《二次函数-二次函数的图象与性质》数学教学课件(9篇)

第二章

二次函数二次函数的图象与性质第1课时1课堂讲解二次函数

y=x2与

y=-x2的图象

二次函数

y=x2与

y=-x2的性质

2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升(1)一次函数的图象是什么？

一条直线(2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？

列表——描点——连线(3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？主要工具是函数的图象回顾旧知1知识点二次函数

y=x2与

y=-x2的图象

知1－导在同一直角坐标系中，画出函数y=x2

和y=－x2

的图象，这两个函数的图象相比，有什么共同点？有什么不同点？知1－导y=x2y=－x200.2512.2540.2512.2540－0.25－1－2.25－4－0.25－1－2.25－4x0－211.50.52－1.5－0.5－1

函数图象画法列表描点连线注意：列表时自变量取值要均匀和对称用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结例1作出二次函数

y＝x2的图象．知1－讲

按列表、描点、连线三个步骤画函数的图象．(1)列表：x…－3－2－10123…y…9410149…解：导引：知1－讲（来自《点拨》）(2)描点；(3)连线．xy0-4-3-2-11234108642-2y=x2总

结知1－讲（来自《点拨》）

七点法，即先取原点，然后在原点两侧对称地取六个点，由于关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以先计算y轴右侧三个点的坐标，则左侧三个点的坐标对应写出即可．已知正方形的边长为x(cm)，则它的面积y(cm2)与边长x(cm)的函数关系图象为(

)知1－练1（来自《典中点》）C下列关于抛物线y＝x2和y＝－x2的异同点说法错误的是(

)A．抛物线y＝x2和y＝－x2有共同的顶点和对称轴B．抛物线y＝x2和y＝－x2的开口方向相反C．抛物线y＝x2和y＝－x2关于x轴成轴对称D．点A(－3，9)在抛物线y＝x2上，也在抛物线y＝－x2上知1－练2（来自《典中点》）D关于y＝x2与y＝－x2的图象，下列说法中错误的是(

)A．其形状相同，但开口方向相反，原因是函数

表达式的系数互为相反数B．都关于y轴对称C．图象都有最低点，且其坐标均为(0，0)D．两图象关于x轴对称知1－练3（来自《典中点》）C已知A(m，a)和B(n，a)两点都在抛物线y＝x2上，则m，n之间的关系正确的是(

)A．m＝n

B．m＋n＝0C．m＋n>0D．m＋n<0知1－练4（来自《典中点》）B如图，圆的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是________．知1－练5（来自《典中点》）2π2知识点二次函数

y=x2与

y=-x2的性质

知2－导议一议观察二次函数y=x2与

y=－x2的图象，你能发现什么问题？知2－导抛物线y=x2y=－x2顶点坐标对称轴位置开口方向极值（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方（除顶点外）在x轴的下方（除顶点外）向上向下当x=0时，最小值为0.当x=0时，最大值为0.知2－导当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小。

当a>0时，在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。

当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大。

当a<0时，在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。

当x=－2时，y=4当x=－1时，y=1当x=1时，y=1当x=2时，y=4当x=－2时，y=－4当x=－1时，y=－1当x=1时，y=－1当x=2时，y=－4例2已知函数y＝－x2，不画图象，回答下列各题．(1)开口方向：______；(2)对称轴：_____；(3)顶点坐标：______；(4)当x＞0时，y随x的增大而______；(5)当x____时，y＝0；(6)当x____时，函数值y最____，是___．

知2－讲（来自《点拨》）导引：根据二次函数y＝ax2(a≠0)的性质直接作答．向下y轴减小（0,0）=0=0大0知2－讲例3如图，观察函数y＝x2的图象，则下列判断中正确

的是(

)A．若a，b互为相反数，则当x＝a与x＝b时的函数

值相等B．对于同一个自变量x，有

两个函数值与其对应C．对任意实数x，都有y＞0D．对任意实数y，都有两个x

与其对应A（来自《点拨》）知2－讲导引：当x＝a和x＝b时的函数值分别是a2，b2，因为a＝

－b，所以a2＝b2，所以A正确．如果对于同一个自

变量x，y有两个值与其对应，根据定义知y就不是x

的函数，故B错误．当x＝0时，y＝0，所以选项C也

不对．y＝x2的图象是经过原点，位于x轴上方的，

所以y≥0，y不可能取到所有实数，当y＝0时，x＝0，

故D错误．（来自《点拨》）总

结知2－讲（来自《点拨》）y＝x2的图象关键有两性：一是对称性(关于y轴对称)；二是非负性(函数值y的非负性)．知2－讲例4

已知a>1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都

在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3之间的大小

关系为___________．导引：因为a>1，所以0<a－1<a<a＋1,所以这三个点

都在函数y＝x2的图象的对称轴的右侧．根据“当x>0时，y随x的增大而增大”的性质，可得

y3>y2>y1.（来自《点拨》）y3>y2>y1总

结知2－讲（来自《点拨》）

当所比较的点都在抛物线的对称轴的同一侧时，可直接利用函数的增减性进行大小比较．已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象上的两点，当x1<x2<0时，y1与y2的大小关系为________．知2－练（来自《典中点》）1y1＜y2如图，点A是抛物线y＝－x2上一点，AB⊥x轴于点B，连接AO，若B点坐标为(－2，0)，则A点坐标为____________，S△AOB＝________．知2－练（来自《典中点》）2(－2，－4)4下列说法正确的是(

)A．函数y＝x2的图象上的点，其纵坐标的值随x值的增大而增大B．函数y＝－x2的图象上的点，其纵坐标的值随x值的

增大而增大C．抛物线y＝x2与y＝－x2的开口方向不同，其对称轴都是y轴，且y值都随x值的增大而增大D．当x<0时，函数y＝x2，y的值随x值的增大的变化情况与当x>0时，函数y＝－x2，y的值随x值的增大的变化情况相同知2－练（来自《典中点》）3D如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝x2的图象交于A(－1，1)和B(2，4)两点，则当y1<y2时，x的取值范围是(

)A．x<－1

B．x>2C．－1<x<2D．x<－1或x>2知2－练（来自《典中点》）4D已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝x2的图象上，则(

)A．y1＜y2＜y3

B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1

D．y2＜y1＜y3知2－练（来自《典中点》）5C1.研究函数图象，就是要明确该函数图象的画法、名称、形状特征以及分布在坐标系中的位置．二次函数

y＝x2和y＝－x2的图象都是抛物线，是轴对称图形．开口方向、顶点、对称轴统称为抛物线的三要素．2.二次函数y＝x2和y＝－x2图象的形状和大小完全相同，只是开口方向不同，这两个函数的图象既关于x轴对称又关于原点对称．1知识小结函数y＝－x2(－2≤x≤1)的最大值为____，最小值为______．易错点：求函数的最值问题时忽略自变量的取值范围.2易错小结0－4第二章

二次函数二次函数的图象与性质第2课时1课堂讲解二次函数y=ax2的图象

二次函数y=ax2的性质

2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升回顾旧知1.抛物线y=x2与y=－x2的顶点是原点，对称轴是y轴.抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外)，它的开口向上，并且向上无限伸展；抛物线y=－x2在x轴的下方(除顶点外)，它的开口向

下，并且向下无限伸展.1知识点二次函数y=ax2的图象想一想知1－导在图中画出y=x2的图象.它与y=x2，y=2x2的图象有什么相同和不同？x…-4-3-2-101

234…y=x2在同一直角坐标系中画出函数y=x2和y=2x2的图像(1)列表(2)描点(3)连线12345x12345678910yo-1-2-3-4-5x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x28…20.500.524.58…4.58…20.500.524.58…4.5函数y=x2,y=2x2的图像与函数y=x2(图中虚线图形)的图像相比,有什么共同点和不同点?知1－讲当a＜0时，它的图象又如何呢？归纳知1－讲一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大.不同点：相同点：例1在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝－2x2和

y3＝

x2的图象，正确的是图中的()

知1－讲D知1－讲当x＝1时,y1,y2,y3的图象上的对应点分别是(1,2),(1,－2),(1，),可知,其中有两点在第一象限,

一点在第四象限,排除B,C；在第一象限内,y1的对应点(1,2)在上,y3的对应点(1，)在下,排除A.导引：1关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是(

)A．它是一条抛物线B．它的开口向上，且关于y轴对称C．它的顶点是抛物线的最高点D．它与y＝－3x2的图象关于x轴对称知1－练（来自《典中点》）C2关于二次函数y＝2x2与y＝－2x2，下列叙述正确的有(

)①它们的图象都是抛物线；②它们的图象的对称轴都

是

y轴；③它们的图象都经过点(0，0)；④二次函数

y

＝2x2的图象开口向上，二次函数y＝－2x2的图象开口

向下；⑤它们的图象关于x轴对称．A．5个B．4个C．3个D．2个知1－练（来自《典中点》）A(中考·丽水)若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，

则该图象必经过点(

)A．(2，4)

B．(－2，－4)

C．(－4，2)

D．(4，－2)知1－练（来自《典中点》）A函数y＝ax－2与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(

)知1－练（来自《典中点》）4A【2016·赤峰】函数y＝k(x－k)与y＝kx2，y＝(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(

)知1－练（来自《典中点》）5C【2017·南宁】如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2(x≥0)和抛物线C2：y＝(x≥0)交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则

的值为(

)B.C.D.知1－练（来自《典中点》）6D2知识点二次函数y＝ax2的性质知2－讲1．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质如下表：函数y＝ax2图象开口方向开口大小顶点坐标对称轴a＞0向上|a|越大，开口越小(0，0)y轴(直线x＝0)a＜0向下|a|越小，开口越大(0，0)y轴(直线x＝0)知2－讲函数y＝ax2增减性最值a＞0当x＞0时，y随x的增大而增大当x＜0时，y随x的增大而减小当x＝0时，y最小值＝0a＜0当x＞0时，y随x的增大而减小当x＜0时，y随x的增大而增大当x＝0时，y最大值＝0续表：知2－讲例2

已知抛物线y＝4x2过点(x1，y1)和点(x2，y2)，当x1＜x2＜0

时，y1________y2.导引：方法一：不妨设x1＝－2，x2＝－1，

将它们分别代入y＝4x2中，得y1＝16，y2＝4，所以y1＞y2.

方法二：在平面直角坐标系中画出抛

物线y＝4x2，如图，显然y1＞y2.

方法三：因为a＝4＞0，x1＜x2＜0，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，所以y1＞y2.（来自《点拨》）＞总

结知2－讲（来自《点拨》）

方法一运用特殊值法，找出符合题目要求的x1和x2的值，计算出对应的y1和y2的值，再比较它们的大小；方法二运用数形结合思想，根据题意画出图象，利用图象来解题；方法三运用性质判断法，根据抛物线对应的函数表达式的特点，结合图象的性质进行判断．知2－讲导引：(1)由增减性可知a－2＜0，从而可求a的取值范围；(2)由于函数有最大值，所以其图象的开口方向向下，

从而得到3a－2＜0；例3根据下列条件分别求a的取值范围：(1)函数y＝(a－2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，

当x＜0时，y随x的增大而增大；(2)函数y＝(3a－2)x2有最大值；(3)抛物线y＝(a＋2)x2与抛物线y＝－

x2的形状相同；(4)函数y＝axa2＋a的图象是开口向上的抛物线．知2－讲导引：(3)由两抛物线的形状相同可知|a＋2|＝

，进而求

出a的值；(4)由其图象是开口向上的抛物线，可知

进而可求出a的值．解：(1)由题意得a－2＜0，解得a＜2.(2)由题意得3a－2＜0，解得a＜.(3)由题意得|a＋2|＝

，解得a1＝－

，a2＝－.(4)由题意得a2＋a＝2，解得a1＝－2，a2＝1，

由题知a＞0，∴a＝1.总

结知2－讲（来自《点拨》）

二次函数y＝ax2的图象和性质都是考查a的正负性，可以直接记性质也可以画草图.1

下列关于函数y＝36x2的叙述中，错误的是(

)A．图象的对称轴是y轴B．图象的顶点是原点C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．y有最大值2

(2016·玉林)抛物线y＝

x2，y＝x2，y＝－x2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对

称轴；④都关于x轴对称．其中正确的有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个知2－练（来自《典中点》）DB【2017·连云港】已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A

(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定

正确的是(

)A．y1＞0＞y2

B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0

D．y2＞y1＞0知2－练（来自《典中点》）C4对于二次函数：①y＝3x2；②y＝

x2；③y＝

x2，它们的图象在同一坐标系中，开口大小的顺序用序号来表示应是(

)A．②>③>①B．②>①>③C．③>①>②D．③>②>①知2－练（来自《典中点》）A5若二次函数y＝－ax2，当x＝2时，y＝

；则当x＝－2时，y＝________．知2－练（来自《典中点》）1.画函数图象的步骤有哪些？2.二次函数y=ax2的图象有哪些性质？1知识小结已知二次函数y＝x2，在－1≤x≤4这个范围内，求函数的最值．易错点：不能准确地掌握二次函数y＝ax2的图象与性质2易错小结当x＝－1时，y＝(－1)2＝1；当x＝4时，y＝42＝16.∴在－1≤x≤4这个范围内，函数y＝x2的最小值是1，最大值是16.－1≤x≤4时，既包含了正数、零，又包含了负数，因此在这个范围内对应的函数值y随x的变化情况要分段研究．实际上，当x＝0时，函数取得最小值0.而x＝－1时，y＝1；x＝4时，y＝16，所以最大值为16.∵－1≤x≤4包含了x＝0，∴函数y＝x2的最小值为0.当x＝－1时，y＝1；当x＝4时，y＝16.∴当－1≤x≤4时，函数y＝x2的最大值为16.错解：诊断：正解：第二章

二次函数二次函数的图象与性质第3课时1课堂讲解二次函数y=ax2+c的图象

二次函数y=ax2+c的性质二次函数y=ax2+c的性质与y=ax2

之间的关系2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升复习回顾：二次函数y=ax²的性质函数y＝ax2图象开口方向顶点坐标对称轴a＞0向上(0，0)y轴(直线x＝0)a＜0向下(0，0)y轴(直线x＝0)续表：函数y＝ax2增减性最值a＞0当x＞0时，y随x的增大而增大当x＜0时，y随x的增大而减小当x＝0时，y最小值＝0a＜0当x＞0时，y随x的增大而减小当x＜0时，y随x的增大而增大当x＝0时，y最大值＝01知识点二次函数y=ax2+c的图象做一做知1－导1.画二次函数y=x2+1的图象，你是怎样画的？与同伴进行

交流.2.二次函数y=x2+1的图象与二次函数y=x2的图象有什么关

系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐

标分别是什么？

二次函数y=x2-1的图象呢？知1－讲在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2+1和y=x2

－1的图像解:列表；x…-3-2-10123…y=x2+1y=x2-1…105212510……830-1038…12345x12345678910yo-1-2-3-4-5y=x2+1描点；连线.y=x2－1虚线为y＝x2的图象知1－讲（来自《点拨》）导引：根据二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象的对称轴是y轴直接选择．例1

〈兰州〉抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是(

)A．直线x＝B．直线x＝－C．y轴D．直线x＝2C总

结知1－讲（来自《点拨》）

函数y＝ax2＋c(a≠0)与函数y＝ax2(a≠0)图象特征：只有顶点坐标不同，其他都相同．1抛物线y＝ax2＋(a－2)的顶点在x轴的下方，则a的取

值范围是____________．2(中考·茂名)在平面直角坐标系中，下列函数的图象

经过原点的是(

)A．y＝B．y＝－2x－3C．y＝2x2＋1D．y＝5x知1－练（来自《典中点》）a＜2且a≠0D3在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交

点的个数是(

)A．3B．2C．1D．0知1－练（来自《典中点》）B在二次函数：①y＝3x2；

②y＝

x2＋1；③y＝－

x2－3中，图象开口大小顺序用序号表示为(

)A．①>②>③B．①>③>②C．②>③>①D．②>①>③知1－练（来自《典中点》）4C【中考·泰安】在同一坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是(

)知1－练（来自《典中点》）5D【2016·成都】二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是(

)A．抛物线开口向下B．抛物线经过点(2，3)C．抛物线的对称轴是直线x＝1D．抛物线与x轴有两个交点知1－练（来自《典中点》）6D2知识点二次函数y＝ax2+c的性质知2－讲二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象和性质函数y＝ax2＋c(a＞0)y＝ax2＋c(a＜0)图象c＞0c＜0开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c)知2－讲（来自《点拨》）函数y＝ax2＋c(a＞0)y＝ax2＋c(a＜0)对称轴y轴(或直线x＝0)y轴(或直线x＝0)增减性当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小最值当x＝0时，y最小值＝c当x＝0时，y最大值＝c续表：知2－讲例2

已知点(－7，y1)，(3，y2)，(－1，y3)都在抛物线y＝ax2＋k(a＞0)上，则(

)A．y1＜y2＜y3

B．y1＜y3＜y2

C．y3＜y2＜y1

D．y2＜y1＜y3∵抛物线y＝ax2＋k(a＞0)关于y轴对称，且点(3，y2)

在抛物线上，∴点(－3，y2)也在抛物线上．∵(－7，y1)，(－3，y2)，(－1，y3)三点都在对称轴左

侧，在y轴左侧时，y随x的增大而减小，且－7＜－3

＜－1，∴y3＜y2＜y1.（来自《点拨》）C导引：

总

结知2－讲（来自《点拨》）

对于在抛物线的对称轴两侧的函数值的大小比较，运用转化思想．先根据对称性将不在对称轴同侧的点转化为在对称轴同侧的点，再运用二次函数的增减性比较大小．1

对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是(

)A．最小值为2B．图象与x轴没有公共点C．当x<0时，y随x的增大而增大D．图象的对称轴是y轴2

(中考·绍兴)已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法正确的是(

)A．若y1＝y2，则x1＝x2B．若x1＝－x2，则y1＝－y2C．若0<x1<x2，则y1>y2D．若x1<x2<0，则y1>y2知2－练（来自《典中点》）CD【2017·泸州】已知抛物线y＝

x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为(，3)，P是抛物线y＝

x2＋1上一个动点，则△PMF周长的最小值是(

)A．3B．4C．5D．6知2－练（来自《典中点》）3C3知识点二次函数y＝ax2+c与y＝ax2之间的关系知3－讲观察知1中抛物线y=x2+1，抛物线y=x2－1与抛物线y=x2，它们之间有什么关系？知3－讲抛物线y=x2+1，y=x2－1与抛物线y=x2的关系:12345x12345678910yo-1-2-3-4-5y=x2+1抛物线y=x2抛物线y=x2－1向上平移1个单位抛物线y=x2向下平移1个单位y=x2－1y=x2抛物线y=x2+1函数的上下移动知3－讲例3

〈广州〉将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，

则平移后的图象对应的二次函数的表达式为(

)A．y＝x2－1

B．y＝x2＋1

C．y＝(x－1)2

D．y＝(x＋1)2导引：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝x2的图

象向下平移1个单位，则平移后的图象对应的二

次函数的表达式为y＝x2－1.（来自《点拨》）A总

结知3－讲（来自《点拨》）

平移的方向决定是加还是减，平移的距离决定加或减的数值．知3－讲例4抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－5x2的形状相同，开

口方向一样，且顶点坐标为(0，3)，则其所对应的

函数表达式是什么？它是由抛物线y＝－5x2怎样平

移得到的？导引：由两抛物线的形状、开口方向相同，可确定a的值；

再由顶点坐标为(0，3)可确定c的值，从而可确定

平移的方向和距离．（来自《点拨》）知3－讲解：因为抛物线y＝－5x2与抛物线y＝ax2＋c的形状相同，

开口方向一样，所以a＝－5.又因为抛物线y＝ax2＋c

的顶点坐标为(0，3)，所以c＝3，其所对应的函数表

达式为y＝－5x2＋3，它是由抛物线y＝－5x2向上平移3个单位得到的．（来自《点拨》）总

结知3－讲（来自《点拨》）

根据二次函数y＝ax2＋c的图象和性质来解此类问题．a确定抛物线的形状及开口方向，c的正负和绝对值大小确定上下平移的方向和距离．知3－练二次函数的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？画图看一看.1二次函数y＝3x2－

的图象与二次函数y＝3x2的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同．将二次函数y＝3x2－

的图象向上平移

个单位长度，就得到二次函数y＝3x2的图象．二次函数y＝3x2－

的图象是轴对称图形，开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为.画图略．解：（来自《教材》）知3－练二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系？2二次函数y＝－2x2－

的图象与二次函数y＝－2x2＋

的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同.将二次函数y＝－2x2－

的图象向上平移1个单位长度，就得到二次函数y＝－2x2＋

的图象．解：（来自《教材》）3抛物线y＝2x2＋1是由抛物线y＝2x2(

)得到的．A．向上平移2个单位长度

B．向下平移2个单位长度C．向上平移1个单位长度

D．向下平移1个单位长度4(2016·上海)如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位长度，那么所得新抛物线的表达式是(

)A．y＝(x－1)2＋2B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1D．y＝x2＋3知3－练（来自《典中点》）CC知3－练（来自《典中点》）5如图，两条抛物线y1＝－

x2＋1，y2＝－

x2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为(

)A．8

B．6C．10D．4Ay=ax2+c(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐标对称轴增减性向上向下(0,c)(0,c)y轴y轴当x<0时，y随着x的增大而减小.当x>0时，y随着x的增大而增大.

当x<0时，y随着x的增大而增大.当x>0时，y随着x的增大而减小.

二次函数y=ax2+c的图象与性质1知识小结y=ax2+c(a≠0)a>0a<0极值续表x=0时，y最小=cx=0时，y最大=c抛物线y=ax2

+c(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移|c|个单位得到.能否通过上下平移二次函数y＝

x2的图象，使得到的新的函数图象过点(3，－3)？若能，说出平移的方向和距离；若不能，说明理由．易错点：对平移的规律理解不透彻2易错小结能．设平移后的图象对应的二次函数表达式为y＝x2＋b,将点(3，－3)的坐标代入表达式，得b＝－6.所以平移的方向是向下，平移的距离是6个单位长度．解：第二章

二次函数二次函数的图象与性质第4课时1课堂讲解二次函数y=a(x-h)2的图象二次函数y=a(x-h)2的性质二次函数y=a(x-h)2与y=ax2之间的关系2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升二次函数y＝ax2，y＝ax2＋k

有何位置关系？回顾旧知二次函数y＝ax2向上平移k(k＞0)个单位就得到二次函数y＝ax2＋k

的图象是什么？二次函数y＝ax2向下平移k(k＞0)个单位就得到二次函数y＝ax2－k

的图象是什么？y＝ax2与y＝ax2＋k

的性质呢？前面我们学习了y＝ax2，y＝ax2＋k型二次函数的图象和性质，今天我们将学习另一种类型的二次函数的图象和性质.1知识点二次函数y=a(x-h)2的图象议一议

二次函数y=(x-1)2的图象与二次函数y=x2的图象有什么关系？

类似地，你能发现二次函数y=

(x+1)2的图象与二次函数y=(x-1)2的图象有什么关系吗？知1－导知1－导x…-3-2-10123…解:先列表描点画出二次函数与的图像,12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10-2…0-0.5-2-0.5-8…-4.5-8…-2-0.50-4.5-2…-0.5x=－1x=1由图知：对称轴是直线x＝h，顶点坐标是(h，0).1抛物线y＝－5(x－2)2的顶点坐标是(

)A．(－2，0)B．(2，0)C．(0，－2)D．(0，2)【中考·兰州】在下列二次函数中，其图象的对

称轴为直线x＝－2的是(

)A．y＝(x＋2)2B．y＝2x2－2C．y＝－2x2－2D．y＝2(x－2)2知1－练（来自《典中点》）BA对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有(

)①开口向上；②顶点为(0，－1)；③对称轴为直线x＝1；④与x轴的交点坐标为(1，0)．A．1个B．2个

C．3个D．4个知1－练（来自《典中点》）C3平行于x轴的直线与抛物线y＝a(x－2)2的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为(

)A．(1，2)B．(1，－2)C．(5，2)D．(－1，4)知1－练（来自《典中点》）C4知2－导抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值?(2)抛物线的开口方向、对称

轴、顶点坐标、增减性和最值?2知识点二次函数y＝a(x-h)2的性质知2－讲根据图象得出二次函数y＝a(x－h)2的性质如下表：二次函数y＝a(x－h)2图象的开口方向图象的对称轴图象的顶点坐标最值a＞0向上直线x＝h(h，0)当x＝h时，y最小值＝0a＜0向下当x＝h时，y最大值＝0（来自《点拨》）知2－讲二次函数y＝a(x－h)2增减性a＞0在对称轴的左侧，y的值随x值的增大而减小；在对称轴的右侧，y的值随x值的增大而增大a＜0在对称轴的左侧，y的值随x值的增大而增大；在对称轴的右侧，y的值随x值的增大而减小（来自《点拨》）续表：知2－讲例1

下列命题中，错误的是(

)A．抛物线y＝－

x2－1不与x轴相交B．抛物线y＝

x2－1与y＝(x－1)2形状相同，

位置不同C．抛物线y＝

的顶点坐标为D．抛物线y＝

的对称轴是直线x＝D知2－讲负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝

x2－1与y＝(x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，

因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；抛物线y＝

的顶点坐标为

；抛物线y＝

的对称轴是直线x＝－.（来自《点拨》）导引：抛物线y＝－

x2－1的开口向下，顶点在y轴的总

结知2－讲（来自《点拨》）

本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二次函数的性质，画出图象进行判断．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是(

)知2－练（来自《典中点》）B1知2－练（来自《典中点》）2关于二次函数y＝－2(x＋3)2，下列说法正确的

是(

)A．其图象的开口向上B．其图象的对称轴是直线x＝3C．其图象的顶点坐标是(0，3)D．当x＞－3时，y随x的增大而减小D3已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＜x2＜－1，那么下列结论

成立的是(

)A．y1＜y2＜0B．0＜y1＜y2C．0＜y2＜y1

D．y2＜y1＜0知2－练（来自《典中点》）A已知二次函数y＝－2(x＋m)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y的值为(

)A．－12B．12C．32D．－32知2－练（来自《典中点》）D4知3－讲3知识点二次函数y=a（x-h）2与y=ax2之间的关系问

题前面已画出了抛物线y=－(x+1)2，y=－(x－1)2，在此坐标系中画出抛物线y=－x2(见图中虚线部分),观察抛物线y=－(x+1)2，y=－(x－1)2与抛物线y=－x2有什么关系？

抛物线与抛物线

有什么关系?12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10向左平移1个单位向右平移1个单位即:左加右减知3－讲顶点(0,0)顶点(2,0)直线x=－2直线x=2向右平移2个单位向左平移2个单位顶点(－2,0)对称轴:y轴即直线:x=0在同一坐标系中作出下列二次函数:向右平移2个单位向右平移2个单位向左平移2个单位向左平移2个单位知3－讲例2二次函数y=－(x－5)2的图象可有抛物线y=－x2

沿___轴向___平移___个单位得到，它的开口向___,

顶点坐标是_______,对称轴是_________.当x=___时，

y有最____值.当x___5时，y随x的增大而增大；当

x___5时，y随x的增大而减小.知3－讲y=－(x－5)2的图象与抛物线y=－x2的形状相同，但位置不同，y=－(x－5)2的图象由抛物线y=－x2向右平移5个单位得到.x右下大5（5,0）直线x=55<>导引：【中考·海南】把抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是(

)A．向左平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度C．向上平移2个单位长度D．向下平移2个单位长度知3－练（来自《典中点》）A对于任何实数h，抛物线y＝－x2与抛物线y＝－(x－h)2的相同点是(

)A．形状与开口方向相同

B．对称轴相同C．顶点相同

D．都有最低点知3－练（来自《典中点》）A【2017·丽水】将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的方法是(

)A．向左平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向上平移3个单位长度D．向下平移1个单位长度知2－练（来自《典中点》）D3二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质y＝ax2y＝a(x－h)2图象a＞0时，开口向上，最低点是顶点；a＜0时，开口向下，最高点是顶点；对称轴是直线x＝h，顶点坐标是(h，0).向右平移h个单位(h＞0)向左平移h个单位(h＞0)y＝a(x－h)2y＝a(x＋h)21知识小结对于二次函数y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们图象的对称轴都是y轴，顶点坐标都是(0，0)；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们图象的开口的大小是一样的．其中正确的说法有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个易错点：函数y＝ax2＋c与y＝a(x－h)2的图象与性质区别不清2易错小结B二次函数y＝3x2＋1的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，1)，当x>0时，y随x的增大而增大；二次函数y＝3(x－1)2的图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)，当x>1时，y随x的增大而增大；二次函数y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2的图象的开口大小一样．因此正确的说法有2个：①④.故选B.第二章

二次函数二次函数的图象与性质第5课时1课堂讲解二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的关系二次函数y=a(x-h)2+k的图象二次函数y=a(x-h)2+k的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升回顾旧知y＝ax2k＞0上移y＝ax2＋ky＝ax2y＝a(x－h)2k＜0下移顶点在y轴上左加右减顶点在x轴上问题：顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？1知识点二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的关系想一想二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2图象有什么关系?知1－导知1－讲归

纳一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．把抛物线y＝ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．例1

〈泰安〉将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左

平移2个单位，那么得到的抛物线对应的函数关系

式为(

)A．y＝3(x＋2)2＋3

B．y＝3(x－2)2＋3C．y＝3(x＋2)2－3D．y＝3(x－2)2－3知1－讲（来自《点拨》）导引：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝3x2向上平移3个单位所得抛物线对应的函数关系式为y＝3x2＋3；

由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝3x2＋3向左

平移2个单位所得抛物线对应的函数关系式为y＝3(x

＋2)2＋3.A总

结知1－讲（来自《点拨》）

将抛物线在平面直角坐标系中平移，关键就是顶点坐标在发生变化，抛物线的形状和大小不变，故紧扣顶点式y＝a(x－h)2＋k中h，k的变化即可．【2017·宿迁】将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式是(

)A．y＝(x＋2)2＋1B．y＝(x＋2)2－1C．y＝(x－2)2＋1D．y＝(x－2)2－1知1－练（来自《典中点》）1C在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝3x2不动，而把x轴，y轴分别向上、向右平移3个单位长度，那么在新坐标系下此抛物线对应的函数表达式是(

)A.y＝3(x－3)2＋3B.y＝3(x－3)2－3C.y＝3(x＋3)2＋3D.y＝3(x＋3)2－3知1－练（来自《典中点》）2D【2017·襄阳】将抛物线y＝2(x－4)2－1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线对应的函数表达式为(

)A．y＝2x2＋1B．y＝2x2－3C．y＝2(x－8)2＋1D．y＝2(x－8)2－3知1－练（来自《典中点》）3A【2017·绵阳】将二次函数y＝x2的图象先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的图象与一次函数y＝2x＋b的图象有公共点，则实数b的取值范围是(

)A．b＞8B．b＞－8C．b≥8D．b≥－8知1－练（来自《典中点》）4D2知识点二次函数y＝a(x-h)2+k的图象知2－讲画出函数的图像知2－讲12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91y0-1-2-3-4-5-10直线x=－1……210-1-2-3-4x解:先列表再描点、连线-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5……知2－讲导引：抛物线y＝3(x－1)2＋2的开口向上，顶点坐标为(1，2)，对称轴为直线x＝1.例2

抛物线y＝3(x－1)2＋2的开口方向、顶点坐标、对

称轴分别是(

)A．向下，(1，2)，直线x＝1

B．向上，(－1，2)，直线x＝－1C．向下，(－1，2)，直线x＝－1D．向上，(1，2)，直线x＝1D（来自《点拨》）总

结知2－讲（来自《点拨》）

本题运用了性质判断法，运用二次函数的性质，结合图象进行判断．【2017·长沙】抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是(

)A．(3，4)B．(－3，4)C．(3，－4)D．(2，4)知2－练（来自《典中点》）1A2(中考·益阳)若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为(

)A．m＞1B．m＞0C．m＞－1D．－1＜m＜0知2－练（来自《典中点》）B3下列二次函数中，图象以直线

x＝2为对称轴，且经

过点(0，1)的是(

)A．y＝(x－2)2＋1B．y＝(x＋2)2＋1C．y＝(x－2)2－3D．y＝(x＋2)2－3知2－练（来自《典中点》）C二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过(

)A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限知2－练（来自《典中点》）4C3知识点二次函数y＝a(x-h)2+k的性质知3－讲讨论观察图象得到：抛物线的开口向下，对称轴是直线x=－1,顶点是(－1,－1).抛物线的开口方向、对称轴、顶点?知3－讲向左平移1个单位向下平移1个单位向左平移1个单位向下平移1个单位平移方法1:平移方法2:12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10x=－1抛物线与有什么关系?知3－讲导引：

∵函数的关系式是y＝－(x＋1)2