高中数学 第3章 不等式 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3.3.3 简单的线性规划问题（3）教学实录 苏教版必修5

高中数学第3章不等式3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.3简单的线性规划问题（3）教学实录苏教版必修5学校授课教师课时授课班级授课地点教具教材分析高中数学第3章不等式3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.3简单的线性规划问题（3）教学实录苏教版必修5。本节课围绕二元一次不等式组的解法，引导学生探索线性规划问题的解决策略，培养学生的逻辑思维和实际问题解决能力。通过实例分析，使学生理解线性规划问题的基本概念和求解方法，并学会运用线性规划解决实际问题。核心素养目标1.培养学生运用数学建模思想分析实际问题的能力。

2.提升学生逻辑推理和数学运算能力，学会运用线性规划方法解决优化问题。

3.增强学生数学抽象和直观想象能力，通过图形理解线性规划问题。学情分析本节课面向的是高中二年级学生，这一阶段的学生已具备一定的数学基础，对不等式和函数等概念有一定的理解。在知识层面上，学生已经学习了二元一次不等式的解法，但面对线性规划问题可能存在一定的困难，需要通过实例引导理解。在能力方面，学生能够进行基本的数学运算，但抽象思维能力相对较弱，需要通过具体案例来提升。素质方面，学生在课堂上表现积极，但部分学生可能对数学学习缺乏兴趣，容易在遇到困难时产生畏难情绪。

学生的行为习惯对课程学习有直接影响。部分学生课堂参与度较高，能够积极回答问题，但也有一些学生习惯于被动接受知识，缺乏主动探究的意识。此外，学生在面对复杂问题时，可能缺乏系统分析问题的能力，容易陷入局部最优解的误区。

针对这些学情，教学过程中需注重以下方面：一是通过实例引入，激发学生的学习兴趣，帮助他们理解线性规划问题的实际意义；二是注重引导学生从具体问题中抽象出数学模型，培养他们的数学抽象能力；三是通过小组合作学习，提高学生的合作意识和解决问题的能力；四是关注学生的学习反馈，及时调整教学策略，确保每位学生都能在课堂上有所收获。教学方法与策略1.采用讲授法结合讨论法，通过讲解线性规划的基本概念和步骤，引导学生逐步理解。

2.设计小组合作项目，让学生通过解决实际问题来应用所学知识，提高实践能力。

3.利用多媒体展示线性规划问题的图形解法，帮助学生直观理解。

4.安排角色扮演活动，让学生扮演决策者角色，体验线性规划在决策中的应用。教学过程一、导入新课

同学们，我们之前学习了二元一次不等式的解法，今天我们将继续探索与不等式相关的内容——线性规划问题。线性规划是一种数学优化方法，它在解决实际问题时非常有用。接下来，我们将一起走进这堂课，揭开线性规划的神秘面纱。

二、新课讲授

1.理解线性规划问题的概念

同学们，线性规划问题是指在一定条件下，寻找线性函数的最优解。这里的条件包括线性约束条件和目标函数。我们先来看一个简单的例子。

师：假设有一个长方形菜园，长和宽分别为6米和4米，现在我们要在这个菜园里种植两种蔬菜，分别是黄瓜和西红柿。黄瓜每平方米产量为2000克，西红柿每平方米产量为1500克。我们的目标是在保证菜园面积不变的情况下，使两种蔬菜的总产量最大。请同学们思考，如何解决这个问题？

生：首先，我们需要确定两种蔬菜的种植面积，然后根据面积计算总产量。

师：很好，这就是线性规划问题的一个典型例子。在这个例子中，我们要优化的目标是两种蔬菜的总产量，而约束条件是菜园的面积。

2.学习线性规划问题的解法

师：在这个例子中，我们可以将黄瓜和西红柿的种植面积分别设为x和y，那么我们的目标函数和约束条件可以表示为：

目标函数：最大化2000x+1500y

约束条件：x+y≤6（长方形菜园面积）

0≤x≤6（黄瓜种植面积）

0≤y≤4（西红柿种植面积）

请同学们思考，如何找到这个线性规划问题的最优解？

生：我们可以画出目标函数的等高线，然后找到可行域，最后在可行域内找到最优解。

师：很好，这就是线性规划问题的解法。接下来，我们通过一个实例来演示如何解决这个问题。

3.解决实例问题

我们以一个实际案例来演示线性规划问题的解决过程。

师：假设有一个工厂，生产两种产品A和B，产品A和产品B的利润分别为300元和200元。生产产品A需要3小时的机器时间和2小时的劳动力时间，生产产品B需要2小时的机器时间和3小时的劳动力时间。工厂每天可用的机器时间最多为120小时，劳动力时间最多为100小时。我们的目标是在不超过机器时间和劳动力时间的情况下，使利润最大化。

请同学们根据这个案例，列出目标函数和约束条件。

生：目标函数：最大化300A+200B

约束条件：3A+2B≤120（机器时间）

2A+3B≤100（劳动力时间）

A≥0，B≥0（产品生产量）

师：很好，同学们已经成功地将实际问题转化为数学模型。接下来，我们利用图形解法来找到最优解。

4.图形解法演示

师：根据目标函数和约束条件，我们可以画出可行域。然后，我们找到目标函数的等高线，并沿着等高线移动，找到最优解。

（展示图形解法过程，引导学生理解）

三、巩固练习

为了巩固所学知识，我们进行以下练习。

1.将实际问题转化为线性规划问题，并求解。

2.分析线性规划问题的解法，并讨论在实际问题中的应用。

四、课堂小结

今天我们学习了线性规划问题的概念、解法和图形解法。线性规划是一种实用的数学优化方法，它在解决实际问题时非常有用。希望大家能够通过本节课的学习，掌握线性规划问题的解决方法，并在实际生活中运用所学知识。

五、课后作业

1.完成课后练习题，巩固所学知识。

2.思考线性规划方法在其他学科或实际生活中的应用。学生学习效果学生学习效果

1.理解与掌握：学生在学习本章节后，能够清晰地理解线性规划问题的基本概念，包括目标函数、约束条件和可行域等。他们能够区分不同类型的线性规划问题，并能够根据具体问题构建相应的数学模型。

2.应用能力：通过实例分析和问题解决，学生能够将所学知识应用到实际问题中。他们能够独立地分析问题，确定目标函数和约束条件，并运用图形解法或其他方法找到最优解。

3.数学思维：学生在学习过程中，数学抽象和逻辑推理能力得到提升。他们学会了如何从具体问题中抽象出数学模型，并能够运用数学语言进行描述和表达。

4.合作与交流：通过小组合作项目，学生学会了与他人协作，共同解决问题。他们在交流过程中，能够有效地表达自己的观点，倾听他人的意见，并共同推进项目的完成。

5.解决问题的能力：学生在面对复杂问题时，能够运用线性规划方法进行优化。他们能够分析问题的关键因素，制定解决方案，并评估不同方案的优劣。

6.创新与实践：学生在学习线性规划的过程中，培养了创新思维和实际操作能力。他们能够尝试不同的解法，探索新的优化策略，并将所学知识应用于实际情境中。

7.学习兴趣：通过实例分析和实际问题解决，学生对数学学习产生了浓厚的兴趣。他们认识到数学在实际生活中的重要性，愿意主动探索和学习更多的数学知识。

8.自我评价与反思：学生在学习过程中，能够对自己的学习效果进行自我评价和反思。他们能够识别自己的不足，制定改进措施，并持续提升自己的数学能力。

9.知识迁移：学生在学习线性规划后，能够将所学知识迁移到其他数学领域，如概率统计、优化理论等。他们能够运用线性规划方法解决其他相关问题。

10.终身学习能力：通过本章节的学习，学生养成了终身学习的习惯。他们意识到数学是一个不断发展的领域，愿意持续学习新知识，提升自己的数学素养。典型例题讲解1.例题一：某工厂生产甲、乙两种产品，每吨甲产品的利润为2000元，每吨乙产品的利润为1500元。生产甲产品每吨需要消耗原材料4吨，每吨需要劳动力3个。生产乙产品每吨需要消耗原材料3吨，每吨需要劳动力2个。工厂每天可消耗原材料不超过30吨，每天可利用的劳动力不超过50个。求甲、乙两种产品各生产多少吨时，工厂可获得的最大利润？

解答：设甲产品生产量为x吨，乙产品生产量为y吨，利润为z元。

目标函数：最大化z=2000x+1500y

约束条件：

4x+3y≤30

3x+2y≤50

x≥0，y≥0

2.例题二：一个长方体的长、宽、高分别为2米、3米、4米。现在要用铁皮包裹这个长方体，使得包裹面积最小。铁皮的价格为每平方米10元。求包裹这个长方体所需的最小铁皮费用。

解答：设长方体的长为x米，宽为y米，高为z米，包裹面积为S平方米。

目标函数：最小化S=2(xy+xz+yz)

约束条件：

x≥0，y≥0，z≥0

x=2，y=3，z=4

3.例题三：某公司有两个仓库，仓库A有货物400吨，仓库B有货物300吨。公司计划将货物从两个仓库运送到三个销售点，销售点C、D、E分别需要200吨、150吨和250吨。从仓库A到销售点C的运输费用为每吨100元，从仓库A到销售点D的运输费用为每吨120元，从仓库A到销售点E的运输费用为每吨80元。从仓库B到销售点C的运输费用为每吨90元，从仓库B到销售点D的运输费用为每吨100元，从仓库B到销售点E的运输费用为每吨110元。求使总运输费用最少的运输方案。

解答：设从仓库A到销售点C的货物为x吨，从仓库A到销售点D的货物为y吨，从仓库A到销售点E的货物为z吨，总运输费用为w元。

目标函数：最小化w=100x+120y+80z+90(400-x-y-z)+100(300-x-y-z)+110(250-x-y-z)

约束条件：

0≤x≤200

0≤y≤150

0≤z≤250

x+y+z=750

4.例题四：某工厂生产甲、乙两种产品，每生产1吨甲产品需要消耗原材料5吨，每生产1吨乙产品需要消耗原材料4吨。工厂每天可消耗原材料不超过100吨。甲产品的利润为每吨1000元，乙产品的利润为每吨1200元。求使利润最大化的生产方案。

解答：设甲产品生产量为x吨，乙产品生产量为y吨，利润为z元。

目标函数：最大化z=1000x+1200y

约束条件：

5x+4y≤100

x≥0，y≥0

5.例题五：某公司计划在三个城市开设分店，已知三个城市的消费水平分别为100元、150元和200元。公司在每个城市的开设成本分别为2000元、3000元和4000元。公司希望最小化总成本。求在哪些城市开设分店，才能使总成本最低？

解答：设公司在城市A、B、C开设分店的数量分别为x、y、z。

目标函数：最小化z=2000x+3000y+4000z

约束条件：

x≥0，y≥0，z≥0

x+y+z=3教学反思与改进教学反思与改进

回顾今天这堂关于线性规划问题的教学，我深感教学过程中有许多值得反思和改进的地方。

首先，我觉得在课堂导入环节，我可能没有充分激发学生的兴趣。虽然我尝试通过实例引入，但感觉学生的参与度并不高。今后，我打算在导入环节增加一些与学生生活息息相关的问题，比如如何安排旅行路线以节省费用，或者如何分配家庭预算等，这样更容易引起学生的共鸣和兴趣。

其次，我发现部分学生在理解线性规划问题的解法时存在困难。特别是在绘制可行域和等高线时，学生容易出错。为了改进这一点，我计划在未来的教学中，通过更多的图形演示和实际操作，让学生更加直观地理解这些概念。同时，我会设计一些互动环节，让学生在小组中讨论和练习，以此来加强他们的实践能力。

在教学过程中，我还注意到一些学生对于数学问题的抽象思维能力相对较弱。他们难以从具体问题中提炼出数学模型。针对这一点，我打算在教学中更多地引导学生进行抽象思维训练，比如通过逐步引导，让学生从具体案例中总结出一般性的规律。

此外，我发现在讲解线性规划问题的解法时，有些学生对于如何确定最优解感到困惑。为