2025年河南省周口市项城市高考数学联考试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年河南省周口市项城市高考数学联考试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合U={−2,−1,0,1,2}，集合A={x∈N|x2≤2}，则∁A.{−2,−1,0} B.{−2,2} C.{−2,−1,0,2} D.{−2,−1,2}2.已知z=2+i1+i，则z−在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.某校高三年级共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考试结束后，学校采用按性别分层随机抽样的方法抽取容量为n的样本，已知样本中男生比女生人数多8人，则n=(

)A.20 B.30 C.40 D.484.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，A.31 B.32 C.63 D.655.已知直线l的斜率为1，若l与圆(x−2)2+y2A.1 B.1+22 C.1或1−22 6.设双曲线C：x2−y23=1的右焦点为F，C上一点P到y轴的距离为2A.−2 B.−1 C.1 D.27.已知A，B是半径为2的圆O上的两点，动点P满足OP=1，则AP⋅AB的最小值为(

)A.−14 B.−12 C.8.设函数f(x)=(x3−ax+2)(lnx−ax)，若f(x)≤0，则a的取值范围为A.[1e,+∞) B.[1e,3]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知圆锥SO的母线长为4，其侧面积是底面积的2倍，则(

)A.该圆锥母线与底面所成角为60° B.该圆锥的体积为83π3

C.该圆锥侧面展开图的面积为10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，则(

)A.φ=π6或5π6

B.ω=2

C.f(x)的图象关于点(23π12,0)中心对称

D.若函数|f(x+m)|是偶函数，且m>0，则m的最小值为π6

11.设F为抛物线C：y2=4x的焦点，O为坐标原点，P，Q在C上(不与A.当PF垂直x轴时，|PF|=2 B.F可能是△OPQ的重心

C.P，F，Q不可能共线 D.△OFQ面积的最小值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知α为第二象限角，若tanα=−43，则cos(α−π13.若函数f(x)=(x−1)(bex−1+1−1)的图象关于直线x=1对称，则14.已知数列{an}满足a1=0，an+1−an=dn，其中dn等可能取−1，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=AD=PD=2AB=2，PB=5．

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若CD=CA=2，求直线PC与平面PAB16.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，点A(1,32)在C上．

(1)求C的标准方程；

(2)若点B17.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2acosB−bcosA．

(1)若C=π2，求cosA；

(2)若a2+b18.(本小题17分)

设函数f(x)=e2x−2aex．

(1)当a=1时，求f(x)的极值；

(2)若当x≥0时，f(x)≥x2−2a+1恒成立，求a的取值范围；

(3)19.(本小题17分)

已知数列{an}：1，1，3，1，3，6，1，3，6，10，…，其中第一项是1，接下来的两项是1，1+2，接下来的三项是1，1+2，1+2+3，再接下来的四项是1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，依此类推.设Sn为{an}的前n项和．

(1)求S15−S10；

(2)判断是否存在正整数m，使得am+am+1+am+2=166，若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由；

(3)对于任意给定的正整数k，若数列{a答案解析1.D

【解析】解：A={x∈N|x2≤2}={0,1}，

则由补集的定义可知，∁UA={−2,−1,2}．

故选：D．

2.A

【解析】解：∵z=2+i1+i=(2+i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−i2=32−12i，

∴3.C

【解析】解：共有2000人，其中男生1200人，女生800人，样本中男生比女生人数多8人，

根据分层抽样的性质可知，样本中男生人数为：n×12002000=3n5，

样本中女生人数为：n×8002000=2n5，

由题意，所以3n5−2n4.C

【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，因为a3−2a1=a2，所以a1q2−2a1=a1q，

因为a1=1所以q2−2=q，

解得q=2或q=−1，5.D

【解析】解：因为直线l的斜率为1，若l与圆(x−2)2+y2=1和曲线y=ex−a均相切，

所以可设直线l的方程为y=x+m，

由直线l与圆(x−2)2+y2=1相切，

所以d=|2−0+m|1+1=1，解得m=0或m=−22，

又l与曲线y=ex−a相切，设切点为(x0,y0)，

又y′=ex−a，所以y′|x=x0=ex0−a，

当m=0，直线6.D

【解析】解：已知双曲线C：x2−y23=1的右焦点为F，C上一点P到y轴的距离为23|PF|，

则a2=1，b2=3，

则c=a2+b2=2，其右焦点为F(2,0)，

设P(m,n)，

因为C上一点P到y轴的距离为23|PF|，

所以|m|=23(m−2)2+n2，

所以9m2=4[(m−2)2+n2]，

又m2−n23=1，

所以n2=37.B

【解析】解：作出示意图如图所示，

由AP⋅AB=(AO+OP)⋅AB=AO⋅AB+OP⋅AB及图形可知，

当向量AB确定时，要使AP⋅AB最小，

只需OP/​/AB且OP与AB共线反向即可，

连接AO，则OP与AB共线反向时，AP⋅AB最小，

设∠OAB=θ，

则AP⋅AB=(AO+OP)⋅AB8.B

【解析】解：令g(x)=x3−ax+2，则g′(x)=3x2−a，

当a≤0时，g′(x)≥0，则g(x)在R上单调递增，

又g(0)=03−a×0+2=2，

所以当x>0时，g(x)>g(0)=2．

当a>0时，g′(x)=3x2−a=0，可得x=a3或x=−a3(舍去)，

当x>a3，g′(x)>0，

当0<x<a3时，g′(x)<0，

所以g(x)min=(a3)3−aa3+2，

若g(x)min=(a3)3−aa3+2≥0，则0<a≤3，

由lnx−ax≤0，则lnxx≤a，

令ℎ(x)=lnxx，则ℎ′(x)=1−lnxx2，9.ABD

【解析】解：圆锥SO的母线长为4，其侧面积是底面积的2倍，

设圆锥底面半径为r，

则底面面积S1=πr2，底面周长C=2πr，

故侧面面积S2=12Cl=4πr，

由题意得S2=2S1，即4πr=2πr2，即r=2，

故侧面面积S2=12Cl=4πr=8π，C选项错误；

侧面面积S2=8π=12π×4210.BCD

【解析】解：f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)，

由图可得A=2，f(0)=2sinφ=1⇒sinφ=12，

又|φ|<π，点(0,1)在增区间上，故φ=π6，故A错误；

所以f(x)=2sin(ωx+π6)，

由“五点作图法”可知，5π12ω+π6=π，

解得ω=2，所以f(x)=2sin(2x+π6)，故B正确；

f(23π12)=2sin(2×23π12+π6)=2sin4π=0，

所以f(x)的图象关于点(23π12,0)中心对称，故C正确；

由|f(x+m)|=|2sin[2(x+m)+π6]|=|2sin(2x+2m+π6)|是偶函数，

所以2m+π6=π2+kπ,k∈Z或2m+π6=kπ,k∈Z，

所以m=π6+11.ACD

【解析】解：根据题意可知，在抛物线C：y2=4x中，2p=4，则p=2，所以焦点F的坐标为(1,0)，

当PF垂直x轴时，把x=1代入y2=4x，可得y2=4，解得y=±2，

所以|PF|=|y|=2，故选项A正确；

设P(y124,y1)，Q(y224,y2)，因为PO⋅PQ=0，所以(−y124,−y1)⋅(y22−y124,y2−y1)=0，

展开可得−y12(y22−y12)16−y1(y2−y1)=0，因为y1≠0(P不与O重合)，

两边同时除以−y1得y1(y22−y12)16+(y2−y1)=0，进一步化简得(y2−y1)(y1(y2+y1)16+1)=0，

因为y2≠y1，所以y1(y2+y1)16+1=0，即y1y2+y12=−16，

若F是△OPQ的重心，则0+y124+y2243=1且0+y1+y23=0，

即y12+y22=12且y1+y2=0，将y2=−y1代入y12+y22=12，得2y12.2【解析】解：由题意可得tanα=sinαcosα=−43，可得sinα=−43cosα，

可得169cos2α+cos2α=1，

又α为第二象限角，

解得cosα=−35，sinα=413.2

【解析】解：因为函数f(x)=(x−1)(bex−1+1−1)的图象关于直线x=1对称，

所以f(x)=f(2−x)对x∈R恒成立，

所以∀x∈R，(x−1)(bex−1+1−1)=(2−x−1)(be2−x−1+1−1)恒成立，

即∀x∈R，(x−1)(bex−1+1−1+be1−x+1−1)=0恒成立

14.1181【解析】解：因为an+1−an=dn，a1=0，所以a2−a1=d1，即a2=d1；

a3−a2=d2，即a3=d1+d2；

同理可得：a4=d1+d2+d3；a5=d1+d2+d3+d4，a6=d1+d2+d3+d4+d5，

因为a4+a6=0，所以d1+d2+d3+d1+d2+d3+d4+d5=2(d1+d2+d3)+d4+d5=0，

令d1+d2+d3=S∈{−3,−2,−1,0,1,2,3}，d4+d5=T∈{−2,−1,0,1,2}，

所以2S+T=0，所以S∈{−1,0,1}，

当S=0，T=0，即d1+d2+d3=0，d4+d5=0，

此时d15.(1)证明：取AD的中点O，连接PO，

∵PA=AD=PD，∴PO⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PO⊥平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，∴PO⊥AB，

又PB=5，PA=2，AB=1，∴PB2=5=12+22=AB2+PA2，

∴PA⊥AB，又PA∩PO=P，PA，PO⊂平面PAD，

∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PAD；

(2)解：连接OC，∵CD=CA=2，

∴CO⊥AD，又PO⊥AD，

∴∠COP是二面角P−AD−C的平面角，

又平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥OC，

以O为坐标原点，OC，OA，OP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由(1)知，AB⊥平面PAD，又AD⊂平面PAD，

∴AB⊥AD，且AB=1，

则C(3,0,0),B(1,1,0),A(0,1,0),P(0,0,3)，

则AB=(1,0,0),AP=(0,−1,3),PC=(3,0,−3)，

设平面PAB的一个法向量为【解析】(1)取AD的中点O，连接PO，利用面面垂直性质定理可得PO⊥平面ABCD，可得PO⊥AB，进而由已知可得PA⊥AB，可证AB⊥平面PAD，可证结论；

(2)连接OC，可证OC，OA，OP两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法可求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．

本题主要考查平面与平面垂直的证明，直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．16.解：(1)由题意椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，点A(1,32)在C上．

可得，2c=21a2+94b2=1a2=b2+c2a>b>0，得a=2b=3c=1，则C的标准方程为x24+y23=1．

(2)点B与A关于坐标原点对称，B(−1,−32)，则直线AB的方程为y=32x，

且|AB|=2|OA|=13，

设点P(2cosθ,【解析】(1)依题意可建立关于a、b、c的方程，即可求解；

(2)利用参数思想设点P(2cosθ,3sinθ)，再求点P到直线AB的距离，即可得到关于θ17.解：(1)由c=2acosB−bcosA及正弦定理，

可得sinC=2sinAcosB−sinBcosA，

又A+B=π−C，则sin(A+B)=sinC，

所以sin(A+B)=2sinAcosB−sinBcosA，

整理得sinAcosB=2sinBcosA，

因为C=π2，所以sinAcos(π2−A)=2sin(π2−A)cosA，

所以sin2A=2cos2A，又sin2A+cos2A=1，

所以3cos2A=1，因为C=π2，所以A∈(0,π2)，

所以cosA=33；

(2)由(1)可得sinAcosB=2sinBcosA，

若cosB=0，则cosA=0，显然不符合题意，

所以cosB≠0，cosA≠0，

所以tanA=2tanB，则A，B均为锐角，

过C作CN⊥AB于N，

由tanA=2tanB，可得CNAN=2×CNBN，即BN=2AN，

设AN=x，则BN=2x，所以b【解析】(1)由正弦定理可得sinC=2sinAcosB−sinBcosA，利用三角恒等变换可得sinAcosB=2sinBcosA，结合已知可求得cosA=33；

(2)由(1)可得tanA=2tanB，过C作CN⊥AB于N，设AN=x，则BN=2x，可得218.解：(1)当a=1时，f(x)=e2x−2ex，则f′(x)=2e2x−2ex，

令f′(x)=0，即2e2x−2ex=2ex(ex−1)=0，解得x=0，

当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

∴f(x)在x=0处取得极小值，

极小值为f(0)=e0−2e0=−1，无极大值；

(2)由f(x)≥x2−2a+1，可得e2x−2aex≥x2−2a+1，

令g(x)=e2x−2aex−x2+2a−1，则g′(x)=2e2x−2aex−2x，

令ℎ(x)=ex−x−1，则ℎ′(x)=ex−1，

当x<0时，ℎ′(x)<0，当x>0时，ℎ′(x)>0，

∴函数ℎ(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，

∴ℎ(x)≥ℎ(0)，∴ex−x−1≥0，∴ex≥x+1，

当a≤0时，∴g′(x)=2e2x−2aex−2x≥2(2x+1)−2x−2aex=2x+2−2aex>0，

函数g(x)在[0,+∞)单调递增，则g(x)≥g(0)=e0−2ae0−02+2a