2024-2025学年江西省抚州市临川三中高考模拟数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省抚州市临川三中高考模拟数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数z1对应的点与复数z2=3+i2−i对应的点关于实轴对称，则A.1+i B.−1−i C.−1+i D.1−i2.已知集合A={x|−3≤x≤7}，B={x|x2−5x−6>0}，则A∩B=A.(−1,6) B.(−3,−1)∪(6,7) C.[−3,−1)∪(6,7] D.[−3,7]3.在(1+x)−(1+x)2−(1+x)3−…−(1+xA.−280 B.−300 C.−210 D.−1204.已知e1，e2是互相垂直的两个单位向量，若向量λe1−e2(λ≠0)与A.1 B.23 C.35.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为(

)A.316 B.313 C.386.已知平面向量a，b，c满足|a|=1，b⋅c=0，a⋅b=1A.1 B.2 C.2 D.7.若b>1，a∈R，且1ea+2lnb=a+1A.2a<b B.a>2b C.ea<b8.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)≥12[f(x+1)+f(x−1)]，且当x≤0时，f(x)=x，则当x>0时，f(x)的解析式可以是A.f(x)=ln(x+1) B.f(x)=2x C.f(x)=e二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知事件A，B发生的概率分别为P(A)=12，P(B)=14A.若A与B互斥，则P(A∪B)=34 B.若A与B相互独立，则P(AB)=34

C.若A与B相互独立，则P(AB−)=310.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足aA.a1=1 B.an=n+12n11.已知函数f(x)=sinx+cos(cosx)，则下列结论正确的是(

)A.直线x=π2为函数f(x)的图象的一条对称轴

B.函数f(x)在(0,π2)上单调递增

C.函数f(x)在[π,3π三、填空题：本题共3小题，共20分。12.已知a1，a2，…，a12均为常数，(x2+x)613.在底面边长为2的正三棱柱ABC−A1B1C1(AA114.数列{an}中，若存在ak，使得“ak≥ak−1且ak≥ak+1”成立，(k≥2,k∈N∗)，则称ak为四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知函数f(x)=cosxex(e是自然对数的底数)．

(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调增区间；

(2)若g(x)为f(x)的导函数，函数ℎ(x)=f(x)−(x−π2)g(x)16.(本小题12分)

如图，已知AOB是半径为1，圆心角为θ的扇形，P是扇形弧上的动点，记∠AOP=α，

(1)请用θ，α来表示平行四边形OCPQ的面积；

(2)若θ=π3．

①求平行四边形OCPQ面积的最大值，以及面积最大时角α的值；

②记OP=xOA+yOB(其中x17.(本小题12分)

如图，三棱锥A−BCD中，BD⊥CD，AB⊥AD，且AB=AD，BD=2，DC=1．

(Ⅰ)当三棱锥A−BCD的体积最大时，

①求证：AB⊥CD；

②求其外接球的表面积；

(Ⅱ)设M为BC的中点，记平面ABD与平面AMD的夹角为θ，求cosθ的最小值．18.(本小题12分)

如图，由部分椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0,y≤0)和部分双曲线x2a2−y2b2=1(y≥0)，组成的曲线C称为“盆开线”.曲线C与x轴有A(2,0)、B(−2,0)两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为74．

(1)求出部分椭圆方程和部分双曲线方程；

(2)设过点(1,0)的直线l与C相切于点M，求点M的坐标及直线l19.(本小题12分)

对任意给定的n∈N∗，若有穷数列{an}满足：am=k=1nXk,m−1，(∀m≤n且m∈N∗)，其中Xk,i=0,ak≠i1,ak=i，则称该数列为“D数列”．

(1)当n∈{1,2)时，是否存在符合条件的“D数列”？若存在，请求出所有的符合条件的“D数列”：若不存在，请说明理由；答案解析1.D

【解析】解：z2=3+i2−i=(3+i)(2+i)(2−i)(2+i)=5+5i5=1+i，

因为复数z1对应的点与复数z2对应的点关于实轴对称，

所以复数z1对应的点为(1,−1)，

所以z1=1−i．2.C

【解析】解：A={x|−3≤x≤7}，B={x|x2−5x−6>0}={x|x>6或x<−1}，

所以A∩B=[−3,−1)∪(6,7]．

故选：C．

首先解一元二次不等式求出集合B3.D

【解析】解：在(1+x)−(1+x)2−(1+x)3−…−(1+x)9的展开式中，

x2项的系数为−(4.D

【解析】因为e1、e2是互相垂直的两个单位向量，则|e1|=|e2|=1，且e1⋅e2=0，

由平面向量数量积的运算性质可得：|λe1−e2|=(λe1−e2)2=λ2+1，

|e1−35.C

【解析】解：每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，

设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B，

则P(A)=0.7×0.7+2×0.7×0.3×0.7=0.784，P(AB)=2×0.7×0.3×0.7=0.294，

所以P(B|A)=P(AB)P(A)=0.2940.784=38．

故选：C．6.C

【解析】解：已知平面向量a，b，c满足|a|=1，

设a=(1,0)，b=(x,y)，c=(m,n)，

又∵b⋅c=0，a⋅b=1，a⋅c=−1，

∴xm+yn=0x=1m=−1，

即m=−1x=1ny=1，

则b+c=(0,y+n)7.C

【解析】解：由1ea+2lnb=a+1b，得1ea−a=1b−2lnb，即e−a−a=1b+2ln1b，

即e−a−a=1b+ln1b2，

因为b>1，所以1b+ln1b2>1b2+ln1b2，

从而e−a8.A

【解析】解：对于A，当0<x≤1时，x−1≤0，x+1>0，

又因为f(x)=ln(x+1)，

所以12[f(x+1)+f(x−1)]=12[ln(x+2)+x−1]，

令g(x)=2ln(x+1)−[ln(x+2)+x−1]=2ln(x+1)−ln(x+2)−x+1，

g′(x)=2x+1−1x+2−1=−x2−2x+1(x+1)(x+2)，

令g′(x)=0，则x=−1+2或x=−1−2(舍)，

当0<x<−1+2时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

当−1+2<x≤1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

所以当x=−1+2时，函数取得极大值，此时g(x)>0，

又因为g(0)=1−ln2>0，g(1)=2ln2−ln3=ln4−ln3>0，

所以g(x)>0，

即g(x)=2ln(x+1)−[ln(x+2)+x−1]>0，

即2ln(x+1)>[ln(x+2)+x−1]，

所以ln(x+1)>12[ln(x+2)+x−1]，

即f(x)>12[f(x+1)+f(x−1)]，符合题意，

当x>1时，

12[f(x+1)+f(x−1)]=12[ln(x+2)+lnx]=lnx(x+2)，f(x)=ln(x+1)，

因为(x+1)2−[x(x+2)]2=1>0，

即x+1>x(x+2)，

所以ln(x+1)>lnx(x+2)，

即f(x)>12[f(x+1)+f(x−1)]，故A正确；

对于B，f(x)=2x，9.ACD

【解析】解：已知事件A，B发生的概率分别为P(A)=12，P(B)=14，

对于A，若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=34，A正确；

对于B，若A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=18，B错误；

对于C，若A与B相互独立，则A与B−相互独立，则P(AB−)=P(A)P(B−)=38，C正确；

对于D10.AD

【解析】解：数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1+2a2+…+2n−1an=n2+n2(n∈N∗)，

可得a1=1，

当n≥2时，由a1+2a2+…+2n−1an=n2+n2(n∈N∗)，可得a1+2a2+…+2n−2an−111.ABD

【解析】解：A，因为f(x)=sinx+cos(cosx)，

所以f(π−x)=sin(π−x)+cos(cos(π−x))=sinx+cos(−cosx)=sinx+cos(cosx)=f(x)，故A对；

B，又易知y=sinx在(0,π2)上单调递增，u=cosx在(0,π2)上单调递减，y=cosu在(0,1)上单调递减，

由复合函数的单调性可知y=cos(cosx)在(0,π2)上单调递增，故B对；

C，∵f(π)=cos1>0,f(3π2)=−1+cos0=0，不能满足f(π)<f(3π2)，故C错；

D，易知1+6+24∈(1,2)，计算可得f(π2)=212.20

【解析】解：已知a1，a2，…，a12均为常数，(x2+x)6=i=612aixi对任意的实数x恒成立，

即x6(x+1)6=a6x6+13.3【解析】解：已知在底面边长为2的正三棱柱ABC−A1B1C1(AA1<2)中，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为15，

设正三棱柱的高为ℎ，

以A为坐标原点，在底面ABC内过点A作AC的垂线为x轴，AC，AA1所在直线为y，z轴，建立空间直角标系，

则A(0,0,0),B1(3,1,ℎ),B(3,1,0),C1(0,2,ℎ)，

则AB1=(3,1,ℎ),14.10

(−∞,1【解析】解：(1)若an=−3n2+11n，令f(n)=−3n2+11n，相应的二次函数图象开口向下，关于直线x=116对称．

因此，存在n=2，满足a2≥a1且a2≥a3，所以{an}的峰值为a2=−3×4+11×2=10；

(2)令f(x)=tlnx−x(x≥1)，则f′(x)=tx−1=t−xx，

①若t≤0，则f′(x)<0恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递减，此时{an}不存在峰值，符合题意；

②若t>0，则当0<x<t时，f′(x)>0，x>t时，f′(x)<0，

故f(x)在(0,t)上为增函数，在(t,+∞)上为减函数，

若要an=f(n)=tlnn−n(n∈N∗)不存在峰值，则必须15.解：(1)由函数f(x)=cosxex，可得f′(x)=−sinx−cosxex=−sin(x+π4)ex，

令f′(x)≥0，又[0,π]，

解得3π4≤x≤π，

所以f(x)的单调递增区间[34π ,π]；

(2)由函数ℎ(x)=f(x)−(x−π2)g(x)，

可得ℎ′(x)=f′(x)−g(x)−(x−π2)g′(x)=(π2−x)2sinxex，

因为【解析】(1)直接求导再令导函数大于等于0，解出即可；

(2)求出ℎ′(x)=(π2−x)16.解：(1)过点P作OA的垂线，垂足为D，

在Rt△PDO中，|PD|=sinα，|OD|=cosα，

在Rt△PDC中，|PD|=|CD|tanθ，

则|CD|=|PD|tanθ=sinαtanθ，

所以|OC|=|OD|−|CD|=cosα−sinαtanθ，

所以S四边形OCPQ=|OC|×|PD|=(cosα−sinαtanθ)sinα=12sin2α−sin2αtanθ(0<α<θ)；

(2)①若θ=π3，由题意可得0<α<π3，

所以平行四边形OCPQ的面积S(α)=12sin2α−33sin2α

=12sin2α−33×1−cos2α2

=33sin(2α+π6)−36，

由于π6<2α+π6<5π6，

故当2α+π6=π2时，即α=【解析】(1)过点P作OA的垂线，在Rt△PDO，Rt△PDC中利用三角函数值表示边长，即可表示出四边形的面积；

(2)①运用三角恒等变换和三角函数的性质计算关于α的三角函数的最值即可；②通过建系，得出点的坐标，利用α的三角函数来表示x，y，再由三角函数的性质即可求得x+2y的范围．

本题考查了三角恒等变换以及三角函数的性质的应用，考查了函数思想和数形结合思想，属于中档题．17.解：(Ⅰ)①证明：∵三角形ABD的面积为定值，且BD⊥CD，

∴当三棱锥A−BCD的体积最大时，CD⊥平面ABD，

∵AB⊂平面ABD，∴AB⊥CD；

②由①知，当三棱锥A−BCD的体积最大时，CD⊥平面ABD，AB⊥CD，

∵AB⊥AD，CD∩AD=D，CD，AD⊂平面ACD，

∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，

又∵M为BC的中点，

∴M到A，B，C，D的距离相等，

即M为三棱锥A−BCD的外接球的球心．

设外接球半径为R，则R=12BC=52，

∴三棱锥A−BCD的外接球的表面积为4πR2=5π；

(Ⅱ)以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，

∴B(2,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),M(1,12,0)，

设N为BD的中点，AN⊥BD，N(1,0,0)，

∴可设A(1,m,n)，由AN=1，得m2+n2=1，

又∵DA=(1,m,n),DB=(2,0,0)，

设平面ABD的法向量n1=(x1,y1,z1)，

则DA⊥n1DB⊥n1，则DA⋅n1=0DB⋅n1=0，即x1+my1+nz1=02x1=0，

令y1=n，则z1=−m，x1=0，

可得平面ABD的法向量n1=(0,n,−m)，【解析】(Ⅰ)①由于三角形ABD的面积为定值，当三棱锥A−BCD的体积最大时，CD⊥平面ABD，从而可证AB⊥CD；

②先证AB⊥平面ACD，可得AB⊥AC，而M到A，B，C，D的距离相等，所以M为三棱锥A−BCD的外接球的球心．求出外接球半径R=12BC=52，利用外接球的表面积公式即可求解．

(Ⅱ)建立空间直角坐标系，设N为BD的中点，AN⊥BD，N(1,0,0)，可设A(1,m,n)，得m2+n18.解：(1)因为椭圆与双曲线的离心率之积为74，且a=2，

所以a2−b2a⋅a2+b2a=74a=2，解得a=2，b=3，

所以椭圆方程为：x24+y23=1(y≤0)，双曲线方程为x24−y23=1(y≥0)．

(2)由图可知，切点M在双曲线x24−y23=1(y≥0)上，

对x24−y23=1(y≥0)两边关于x求导可得