陕西省石泉县高中数学 第一章 推理与证明 1.3 反证法（二）教学实录 北师大版选修2-2

陕西省石泉县高中数学第一章推理与证明1.3反证法（二）教学实录北师大版选修2-2科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）陕西省石泉县高中数学第一章推理与证明1.3反证法（二）教学实录北师大版选修2-2教学内容陕西省石泉县高中数学第一章推理与证明1.3反证法（二）

北师大版选修2-2

本节课主要内容包括反证法的应用，通过实例分析和练习，让学生掌握反证法的步骤和技巧，提高逻辑推理能力。具体内容包括反证法的定义、应用条件、步骤和常见错误，以及反证法在解决数学问题中的应用实例。核心素养目标培养学生逻辑推理能力和严谨的数学思维习惯，提高学生运用反证法解决问题的能力。通过本节课的学习，学生能够理解反证法的逻辑结构，发展数学抽象和数学推理能力，同时培养数学建模和数学应用意识。教学难点与重点1.教学重点

-明确反证法的定义和适用条件：重点讲解反证法的基本概念，包括假设、推导矛盾和结论成立的过程，以及反证法适用的条件，如命题的否定形式是可证的。

-理解反证法的逻辑推理过程：通过具体实例，让学生理解反证法中假设和推导矛盾的关系，以及如何从矛盾推出原命题的真实性。

-应用反证法解决实际问题：通过实际问题，让学生学会如何将反证法应用于解决数学问题，如证明不等式、几何证明等。

2.教学难点

-反证法中矛盾推理的识别：难点在于识别反证法中假设的矛盾点，例如，在证明一个数不是素数时，如何从数能被其他数整除这一事实中找到矛盾。

-反证法应用中的创造性思维：难点在于如何运用创造性思维设计反证法的证明过程，特别是在面对复杂问题时如何构建合适的假设。

-反证法与其他证明方法的对比理解：难点在于帮助学生理解反证法与其他证明方法（如直接证明、归纳证明等）的区别和联系，以及在何种情况下选择使用反证法。教学资源-软硬件资源：计算机教室、电子白板、投影仪

-课程平台：学校数学教学平台

-信息化资源：反证法教学课件、相关数学问题数据库

-教学手段：多媒体教学、案例教学、小组讨论教学过程设计总用时：45分钟

一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示生活中常见的悖论问题，如“一个人不能进入房间，因为他不能同时进入和不在房间”，引导学生思考如何解决这个问题。

2.提出问题：引导学生思考这个问题的解决方法是否可以用于数学证明，从而引入反证法。

3.学生讨论：让学生分组讨论，尝试用反证法解决类似问题。

二、讲授新课（15分钟）

1.反证法定义（5分钟）：介绍反证法的定义和基本步骤，通过PPT展示反证法的流程图。

2.举例讲解（5分钟）：通过具体例子讲解反证法的应用，如证明一个数不是素数。

3.反证法步骤（5分钟）：详细讲解反证法的假设、推导矛盾和结论成立的步骤，强调每一步的重要性。

三、巩固练习（15分钟）

1.练习题展示（5分钟）：展示几道反证法的练习题，引导学生独立完成。

2.小组讨论（5分钟）：让学生分组讨论练习题，共同探讨解题思路和过程。

3.分享答案（5分钟）：各小组派代表分享解题过程和答案，教师点评和补充。

四、课堂提问（5分钟）

1.随机提问（3分钟）：针对练习题中的难点，随机提问学生，检查他们对反证法的理解和应用。

2.知识拓展（2分钟）：提出一些反证法的拓展问题，引导学生思考反证法在其他数学领域的应用。

五、师生互动环节（5分钟）

1.创设问题情境：教师提出一个实际问题，如证明某个几何图形的性质，要求学生运用反证法进行证明。

2.学生尝试证明：学生尝试运用反证法解决问题，教师观察并指导。

3.课堂辩论：教师与学生进行辩论，讨论反证法的适用性和局限性。

六、核心素养能力的拓展要求（5分钟）

1.数学抽象：引导学生将实际问题转化为数学问题，运用反证法进行解决。

2.数学推理：通过反证法的讲解和练习，培养学生的逻辑推理能力。

3.数学建模：引导学生学会将数学知识应用于实际问题，提高数学建模能力。

教学双边互动：

-教师在讲解过程中，注重观察学生的反应，及时调整教学节奏和内容。

-鼓励学生积极参与讨论，提出问题和观点，增强课堂互动性。

-通过小组讨论和课堂辩论，培养学生的团队合作能力和沟通能力。

教学过程流程环节符合实际学情，紧扣实际教学过程中需要凸显的重难点，解决问题及核心素养能力的拓展要求。拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《数学证明的艺术》：这本书详细介绍了数学证明的历史、方法和技巧，对于理解反证法的历史背景和应用有很好的帮助。

-《数学归纳法与反证法》：通过对比归纳法和反证法，让学生更深入地理解不同证明方法的特点和适用场景。

-《数学悖论与反证法》：探讨了数学中的一些著名悖论，以及如何使用反证法解决这些问题，激发学生对数学探索的兴趣。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-学生可以尝试阅读上述拓展阅读材料，进一步了解反证法的历史和发展。

-让学生尝试解决一些涉及反证法的数学问题，如证明自然数集合中不存在最大的素数。

-鼓励学生思考反证法在其他学科中的应用，例如在物理学中的假设检验或逻辑学中的论证分析。

-设计一些开放性问题，如“如何将反证法应用于解决实际问题？”或“反证法在数学证明中的优势和局限性”，引导学生进行深入思考。

-学生可以组成学习小组，共同探讨反证法的应用，分享各自的解题思路和经验。

-鼓励学生参与数学竞赛或研讨会，将反证法的知识应用于实际竞赛中，提升解题能力和竞争意识。板书设计①反证法定义

-反证法：假设命题的否定成立，通过推导出矛盾，证明原命题成立的方法。

-假设：假设原命题的否定成立。

-推导矛盾：从假设出发，通过逻辑推理得出矛盾。

-结论成立：由于假设导致矛盾，原命题的否定不成立，因此原命题成立。

②反证法步骤

-步骤一：假设原命题的否定成立。

-步骤二：从假设出发，进行逻辑推理。

-步骤三：推导出矛盾。

-步骤四：得出结论，原命题成立。

③反证法应用

-应用条件：命题的否定形式是可证的。

-应用实例：证明一个数不是素数、证明几何图形的性质等。

-注意事项：反证法适用于可证的反面，需谨慎使用。重点题型整理1.题型一：证明一个数不是素数

-题目：证明27不是素数。

-解答思路：假设27是素数，那么它只能被1和自身整除。但是，27可以被3整除（27÷3=9），这与假设矛盾，因此27不是素数。

2.题型二：证明一个数是素数

-题目：证明37是素数。

-解答思路：假设37不是素数，那么它有一个因子p，其中1<p<37。由于37是奇数，p也必须是奇数。但是，如果p是37的因子，那么p的平方必然是37的倍数，这意味着37可以表示为两个奇数的乘积，这与37是素数的定义矛盾。因此，37是素数。

3.题型三：证明一个不等式

-题目：证明对于所有正整数n，n^2+n+41是素数。

-解答思路：假设存在一个正整数n，使得n^2+n+41不是素数。那么它必然有一个因子p，其中1<p<n^2+n+41。由于n^2+n+41是一个线性表达式，我们可以尝试找到一个整数k，使得p=k(n+1)。然后，通过分析p的可能值，我们可以发现p必然是41的倍数，这与p<n^2+n+41矛盾。因此，n^2+n+41对于所有正整数n都是素数。

4.题型四：证明一个几何性质

-题目：在三角形ABC中，若AB=AC，证明角BAC是直角。

-解答思路：假设角BAC不是直角，那么它必然是锐角或钝角。如果角BAC是锐角，那么角ABC和角ACB都是锐角，这意味着三角形ABC的内角和小于180度，与三角形内角和定理矛盾。如果角BAC是钝角，那么角ABC和角ACB都是锐角，但这样会导致角ABC和角ACB的和小于90度，同样与三角形内角和定理矛盾。因此，角BAC必须是直角。

5.题型五：证明一个组合数学问题

-题目：在5个不同的数字中，任意取3个数字组成一个三位数，证明至少有两个数位上的数字是相同的。

-解答思路：假设取出的三个数字各不相同，那么它们可以组成的三位数共有3!=6种排列。但是，由于只有5个不同的数字，无法组成6个不同的三位数，至少有两个数位上的数字是相同的，这与假设矛盾。因此，至少有两个数位上的数字是相同的。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学法的运用：在讲解反证法时，我尝试通过具体的数学案例来引导学生理解反证法的应用，这种教学方法能够让学生在实际问题中体会反证法的价值。

2.小组讨论与协作学习：我鼓励学生在小组内讨论反证法的应用，这种协作学习的方式不仅提高了学生的参与度，也培养了他们的团队协作能力。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对反证法的理解不够深入：有些学生在应用反证法时，往往只是机械地套用步骤，而没有真正理解反证法的逻辑思维过程。

2.练习题的难度分布不均：我发现部分练习题对学生来说过于简单，而另一部分则过于复杂，没有很好地满足不同层次学生的学习需求。

3.课堂互动不足：在课堂提问环节，学生的参与度不高，可能是由于学生对问题的兴趣不足或者是课堂氛围不够活跃。

反思改进措施（三）

1.深化反证法的教学：为了让学生更深入地理解反证法，我计划在课堂上增加对反证法逻辑推理过程的讲解，并通过更多实例来帮助学生理解。

2.优化练习题设计：我将重新设计练习