：，故答案为-2．13.【答案】130°【详解】解：∵是的切线，∴，∴由四边形内角和可得：，∵，∴；故答案为130°．14.【答案】（答案不唯一）【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，若要添加一个条件使其为菱形，则可添加或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一组邻边相等的平行四边形是菱形；故答案为（答案不唯一）．15.【答案】＞【详解】解：由题意得：，，∴，，∴，∴；故答案为＞．16.【答案】①.2∶3②.【详解】解：设分配到生产线吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得：，解得：，∴分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨），∴分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2∶3；∴第二天开工时，给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，∵加工时间相同，∴，解得：，∴；故答案为，．17.【答案】【详解】解：原式=．18.【答案】【详解】解：由①可得：，由②可得：，∴原不等式组的解集为．19.【答案】1【详解】解：==，∵，∴，代入原式得：原式=．20.【答案】（1）图见详解；（2），等腰三角形的三线合一【详解】解：（1）如图所示：（2）证明：在中，，是的中点，（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）．∵直线表示的方向为东西方向，∴直线表示的方向为南北方向；故答案为，等腰三角形的三线合一．【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键．21.【答案】（1）见详解；（2）【详解】（1）证明：由题意得：，∴，∵，∴，∴该方程总有两个实数根；（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，∵，∴，解得：，∵，∴．22.【答案】（1）见详解；（2），【详解】（1）证明：∵，∴AD∥CE，∵，∴四边形是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形是平行四边形，∴，∵，平分，，∴，∴EF=CE=AD，∵，∴，∴，∴．23.【答案】（1）；（2）【详解】解：（1）由一次函数图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到可得：一次函数的解析式为；（2）由题意可先假设函数与一次函数的交点横坐标为，则由（1）可得：，解得：，函数图象如图所示：∴当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值时，根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当时，符合题意，当时，则函数与一次函数的交点在第一象限，此时就不符合题意，综上所述：．24.【答案】（1）见详解；（2），【详解】（1）证明：∵是的直径，，∴，∴；（2）解：由题意可得如图所示：由（1）可得点E为BC的中点，∵点O是BG的中点，∴，∴，∴，∵，∴，∵的半径为5，∴，∴，∴．25.【答案】（1）；（2），理由见详解；（3）乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元．【详解】解：（1）由题意可得m为甲城市的中位数，由于总共有25家邮政企业，所以第13家邮政企业的收入作为该数据的中位数，∵有3家，有7家，有8家，∴中位数落在上，∴；（2）由（1）可得：甲城市中位数低于平均数，则最大12个；乙城市中位数高于平均数，则至少为13个，∴；（3）由题意得：（百万元）；答：乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元．26.【答案】（1）；（2），理由见解析【详解】解：（1）当时，则有点和点，代入二次函数得：，解得：，∴抛物线解析式为，∴抛物线的对称轴为；（2）由题意得：抛物线始终过定点，则由可得：①当时，由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛盾；②当时，∵抛物线始终过定点，∴此时抛物线的对称轴的范围为，∵点在该抛物线上，∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为，∵，开口向上，∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，∴．27.【答案】（1），，理由见详解；（2），理由见详解．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，由旋转的性质可得，∵，∴，∴，∵点M为BC的中点，∴，∵，∴；（2）证明：，理由如下：过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交AB于点H，如图所示：∴，由（1）可得，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．28.【答案】（1）；（2）；（3）当时，此时；当时，此时．【详解】解：（1）由题意得：通过观察图象可得：线段能绕点A旋转90°得到的“关联线段”，都不能绕点A进行旋转得到；故答案为；（2）由题意可得：当是的以点为中心的“关联线段”时，则有是等边三角形，且边长也为1，当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：设与y轴的交点为D，连接，易得轴，∴，∴，，∴，∴；当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的，∴；（3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，则有当以为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示：由运动轨迹可得当点A也在上时为最小，最小值为1，此时为的直径，∴，∴，∴；由以上情况可知当点三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示：连接，过点作于点P，∴，设，则有，∴由勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴，在中，，∴；综上所述：当时，此时；当时，此时．

2020年北京中考数学试题及答案满分：100分时间：120分钟一.选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1.右图是某几何体的三视图，该几何体是（）A.圆柱B.圆锥C.三棱锥D.长方体2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道.将36000用科学记数法表示应为（）A.B.C.D.3.如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠1＞∠4+∠5D.∠2＜∠54.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）5.正五边形的外角和为（）A.180°B.360°C.540°D.720°6.实数在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数满足，则的值可以是（）A.2B.-1C.-2D.-37.不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）A.B.C.D.8.有一个装有水的容器，如图所示.容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）A.正比例函数关系B.一次函数关系C.二次函数关系D.反比例函数关系二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若代数式有意义，则实数的取值范围是.10.已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是.11.写出一个比大且比小的整数.12方程组的解为.13.在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点.若点A，B的纵坐标分别为，则的值为.14.在△ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）.只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是（写出一个即可）15.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：（填“＞”，“＝”或“＜”）16.下图是某剧场第一排座位分布图甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2,3,4,5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1,2号座位的票，乙购买3,5,7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序.三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27