2024-2025学年高中数学 第一章 统计案例 1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用（1）教学实录 文 新人教A版选修1-2

2024-2025学年高中数学第一章统计案例1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（1）教学实录文新人教A版选修1-2课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容分析1.本节课的主要教学内容是独立性检验的基本思想及其初步应用（1），内容涉及教材中新人教A版选修1-2的统计案例章节。

2.教学内容与学生已有知识的联系包括：学生需掌握基本的概率统计知识，如概率的定义、频率分布表等；同时，本节课将引导学生运用这些知识，通过独立性检验方法对数据进行假设检验，进一步加深对统计推断的理解。二、核心素养目标本节课旨在培养学生的数据意识、逻辑推理和数学建模能力。学生将通过独立性检验的学习，理解数据背后的关联性，提升对统计推断的直觉和逻辑推理能力。同时，通过实际案例的分析，学生能够运用数学模型解决实际问题，增强数学应用意识和解决实际问题的能力。三、教学难点与重点1.教学重点

①掌握独立性检验的基本思想，理解列联表和卡方检验的计算方法。

②能够运用独立性检验解决实际问题，包括提出假设、计算期望频数、计算卡方值、作出统计决策。

2.教学难点

①理解并应用独立性检验的前提条件，如列联表中的单元格数目和独立性检验的适用范围。

②正确解读独立性检验的结果，包括计算卡方值、确定显著性水平和作出统计结论。

③在实际应用中，能够识别和选择合适的变量进行独立性检验，并解释检验结果对实际问题的意义。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的新人教A版选修1-2教材。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的列联表、卡方分布图等图表，以及独立性检验的实例视频和案例分析资料。

3.实验器材：准备用于演示和实验的计算机和统计软件，确保学生能够进行计算和模拟独立性检验。

4.教室布置：设置分组讨论区，提供足够的空间供学生进行小组讨论和实验操作。五、教学过程一、导入新课

1.教师提问：同学们，上一节课我们学习了频率分布表和频率直方图，这些知识在现实生活中有什么应用呢？

2.学生回答，教师总结：频率分布表和频率直方图在市场调查、产品质量检测等领域有广泛的应用。

3.教师导入：今天我们要学习的是独立性检验，这是统计学中另一个重要的概念，它可以帮我们判断两个事件是否相互独立。

二、新课讲解

1.教师讲解独立性检验的基本思想：

-首先提出两个事件相互独立的假设；

-通过观察数据，计算期望频数；

-计算卡方值，比较实际频数和期望频数；

-根据卡方分布表，确定显著性水平；

-作出统计决策，判断两个事件是否相互独立。

2.教师举例说明独立性检验的步骤：

-提出假设：事件A和事件B相互独立；

-收集数据：制作列联表，计算实际频数；

-计算期望频数：根据行总和和列总和，计算每个单元格的期望频数；

-计算卡方值：根据实际频数和期望频数，计算每个单元格的卡方值；

-查表确定显著性水平：根据卡方分布表，确定相应的显著性水平；

-作出统计决策：比较计算出的卡方值与查表得到的卡方临界值，判断是否拒绝原假设。

3.教师引导学生进行小组讨论：

-小组讨论独立性检验的适用场景；

-小组讨论独立性检验的优势和局限性；

-小组讨论独立性检验在现实生活中的应用实例。

三、课堂练习

1.教师展示一道独立性检验的例题，引导学生按照独立性检验的步骤进行解答；

2.学生独立完成例题，教师巡视指导；

3.学生展示解题过程，教师点评并总结。

四、课堂小结

1.教师引导学生回顾本节课所学内容：

-独立性检验的基本思想；

-独立性检验的步骤；

-独立性检验在现实生活中的应用；

2.教师强调本节课的重点内容：

-掌握独立性检验的基本步骤；

-理解卡方分布表在独立性检验中的作用；

-能够运用独立性检验解决实际问题。

五、布置作业

1.教师布置一道独立性检验的练习题，要求学生在课后独立完成；

2.教师提醒学生注意练习题中的重点和难点，鼓励学生积极思考，勇于提问。

六、课后反思

1.教师总结本节课的教学效果，反思教学过程中的优点和不足；

2.教师根据学生的反馈，调整教学内容和方法，提高教学效果。六、知识点梳理1.独立性检验的基本概念

-独立性检验是统计学中的一种假设检验方法，用于判断两个分类变量是否相互独立。

-相互独立意味着一个变量的取值不会影响另一个变量的取值。

2.独立性检验的适用条件

-样本量足够大，以保证卡方分布的近似性。

-数据应当来自随机样本，以避免样本偏差。

-变量应当是分类变量，如性别、颜色、品牌等。

3.独立性检验的步骤

-提出零假设（H0）：两个变量相互独立。

-提出备择假设（H1）：两个变量不相互独立。

-构建列联表，记录实际观察到的频数。

-计算期望频数，基于零假设下的独立性。

-计算卡方统计量（χ²），反映实际频数与期望频数的差异。

-确定显著性水平（α），通常为0.05。

-查找卡方分布表，确定临界值。

-比较卡方统计量与临界值，作出统计决策。

4.列联表与期望频数的计算

-列联表是一种表格，用于展示两个或多个分类变量的频数分布。

-期望频数的计算公式：E=(行总和×列总和)/总样本量。

5.卡方统计量的计算

-卡方统计量的计算公式：χ²=Σ[(O-E)²/E]，其中O为实际频数，E为期望频数。

6.显著性水平和临界值

-显著性水平（α）是拒绝零假设的阈值。

-临界值是卡方分布表中对应于显著性水平的值。

7.统计决策

-如果卡方统计量大于临界值，则拒绝零假设，认为两个变量不独立。

-如果卡方统计量小于或等于临界值，则不拒绝零假设，认为两个变量独立。

8.独立性检验的局限性

-独立性检验假设数据是随机抽取的，实际应用中可能存在偏差。

-独立性检验对样本量有一定要求，小样本可能导致结果不稳定。

-独立性检验不能检测变量之间的因果关系，只能检测相关性。

9.独立性检验的实际应用

-在市场调研中，检验消费者对产品的满意度与性别的关系。

-在医学研究中，检验疾病发生与年龄、性别等变量的关系。

-在心理学研究中，检验某种心理特征与年龄、性别等变量的关系。

10.独立性检验的软件应用

-利用统计软件（如SPSS、R等）进行独立性检验，可以自动化计算卡方统计量和P值，提高效率。七、教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生在课堂上的参与度：观察学生在课堂上的提问、回答问题、参与讨论的情况，评估学生的积极参与程度。

-学生对概念的理解：通过提问和回答问题，评估学生对独立性检验基本概念的理解程度，如对零假设、备择假设、列联表、期望频数等概念的理解。

2.小组讨论成果展示：

-小组讨论的活跃度：观察小组讨论的气氛，评估学生是否能够积极表达自己的观点，是否能够倾听他人意见。

-小组讨论的深度：评估学生在讨论中是否能够深入分析问题，是否能够提出有见地的观点。

-小组讨论的成果：检查小组讨论的总结报告或展示材料，评估小组是否能够将讨论成果清晰、准确地呈现出来。

3.随堂测试：

-学生对独立检验步骤的掌握：通过随堂测试，评估学生对独立性检验步骤的掌握程度，包括提出假设、计算期望频数、计算卡方值、作出统计决策等。

-学生对实际应用的运用能力：测试中包含实际案例，评估学生能否将独立性检验应用于实际问题解决。

4.学生自评与互评：

-学生自评：鼓励学生在课后进行自我反思，评估自己在课堂上的表现，包括学习态度、参与程度、对知识的掌握等。

-学生互评：组织学生进行互评，互相评价在小组讨论中的表现，以及在学习过程中的协作与贡献。

5.教师评价与反馈：

-针对学生的课堂表现：教师对学生的课堂表现进行评价，包括积极参与、提问质量、回答问题的准确性等。

-针对小组讨论成果：教师对小组讨论的成果进行评价，包括讨论的深度、广度、成果的展示质量等。

-针对随堂测试结果：教师对学生的随堂测试结果进行评价，指出学生在哪些方面做得好，哪些方面需要改进。

-针对学生的自评与互评：教师对学生的自评与互评进行指导和反馈，帮助学生认识到自己的优点和不足，鼓励学生不断进步。

-针对学生的学习态度和方法：教师对学生的学习态度和方法进行评价，提供个性化的学习建议，帮助学生形成有效的学习策略。八、内容逻辑关系①独立性检验的基本概念

-独立性检验的定义

-独立性与相关性的区别

-独立性检验的目的

②独立性检验的步骤

-提出假设：零假设和备择假设

-构建列联表：实际频数记录

-计算期望频数：基于独立性的期望值

-计算卡方统计量：实际频数与期望频数的差异

-确定显著性水平：α值的设定

-查找临界值：卡方分布表的使用

-作出统计决策：拒绝或不拒绝零假设

③独立性检验的计算方法

-卡方统计量的计算公式

-期望频数的计算公式

-显著性水平的确定方法

④独立性检验的应用

-实际案例的分析

-独立性检验在市场调研中的应用

-独立性检验在社会科学研究中的应用

⑤独立性检验的局限性

-样本量的影响

-数据的随机性要求

-不能检测因果关系

⑥独立性检验的结果解读

-卡方统计量的解释

-显著性水平的解释

-统计决策的解释反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学法的应用：在独立性检验的教学中，我尝试引入实际案例，让学生通过分析具体案例来理解独立性检验的应用，这样可以提高学生的实际操作能力和分析问题的能力。

2.多媒体教学资源的整合：利用多媒体技术，如视频、动画等，将抽象的统计学概念具体化，帮助学生更好地理解独立性检验的原理和步骤。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对独立性检验的原理理解不够深入：在教学过程中，我发现有些学生对独立性检验的原理理解不够深入，对卡方统计量的计算和显著性水平的确定感到困惑。

2.课堂互动不足：在课堂讨论环节，学生的参与度不够高，部分学生可能因为害羞或者对知识点掌握不牢固而不愿意发言。

3.评价方式单一：目前的评价方式主要是随堂测试和期末考试，缺乏对学生日常学习情况的全面评价。

反思改进措施（三）

1.加强基础知识的讲解：针对学生对独立性检验原理理解不够深入的问题，我计划在教学中更加注重基础知识的讲解，通过详细的步骤解析和例题讲解，帮助学生打下扎实的理论基础。

2.激发学生课堂参与度：为了提高学生的课堂互动，我计划在课堂上设置更多的互动环节，如小组讨论、角色扮演等，鼓励学生积极参与，表达自己的观点。

3.丰富评价方式：为了更全面地评价学生的学习情况，我计划引入多样化的评价方式，如课堂表现、小组合作、课后作业等，以学生的综合表现作为评价标准。

4.加强与学生的沟通：我会定期与学生进行交流，了解他们的学习困难和需求，根据学生的反馈调整教学策略，确保教学内容的实用性和针对性。

5.持续关注统计学领域的最新发展：作为教师，我需要不断更新自己的知识体系，关注统计学领域的最新研究动态，将新的研究成果融入教学中，保持教学内容的先进性和时代性。课后作业作业一：

假设某次调查中，调查了100名消费者的购物偏好，其中60名消费者更喜欢购物网站，40名消费者更喜欢实体店。同时，调查了这些消费者的性别分布，其中男性消费者有70名，女性消费者有30名。请问购物偏好与性别是否独立？使用0.05的显著性水平进行检验。

答案：首先，构建列联表：

```

购物网站实体店总计

男性502070

女性101020

总计6030100

```

计算期望频数：

```

E(男性,购物网站)=(70*60)/100=42

E(男性,实体店)=(70*30)/100=21

E(女性,购物网站)=(30*60)/100=18

E(女性,实体店)=(30*30)/100=9

```

计算卡方值：

```

χ²=Σ[(O-E)²/E]=[(50-42)²/42]+[(20-21)²/21]+[(10-18)²/18]+[(10-9)²/9]≈0.59

```

查表得显著性水平为0.05时的卡方临界值为3.84。因为0.59<3.84，所以不拒绝零假设，购物偏好与性别独立。

作业二：

某项调查显示，在一个班级中，男生和女生对一门课程的成绩分布如下表所示，请检验性别与成绩是否独立。

|成绩等级|男生人数|女生人数|

|----------|----------|----------|

|A|5|8|

|B|10|7|

|C|8|6|

|D|7|4|

|F|5