函数的零点与方程的解课件高一上学期数学人教A版

第四章§4.5函数的应用(二)4.5.1函数的零点与方程的解一、回顾复习一元二次方程一元二次方程的解二次函数二次函数的零点二次函数,在f(x)＝0时得到：观察函数图象，抛物线与x轴有两个公共点.不难知道一元二次函数值f(x)＝0时,二次函数图象与x轴交点的横坐标为-1，3，也就是说对应一元二次方程的实数解为-1，3.一元二次方程二、概念形成（1）1.对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.注意

函数的零点不是一个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标.2.方程、函数、图象之间的关系：函数y＝f(x)的零点方程f(x)=0的实数解函数y＝f(x)的图象与x轴的交点横坐标方程f(x)=0有实数解函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点函数y＝f(x)有零点就是也就是例1.求下列函数的零点.分段函数零点：分段直接求解对数方程解指数方程方程lnx+2x-6＝0属于超越方程，没办法直接利用代数变形技巧求解，那我们如何研究此方程涉及到的解问题呢？思考：有零点吗？有解吗？通常来说，对一个复杂的超越方程的解的问题，我们一般关注这样一些问题：1.该方程有没有解；2.如果方程有解，该方程有几个解；3.该方程的解是多少.

思考：有零点吗？1-42-1.306931.098643.386355.6094

总结:连续不断的函数图象在闭区间“穿过x轴”，此时函数图象与x轴必有交点，对应函数有零点。如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.函数零点存在定理注意：(1)图象是连续不断；(3)至少存在一个零点;三、概念形成（2）(2)闭区间端点函数值异号；(4)主要用来判断变号零点的存在。例2.判断下列命题的真假性，如果为假命题，请举出特例说明.（1）如果函数y＝f(x)在区间[a，b]满足f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点.（2）如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图象是连续不断的一条曲线，且满足f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点.思考辨析

判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU假命题假命题（3）如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且满足，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少存在一个零点.假命题（4）如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少一个零点，那么f(a)f(b)<0.假命题(4)说明零点存在定理不可逆！异号不连续例2.判断下列命题的真假性，如果为假命题，请举出特例说明.（5）如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且满足f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有且只有一个零点.推论若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，在闭区间[a，b]上具有单调性，且f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在(a，b)上有唯一零点.假命题思考：

零点存在定理如何证明？答案：零点存在定理在高等数学中，又称为Bolzano-Cauchy第一定理，也称为零点定理、零值定理、根存在定理,他等价于高等数学中介值定理。目前在高等数学中，最严谨的证法是利用Cauchy-Cantor（柯西-康托）闭区间套定理或者实数完备性的八大等价定理来证明。高中阶段此定理不需要证明，只需要理解定理，会根据定理解决与零点存在问题有关的数学问题即可。

例3函数在以下哪些区间一定有零点？为什么？√反思感悟确定函数y=f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.解方法一：由于f(1)＝2－6<-4，f(e)＝2e-5>0，所以f(1)·f(e)<0，又因为函数f(x)在(1,e)上是连续的且单调递增的，所以f(x)在(1,e)上有且仅有唯一个零点.例3.函数

零点的个数.方法二：

令f(x)=0，则

lnx＋2x－6＝0，

它等价于lnx＝6－2x，所以原方程实数解的个数即为函数y＝lnx与y＝6－2x的图象公共点（交点）个数.在同一直角坐标系下，作出两函数的图象,观察可知，两个函数图象只有一个交点，从而函数y=f(x)只有一个零点.进一步思考,上题中函数在区间(1,e)有几个零点？函数y＝f(x)-g(x)零点的个数方程f(x)＝g(x)实数根个数函数y＝f(x)的图象与y=g(x)的图象交点个数

小结：判断函数零点个数的常见方法：(1)代数法：可以利用零点存在定理来确定零点的存在性，然后借助函数的

单调性判断零点的个数；(2)几何法：利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数.反思感悟21三、课堂小结KETANGXIAOJIE这节课我们学习了哪些内容，有哪些收获?(1)函数的零点；(3)学习了零点存在定理，会判断函数的零点及方程解