《高考备考指南 文科数学》课件-第8章 第2讲

第八章第2讲[A级基础达标]1．在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．2．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中()A．必有三点共线 B．必有三点不共线C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线【答案】B【解析】A，B，C，D共面而不共线，这四点可能有三点共线，也可能任意三点不共线，A错误；如果四点中没有三点不共线，则四点共线，矛盾，故B正确；当任意三点不共线时，也满足条件，故C错误；当其中三点共线，第四个点不共线时，也满足条件，故D错误，故应选B．3．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行 B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面【答案】D【解析】依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．故选D．4．若空间两个角a与b的两边对应平行，当a＝60°时，则b等于()A．30° B．30°或120°C．60° D．60°或120°【答案】D【解析】∵空间两个角a与b的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵a＝60°，∴b＝60°或120°.故选D．5．(2017年汕头模拟)已知四棱锥P－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，点E是PB的中点，则异面直线AE与PD所成角的余弦值为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(2,3)【答案】C【解析】设棱长都为1，连接AC，BD交于点O，连接OE.如图，∵所有棱长都相等，不妨设ABCD是正方形．∴O是BD的中点，且OE∥PD，∴∠AEO或其补角为异面直线AE与PD所成的角．又OE＝eq\f(1,2)PD＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\f(\r(3),2)，OA＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)eq\r(12＋12)＝eq\f(\r(2),2).在△OAE中，由余弦定理得cos∠AEO＝eq\f(AE2＋OE2－OA2,2AE·OE)＝eq\f(\r(3),3).6．如图所示，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的序号是________①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成角为60°.【答案】④【解析】由正方体的性质得，BD∥B1D1，所以，BD∥平面CB1D1；故①正确．由正方体的性质得AC⊥BD，而AC是AC1在底面ABCD内的射影，由三垂线定理知，AC1⊥BD，故②正确．由正方体的性质得BD∥B1D1，由②知，AC1⊥BD，所以AC1⊥B1D1，同理可证AC1⊥CB1，故AC1垂直于平面CB1D1内的2条相交直线，所以AC1⊥平面CB1D1，故③成立．异面直线AD与CB1所成角就是BC与CB1所成角，故∠BCB1为异面直线AD与CB1所成角，等腰Rt△BCB1中，∠BCB1＝45°，故④不正确．故答案为④.7．若在三棱锥S－ABC中，M，N，P分别是棱SA，SB，SC的中点，则平面MNP与平面ABC的位置关系为______．【答案】平行【解析】∵M，N，P分别是棱SA，SB，SC的中点，∴MN∥AB，NP∥BC(三角形的中位线)；而MN，NP相交并且属于平面MNP，AB，BC相交并且属于平面ABC，∴平面MNP∥平面ABC，故答案为平行8．(2016年广西一模)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱DC的中点，则D1P与BC1所在的直线所成角的余弦值等于________【答案】eq\f(\r(10),5)【解析】连接AD1，AP，∵AD1∥BC1，∴∠AD1P就是D1P与BC1所在的直线所成角，设AB＝2，则AP＝D1P＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5)，AD1＝eq\r(4＋4)＝2eq\r(2)，∴cos∠AD1P＝eq\f(AD\o\al(2,1)＋D1P2－AP2,2×AD1×D1P)＝eq\f(8＋5－5,2×2\r(2)×\r(5))＝eq\f(\r(10),5)，即D1P与BC1所在的直线所成角的余弦值等于eq\f(\r(10),5).9．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点【证明】(1)连接EF，A1B，D1C∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B，A1B∥D1C∴EF∥D1C∴由两条平行线确定一个平面，得到E，C，D1，F四点共面．(2)分别延长D1F，DA，交于点P∵P∈DA，DA⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD.∵F是AA1的中点，FA∥D1D，∴A是DP的中点．连接CP，∵AB∥DC，∴CP∩AB＝E.∴CE，D1F，DA三线共点于P10．如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过点E，F，G的平面交AD于点H.(1)求AH∶HD；(2)求证：EH，FG，BD三线共点．【解析】(1)∵eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FB)＝2，∴EF∥AC.∴EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH，AC∥GH.∴eq\f(AH,HD)＝eq\f(CG,GD)＝3.∴AH∶HD＝3∶1.(2)证明：∵EF∥GH，且eq\f(EF,AC)＝eq\f(1,3)，eq\f(GH,AC)＝eq\f(1,4)，∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，又P∈FG，FG⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH，FG，BD三线共点．[B级能力提升]11．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体的各个顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有()A．12对 B．18对C．24对 D．30对【答案】C【解析】如图，正方体ABCD­A′B′C′D′中，在连接正方体的各个顶点的所有直线中，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A′B，BC′，A′D，C′D，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有eq\f(12×4,2)＝24对．故选C．12．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，AA1的中点，则EF与A1C1A．30° B．45°C．60° D．90°【答案】C【解析】如图所示，连接A1B，BC1.∵E，F分别为AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.∴∠C1A1B或其补角为异面直线EF与A1C1∵△A1BC1为等边三角形，∴∠C1A1B＝60°，即为异面直线EF与A1C1所成的角．13．(2016年南昌校级二模)将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD(如图2)，则在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．异面且垂直 D．异面但不垂直【答案】C【解析】在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是异面且垂直．在图1中，∵AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线，∴AD⊥BC.在四面体ABCD中，∵AD⊥BD，AD⊥DC，AD∩DC＝D，∴AD⊥平面BCD.∴AD⊥BC.又AD与BC是异面直线．综上可知：在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是异面且垂直．故选C．14．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列命题中正确的有________．(填序号)．①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；④若m∥α，n∥α，则m∥n.【答案】①②.【解析】①若m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质，可得m∥n，正确；②若m⊥α，n⊂α，利用线面垂直的性质，可得m⊥n，正确；③若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，不正确；④若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交、异面，不正确．故答案为①②.15．(2016年吉林四模)六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，且侧棱长等于底面边长，则直线AE与CB1【答案】eq\f(\r(6),4)【解析】∵CB1∥EF1，∴∠AEF1是异面直线AE与CB1所成角．设AB＝1，则AF1＝EF1＝eq\r(2)，AE2＝1＋1－2×1×1×cos120°＝3，即AE＝eq\r(3)，∴cos∠AEF1＝eq\f(AE2＋EF\o\al(2,1)－AF\o\al(2,1),2AE·EF1)＝eq\f(3＋2－2,2×\r(3)×\r(2))＝eq\f(\r(6),4)，即直线AE与CB1所成角的余弦值为eq\f(\r(6),4).16．如图所示，三棱锥A－BCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，H，G分别是棱AD，CD上的点，且EH∩FG＝K.求证：(1)EH，BD，FG三条直线相交于同一点K；(2)EF∥HG.【证明】(1)∵E，H分别是棱AB，AD上的点，∴EH⊂平面ABD.又∵