切线的判定和性质

第二十四章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系第3课时切线的判定和性质返回1．如图，点A在⊙O上，下列条件不能说明PA是⊙O的切线的是(

)A．OA2＋PA2＝OP2

B．PA⊥OAC．∠P＝30°，∠O＝60°D．OP＝2OAD返回2．[2024山西]如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD＝80°，则∠C的度数为(

)A．30°B．40°C．45°D．50°D返回3．[2025天津南开区期中]如图，⊙O的半径为3，A为⊙O上一点．按以下步骤作图：①连接OA；②以点A为圆心，3为半径作弧，交⊙O于点B；③在射线OB上截取BC＝OB；④连接AC．则下列说法中错误的是(

)A．∠AOB＝60°B．AC为⊙O的切线C．AC＝6 D．∠ACO＝30°C返回4．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(

)A．点(0，3)B．点(1，3)C．点(6，0)D．点(6，1)B返回5．

如图，AB是⊙O的直径，要使得直线AT是⊙O的切线，需要添加的一个条件是_______________________.(写一个条件即可)∠TAC＝∠B(答案不唯一)6．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝60°，BC＝3，则线段AE的长为________．3返回【点拨】如图，连接OA，OB，BD，OE，延长EO交AB于点F，则∠AOB＝120°.∵CD与⊙O相切于点E，∴EF⊥CD.由平移的性质得CD∥AB，DB⊥AB.∴EF⊥AB.∴易得四边形BDEF是矩形，AF＝BF.∴BD＝EF.返回【答案】C8．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如图是其示意图．点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成⊙O，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C，D是直线l与⊙O的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若AB＝12，OB＝5，则下列结论正确的是(

)A．FC＝2

B．EF＝12C．当AB与⊙O相切时，EA＝4D．当OB⊥CD时，EA＝AF

返回【答案】AC返回【答案】A【答案】B返回11．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E,⊙O与AC相切于

点D．(1)求证：BC是⊙O的切线；【证明】如图，连接OD，过点O作OP⊥BC于点P.∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC.∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，∴易得∠OCD＝45°，四边形ODCP为矩形．∴CD＝DO，OP＝CD.∴OD＝OP，即OP是⊙O的半径．∴BC是⊙O的切线．返回12．【阅读资料】我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角，如图①中∠PAB所示．同学们研究发现：P为圆上任意一点，若弦AC经过圆心O，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB＝∠P(如图②)．证明：∵AB切⊙O于点A，∴∠CAB＝90°．又∵AC是直径，∴∠P＝90°，∴∠CAB＝∠P．【问题拓展】若AC不经过圆心O，如图③，当圆心O在∠PCA的内部时，∠CAB＝∠P还成立吗？如图④，当圆心O在∠PCA的外部时，∠CAB＝∠P还成立吗？请说明理由.【解】当圆心O在∠PCA的内部时，∠CAB＝∠P成立．理由如下：连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，如图①，则∠D＝∠P.∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∴∠D＋∠CAD＝90°.∵AB切⊙O于点A，∴AD⊥AB，∴∠CAB＋∠CAD＝90°，∴∠CAB＝∠D＝∠P.当圆心O在∠PCA的外部时，∠CAB＝∠P成立．理由如下：连接AO并延长交⊙O于点D′，连接PD′，如图②，则∠C＝∠D′，易知∠PAD＝∠D′，∴∠PAD＝∠C.又∵∠C＋∠CPA＋∠PAC＝180°，∠PAD＋∠PAC＋∠CAB＝180°，∴∠CAB＝∠CPA.【知识运用】如图⑤，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC．【证明】如图③，连接DF.∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD.∵经过点A的⊙O与BC相切于点D，∴∠CDF＝∠CAD，∴∠B