第4章因式分解课件浙教版数学七年级下册

热门考点整合第4章因式分解

都不变号

都变号(a+b)(a-b)

(a+b)²(a-b)²

考点一

因式分解的意义典例1

(2024·宁波慈溪期末)下列式子中,从左到右的变形是因式分解的为(

D

)A.(1+a)(1-a)=1-a2B.m2+3=m

C.a2+4a-20=(a-3)(a+7)+1D.-a2+2ab-b2=-(a-b)2D1.若4x2+mx+1=(2x-1)2成立,有下列说法:①

从左到右的变形是因式分解;②

从左到右的变形是整式的乘法;③m=4.其中,正确的是(

A

)A.①B.②C.③D.①③A跟踪训练

典例2

★把下列各式分解因式:(1)-14x3(x+5)+7x2y.解:原式=-7x2[2x(x+5)-y]=-7x2(2x2+10x-y).(2)10b2(a-2)-5b(2-a)2.解:原式=10b2(a-2)-5b(a-2)2=5b(a-2)[2b-(a-2)]=5b(a-2)(2b-a+2).(3)(m-n)4+n(n-m)3+m(m-n)3.解:原式=(m-n)4-n(m-n)3+m(m-n)3=(m-n)3(m-n-n+m)=(m-n)3(2m-2n)=2(m-n)4.

考点二

运用提公因式法分解因式2.把下列各式分解因式:(1)(2023·杭州萧山期中)y(2a-b)+x(b-2a).解:原式=y(2a-b)-x(2a-b)=(2a-b)(y-x).(2)-3an+2+an+1-an.解:原式=-an(3a2-a+1).(3)(2x+3)2-2x-3.解:原式=(2x+3)2-(2x+3)=(2x+3)(2x+3-1)=2(2x+3)(x+1).跟踪训练

典例3

★把下列各式分解因式:

(2)(y+2x)2-(x+2y)2.解:原式=[(y+2x)+(x+2y)][(y+2x)-(x+2y)]=(y+2x+x+2y)(y+2x-x-2y)=(3x+3y)(x-y)=3(x+y)(x-y).

考点三

运用公式法分解因式(3)(2x+y)2-6(2x+y)y+9y2.解:原式=(2x+y)2-2·(2x+y)·3y+(3y)2=[(2x+y)-3y]2=(2x+y-3y)2=(2x-2y)2=[2(x-y)]2=4(x-y)2.3.把下列各式分解因式:

(2)4(a+2b)2-12a(a+2b)+9a2.解:原式=[2(a+2b)-3a]2=(4b-a)2.(3)25(a+b)2-9(a-b)2.解:原式=[5(a+b)-3(a-b)][5(a+b)+3(a-b)]=(2a+8b)(8a+2b)=2(a+4b)×2(4a+b)=4(a+4b)(4a+b).跟踪训练

典例4把下列各式分解因式:(1)ax4-8ax2y2+16ay4.解:原式=a(x4-8x2y2+16y4)=a(x2-4y2)2=a[(x+2y)(x-2y)]2=a(x+2y)2(x-2y)2.(2)m6-81m2n4.解:原式=m2(m4-81n4)=m2(m2+9n2)(m2-9n2)=m2(m2+9n2)(m+3n)(m-3n).(3)16xa2b2-x(a2+4b2)2.解:原式=x[16a2b2-(a2+4b2)2]=x[4ab+(a2+4b2)][4ab-(a2+4b2)]=-x(a2+4ab+4b2)·(a2-4ab+4b2)=-x(a+2b)2(a-2b)2.

考点四

综合运用提公因式法、公式法分解因式4.把下列各式分解因式:(1)x4-8x2+16.解:原式=(x2-4)2=[(x+2)·(x-2)]2=(x+2)2(x-2)2.(2)(a2+4)2-16a2.解:原式=[(a2+4)+4a][(a2+4)-4a]=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2.(3)2x3(a-1)+8x(1-a).解:原式=2x3(a-1)-8x(a-1)=2x(a-1)·(x2-4)=2x(a-1)(x+2)(x-2).(4)(x2-3)2-12(x2-3)+36.解:原式=[(x2-3)-6]2=(x2-9)2=[(x+3)·(x-3)]2=(x+3)2·(x-3)2.跟踪训练

典例5随便写出一个十位上的数字与个位上的数字不相等的两位数,将它的十位上的数字与个位上的数字对调得到另一个两位数,并用较大的两位数减去较小的两位数,所得的差一定能被9整除吗?请说明理由.解:所得的差一定能被9整除.理由:设该两位数个位上的数字是b,十位上的数字是a,且a>b,b≠0,则这个两位数是10a+b.所以将十位上的数字与个位上的数字对调后得到的数是10b+a.所以较大的数减去较小的数的差是(10a+b)-(10b+a)=9a-9b=9(a-b).因为9(a-b)是9的倍数,所以所得的差一定能被9整除.

考点五

运用因式分解说理5.已知k为正整数,试判断(2k+1)2-1能否被8整除,并说明理由.解:(2k+1)2-1能被8整除.理由:(2k+1)2-1=(2k+1+1)(2k+1-1)=2k(2k+2)=4k(k+1).因为k为正整数,所以k,k+1为两个相邻的正整数.所以其中必有一个数为偶数,即2的倍数.所以4k(k+1)为8的倍数,即(2k+1)2-1能被8整除.跟踪训练

典例6

★若实数m,n满足m2+n2+m2n2+8mn+9=0,则(m-n)2的值为

12

.

已知等式中有两个未知数,就目前知识无法通过解方程求出m,n的值.由于已知等式左边有4个平方项:m2,n2,m2n2,9,故考虑把8mn拆成2mn+6mn,这样就可以把等式的左边凑成两个完全平方式(这种方法叫作配方法),然后运用非负数的性质求解.

跟踪训练

12

4

考点六

运用配方法求代数式的值

1.下列各式从左到右的变形中,属于因式分解且正确的是(

B

)A.ax+ay=a(x+y)+1B.3a+3b=3(a+b)C.a2+4a+4=(a+4)2D.a2+b=a(a+b)2.(2023·绍兴诸暨期中)若多项式(a+b-c)(a+c-b)+(b-a+c)(b-a-c)=M(a-b+c),则M等于(

D

)A.2(b-c)B.2aC.2bD.2(a-c)BD3.把(a+b)2-4(a2-b2)+4(a-b)2分解因式的结果为(

C

)A.(3a-b)2B.(3b+a)2C.(3b-a)2D.(3a+b)24.(2023·金华义乌期中)若c2-a2-2ab-b2=10,a+b+c=-5,则a+b-c的值是(

A

)A.2B.5C.20D.95.已知(a+2b)2-2a-4b+1=0,则(a+2b)2025的值为

1

.

6.若(20212-4)×(20202-4)=2023×2019×2018m,则m的值是

2022

.

CA1

2022

7.(2023·珠海香洲二模)我们学习的许多代数公式,都可以用几何图形来推理验证.观察图①,a2-1=a(a-1)+(a-1)=(a-1)·(a+1).接下来,观察图②,通过类比思考,分解因式:a3-1=

a2(a-1)+a(a-1)+(a-1)

=

(a-1)(a2+a+1)

.

a2(a-1)+a(a-1)+(a-1)

(a-1)(a2+a+1)

8.如图,学校劳动实践基地有两块边长分别为a,b的正方形秧田A,B,其中不能使用的面积为M.

(1)用含a,M的代数式表示A中能使用的面积:

a2-M

.

(2)若a+b=10,a-b=5,求A比B多出的使用面积.(第8题)a2-M

解:因为a+b=10,a-b=5,所以A比B多出的使用面积为(a2-M)-(b2-M)=a2-b2=(a+b)(a-b)=10×5=50.9.阅读下面的材料:把多项式x4+4分解因式.分析:这个二项式既无公因式可提,也不能直接利用公式,怎么办呢?19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项,而且属于平方和(x2)2+22的形式,要使用公式就必须添一项4x2,再将此项4x2减去,得x4+4=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2).人们为了纪念苏菲·热门给出了这一解法,就把它叫作“热门定理”.请你依照苏菲·热门的做法,将下