2022年北京市初三一模数学试题汇编：圆的性质

第1页/共1页2022北京初三一模数学汇编圆的性质一、单选题1．（2022·北京大兴·一模）如图，AB是的弦，半径于点D，若，，则OB的长是（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2022·北京平谷·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝110°，则∠AOC的度数是（）A．55° B．110° C．130° D．140°3．（2022·北京海淀·一模）某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示．若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（

）①在M处放置2台该型号的灯光装置②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置③在P处放置2台该型号的灯光装置A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题4．（2022·北京东城·一模）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC=90°，∠BAC=30°，则∠AOB的度数为________．5．（2022·北京房山·一模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠OCB=20°，则∠A度数为_________．6．（2022·北京西城·一模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠CBA=50°，则∠CDB=______°．7．（2022·北京·一模）如图，在⊙O内接四边形中，若，则________．8．（2022·北京门头沟·一模）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝_____m．三、解答题9．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得为等腰直角三角形，且，则称点C为图形G的“友好点”．(1)已知点，，在点，，中，线段OM的“友好点”是_______；(2)直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；(3)已知直线分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的的“友好点”，直接写出d的取值范围．10．（2022·北京朝阳·一模）中国古代数学家李子金在《几何易简集》中记载了圆内接正三角形的一种作法：“以半径为度，任用圆界一点为心，作两圆相交，又移一心，以交线为界，再作一交圆，其三线相交处为一角，其两线相交处为两角，直线界之亦得所求”．由记载可得作法如下：①作，在上取一点N，以点N为圆心，为半径作，两圆相交于A，B两点，连接；②以点B为圆心，为半径作，与相交于点C，与相交于点D；③连接，，，．，都是圆内接正三角形．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明，证明：连接，，，．∵，∴为①_________．∴．同理可得，．∴．∴（②____________）（填推理的依据）．∵，∴是等边三角形．同理可得，是等边三角形．11．（2022·北京通州·一模）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC．求作：点P，使得AP＝AB，且．作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交于点D（异于点C）；③连接DA并延长交于点P．所以点P就是所求作的点．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接PC．∵AB＝AC，∴点C在上．∵，∴（____________________）（填推理的依据），由作图可知，，∴______．∴．12．（2022·北京顺义·一模）已知：如图，和射线PN．求作：射线PM，使得．作法：①在射线OB上任取一点C，以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交OA于点D；②以点P为圆心，OC的长为半径画圆，交射线PN的反向延长线于点E；③以点E为圆心，OD的长为半径画弧，在射线PN上方，交OP于点M；④作射线PM．所以射线PM就是所求作的射线．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接CD，EM．∵PM=PE=CD=CO，EM=OD，∴（_________）（填推理依据）．∴．又∵（________）（填推理依据）．∴．13．（2022·北京房山·一模）已知：如图，点M为锐角∠APB的边PA上一点．求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD＝2∠P．作法：①以点M为圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C，交PB于点D点；②作射线MD．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵P、C、D都在⊙M上，∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，∴∠P＝∠CMD（

）（填推理依据）．∴∠AMD＝2∠P．14．（2022·北京·一模）已知：如图，中，．求作：线段，使得点D在线段上，且．作法：①以点A为圆心，长为半径画圆；②以点C为圆心，长为半径画弧，交于点P（不与点B重合）；③连接交于点D．线段就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接．，∴点C在上．点P在上，（_________）（填推理的依据）．，_________．．

参考答案1．C【分析】根据圆的性质，设OB=x，OD=x-2，由勾股定理即可求解；【详解】解：∵∴AD=BD∵∴BD=AB=4∵设OB=x，OD=x-2由勾股定理得，即，解得：x=5故选：C【点睛】本题主要考查圆的性质、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．2．D【分析】先利用圆内接四边形的对角互补计算出的度数，然后根据圆周角定理得到的度数．【详解】解：，，．故选：D．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．3．A【分析】根据圆周角和三角形内角和的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】在M处放置2台该型号的灯光装置，如下图∵在A、B两处安装各一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，∴优弧所对圆周角如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为，且∴为优弧所对圆周角∴，即①方案成立；在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，分别连接、、、、、,如下图，∵，∴②方案成立；在P处放置2台该型号的灯光装置，如下图，MN和相切于点P如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为总根据题意，，即两台灯光照亮角度总和∴③方案不成立；故选：A．【点睛】本题考查了圆、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角的性质，从而完成求解．4．30°##30度【分析】由圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC=60°，继而∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-60°=30°．【详解】解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为，由圆周角定理可知：∠BOC=2∠BAC=60°，又∠AOC=90°，∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-60°=30°．故答案为：30°．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解题关键．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．70°【分析】由OB＝OC，∠OCB＝20°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠BOC的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，求得∠A的度数．【详解】解：∵OB＝OC，∠OCB＝20°，∴∠OBC＝∠OCB＝20°，∴∠BOC＝180°―∠OBC―∠OCB＝180°﹣20°﹣20°＝140°，∴∠A＝∠BOC＝70°故答案为：70°【点睛】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．6．40【分析】根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，从而得到∠A=40°，再由圆周角定理，即可求解．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CBA=50°，∴∠A=90°-∠CBA=40°，∵∠CDB=∠A，∴∠CDB=40°．故答案为：40【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，圆周角定理是解题的关键．7．80【分析】根据圆内接四边形的性质计算出即可．【详解】解：∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝100°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴．故答案为．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质．8．8．【分析】连结OA，先计算OD的长，由勾股定理解得AD的长，再根据垂径定理可得AB=2AD，据此解题．【详解】连结OA，拱桥半径OC为5cm，cm，m，cm，mm，故答案为：8．【点睛】本题考查垂径定理及其推论、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．9．(1)C1、C3(2)1≤b<3或b>3(3)≤d≤【分析】（1）根据“友好点”的定义逐个判断即可；（2）分两种情况讨论，直线PQ在点C上方或下方．过B作PQ的垂线，垂足为B，交x轴于H，根据题目中的定义知：BQ或BP的长度要大于或等于BC的长度，求解即可；（3）首先分析得到E点的运动范围，作出图形知OE≥2，当EH平分∠FEO时，其中H（2，0），是其最大临界值，根据勾股定理求出最大值为，即得结论．（1）解：如图所示，由题意知三角形OC1M为等腰直角三角形，C1符合题意；过C2作C2A⊥OM于A，则AM=3，C2A=4，三角形AMC2不是等腰三角形，C2不符合题意；过C3作C3B⊥OM于B，则C3B=AB=1，三角形ABC3是等腰直角三角形，符合题意；故答案为：C1、C3．（2）解：分两种情况讨论，当直线PQ在C点上方时，过C作CB⊥PQ于B，延长BC交x轴于H，如图所示，则△BPH为等腰直角三角形，BP=BH>BC，故在线段PQ上必存在A点，使得∠ABC=90°，AB=BC，将x=2，y=1代入y=－x+b得：b=3，即b>3；当直线PQ在C点下方时，过C作CB⊥PQ于B，CB延长线交x轴于H，则当BQ≥BC时，符合题意，当直线PQ过H点时，BQ=BC，如图所示，此时，－1+b=0，即b=1，即1≤b<3，综上所述，b的取值范围为：1≤b<3或b>3．（3）解：根据题意，为的弦，根据定义可知，，当取得最小，点在上，此时则则当取得最大值时，为的直径，当的长度变化时，总能在上找到点使得，则符合题意的点在如图中阴影部分中运动，通过分析可知，当直线EF在下图中的位置时，d取得最大值，此时，∠HEO=22.5°，即EH为∠EHF的平分线，过H作HM⊥EF于M，则HM=OH=2，∴FM=2，由勾股定理得：FH=，即OE=OF=，即d=∴≤d≤．【点睛】本题考查了新定义的问题，涉及到一次函数与圆的性质的综合应用，所用到的数学思想方法为数形结合、分类讨论，该题综合性较强．解题关键是读懂题意，借助定义作出符合题意的图形．10．(1)见解析(2)①等边三角形，②同弧上的圆周角等于圆心角的一半【分析】(1)按照作图的基本步骤规范画图即可．(2)根据圆的性质，等边三角形的判定解答．(1)根据作步骤，画图如下：(2)证明：如图，连接，，，．∵，∴为等边三角形．∴．同理可得，．∴．∴（同弧上的圆周角等于圆心角的一半）（填推理的依据）．∵，∴是等边三角形．同理可得，是等边三角形．【点睛】本题考查了圆的基本作图，等边三角形的判定，圆周角定理，熟练掌握等边三角形的判定，灵活运用圆周角定理是解题的关键．11．(1)见解析(2)圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠BAC【分析】（1）根据作法按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可（1）解：如图所示，即为所求；（2）证明：连接PC．∵AB＝AC，∴点C在上．∵，∴（_圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半__）（填推理的依据），由作图可知，，∴_∠BAC__．∴．故答案为：圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠BAC．【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．12．(1)见解析(2)SSS；同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍．【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；（2）根据作图过程可得PM=PE=CD=CO，EM=OD，即可证明，可得，再根据圆周角定理进而可以完成证明．（1）如图所示，（2）证明：连接CD，EM．∵PM=PE=CD=CO，EM=OD，∴（__SSS__）．∴．又∵（同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍）．∴．故答案为：SSS；同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍．【点睛】本题主要考查了复杂作图以及圆周角定理，灵活掌握圆周角定理是本题的关键．13．（1）见详解；（2）在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.【分析】（1）由题意根据题干中要求的作法进行作图即可补全图形；（2）由题意根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半即可完成证明．【详解】解：（1）如图，即为补全的图形，（2）证明：∵P、C、D都在⊙M上，∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，∴∠P=∠CMD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半），∴∠AMD