华东交通大学机械工程测试技术祝海林版第三章课后习题答案

华东交通大学机械工程测试技术祝海林版第三章课后习题答案一、选择题1.答案：C解析：描述周期信号的数学工具是傅里叶级数。傅里叶级数能将周期信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦分量的叠加，从而清晰地反映出周期信号的频率特性。拉普拉斯变换主要用于分析线性时不变系统，在求解系统的传递函数等方面有重要应用；傅里叶变换用于将非周期信号从时域转换到频域；Z变换常用于离散时间系统的分析。所以描述周期信号的数学工具是傅里叶级数，选C。2.答案：B解析：周期信号频谱的特点是离散性、谐波性和收敛性。离散性指频谱是由一系列离散的谱线组成，每条谱线对应一个特定的频率成分；谐波性表明各频率成分是基波频率的整数倍；收敛性是指随着频率的增加，谱线的幅度逐渐减小。连续性不是周期信号频谱的特点，所以选B。3.答案：A解析：非周期信号的频谱是连续的。非周期信号不能像周期信号那样用傅里叶级数展开成离散的频谱，而是通过傅里叶变换得到连续的频谱。离散性是周期信号频谱的特点；对称性并非非周期信号频谱的本质特征；收敛性与非周期信号频谱的关系不紧密。所以非周期信号的频谱是连续的，选A。4.答案：D解析：信号\(x(t)=A\sin(\omega_0t+\varphi)\)的均值\(\mu_x\)为0。均值的计算公式为\(\mu_x=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{T/2}^{T/2}x(t)dt\)。对于\(x(t)=A\sin(\omega_0t+\varphi)\)，\(\int_{T/2}^{T/2}A\sin(\omega_0t+\varphi)dt=0\)，所以\(\mu_x=0\)。方差\(\sigma_x^2\)为\(\frac{A^2}{2}\)，自相关函数\(R_x(\tau)\)为\(\frac{A^2}{2}\cos(\omega_0\tau)\)，均方值\(\psi_x^2\)为\(\frac{A^2}{2}\)。所以均值\(\mu_x\)为0，选D。5.答案：B解析：信号\(x(t)=A\cos(\omega_0t)\)的均方值\(\psi_x^2\)为\(\frac{A^2}{2}\)。均方值的计算公式为\(\psi_x^2=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{T/2}^{T/2}x^2(t)dt\)。对于\(x(t)=A\cos(\omega_0t)\)，\(x^2(t)=A^2\cos^2(\omega_0t)=\frac{A^2}{2}(1+\cos(2\omega_0t))\)，\(\int_{T/2}^{T/2}\frac{A^2}{2}(1+\cos(2\omega_0t))dt=\frac{A^2T}{2}\)，则\(\psi_x^2=\frac{A^2}{2}\)。均值\(\mu_x\)为0，方差\(\sigma_x^2\)为\(\frac{A^2}{2}\)，自相关函数\(R_x(\tau)\)为\(\frac{A^2}{2}\cos(\omega_0\tau)\)。所以均方值\(\psi_x^2\)为\(\frac{A^2}{2}\)，选B。

二、填空题1.答案：离散性、谐波性、收敛性解析：周期信号频谱具有离散性，即其频谱是由一系列离散的谱线组成；具有谐波性，各频率成分是基波频率的整数倍；还具有收敛性，随着频率的增加，谱线的幅度逐渐减小。2.答案：连续的解析：非周期信号的频谱是连续的，这与周期信号频谱的离散性形成鲜明对比。非周期信号通过傅里叶变换得到连续的频谱分布。3.答案：0解析：对于信号\(x(t)=A\sin(\omega_0t)\)，其均值\(\mu_x=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{T/2}^{T/2}A\sin(\omega_0t)dt=0\)。因为正弦函数在一个周期内的积分值为0，当\(T\rightarrow\infty\)时，均值仍为0。4.答案：\(\frac{A^2}{2}\)解析：信号\(x(t)=A\cos(\omega_0t)\)的均方值\(\psi_x^2=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{T/2}^{T/2}A^2\cos^2(\omega_0t)dt\)。而\(\cos^2(\omega_0t)=\frac{1+\cos(2\omega_0t)}{2}\)，\(\int_{T/2}^{T/2}A^2\cos^2(\omega_0t)dt=\int_{T/2}^{T/2}\frac{A^2}{2}(1+\cos(2\omega_0t))dt=\frac{A^2T}{2}\)，所以\(\psi_x^2=\frac{A^2}{2}\)。5.答案：\(\frac{A^2}{2}\cos(\omega_0\tau)\)解析：信号\(x(t)=A\cos(\omega_0t)\)的自相关函数\(R_x(\tau)=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{T/2}^{T/2}A\cos(\omega_0t)A\cos(\omega_0(t+\tau))dt\)。利用三角函数的积化和差公式\(\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha\beta)]\)，可得\(R_x(\tau)=\frac{A^2}{2}\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{T/2}^{T/2}[\cos(\omega_0(2t+\tau))+\cos(\omega_0\tau)]dt\)。因为\(\int_{T/2}^{T/2}\cos(\omega_0(2t+\tau))dt=0\)，所以\(R_x(\tau)=\frac{A^2}{2}\cos(\omega_0\tau)\)。

三、简答题1.简述周期信号频谱的特点。答：周期信号频谱具有以下特点：离散性：周期信号的频谱是由一系列离散的谱线组成，每条谱线对应一个特定的频率成分。这是因为周期信号可以用傅里叶级数展开，其展开式中的各项频率是基波频率的整数倍，所以频谱是离散的。谐波性：各频率成分是基波频率的整数倍，即存在基波、二次谐波、三次谐波等。这些谐波成分反映了周期信号中不同频率的波动情况。收敛性：随着频率的增加，谱线的幅度逐渐减小。这意味着高频成分的能量相对较小，在信号中所占的比重逐渐降低。

2.说明非周期信号频谱与周期信号频谱的区别。答：非周期信号频谱与周期信号频谱有明显区别：频谱形态：周期信号频谱是离散的，由一系列离散的谱线组成，各谱线对应特定的频率成分，这些频率是基波频率的整数倍。非周期信号频谱是连续的，通过傅里叶变换得到连续的频率分布。数学描述方式：周期信号用傅里叶级数来描述，将其分解为不同频率的正弦和余弦分量的叠加。非周期信号用傅里叶变换来描述，从时域转换到频域得到连续的频谱。频率特性：周期信号的频率是离散的、有规律的谐波频率。非周期信号的频率是连续分布的，包含了各种可能的频率成分。

3.计算信号\(x(t)=2+3\sin(2\pit)+4\cos(4\pit)\)的均值、均方值和方差。解：均值：均值\(\mu_x=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{T/2}^{T/2}x(t)dt\)。已知\(x(t)=2+3\sin(2\pit)+4\cos(4\pit)\)。因为\(\int_{T/2}^{T/2}\sin(2\pit)dt=0\)，\(\int_{T/2}^{T/2}\cos(4\pit)dt=0\)，\(\int_{T/2}^{T/2}2dt=2T\)。所以\(\mu_x=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\times2T=2\)。均方值：均方值\(\psi_x^2=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{T/2}^{T/2}x^2(t)dt\)。\(x^2(t)=(2+3\sin(2\pit)+4\cos(4\pit))^2\)\(=4+12\sin(2\pit)+16\cos(4\pit)+9\sin^2(2\pit)+24\sin(2\pit)\cos(4\pit)+16\cos^2(4\pit)\)由于\(\int_{T/2}^{T/2}\sin(2\pit)dt=0\)，\(\int_{T/2}^{T/2}\cos(4\pit)dt=0\)，\(\int_{T/2}^{T/2}\sin^2(2\pit)dt=\frac{T}{2}\)，\(\int_{T/2}^{T/2}\cos^2(4\pit)dt=\frac{T}{2}\)，\(\int_{T/2}^{T/2}24\sin(2\pit)\cos(4\pit)dt=0\)。则\(\psi_x^2=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{T/2}^{T/2}(4+9\sin^2(2\pit)+16\cos^2(4\pit))dt\)\(=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}(4T+\frac{9T}{2}+\frac{16T}{2})\)\(=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}(\frac{8T+9T+16T}{2})=\frac{33}{2}\)。方差：方差\(\sigma_x^2=\psi_x^2\mu_x^2\)。已知\(\mu_x=2\)，\(\psi_x^2=\frac{33}{2}\)。所以\(\sigma_x^2=\frac{33}{2}4=\frac{338}{2}=\frac{25}{2}\)。

4.求信号\(x(t)=5\sin(3\pit+\frac{\pi}{4})\)的自相关函数。解：自相关函数\(R_x(\tau)=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{T/2}^{T/2}x(t)x(t+\tau)dt\)。已知\(x(t)=5\sin(3\pit+\frac{\pi}{4})\)，则\(x(t+\tau)=5\sin(3\pi(t+\tau)+\frac{\pi}{4})=5\sin(3\pit+3\pi\tau+\frac{\pi}{4})\)。\(x(t)x(t+\tau)=25\sin(3\pit+\frac{\pi}{4})\sin(3\pit+3\pi\tau+\frac{\pi}{4})\)。根据三角函数积化和差公式\(\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha\beta)\cos(\alpha+\beta)]\)，可得：\(x(t)x(t+\tau)=\frac{25}{2}[\cos(3\pi\tau)\cos(6\pit+3\pi\tau+\frac{\pi}{2})]\)。因为\(\int_{T/2}^{T/2}\cos(6\pit+3\pi\tau+\frac{\pi}{2})dt=0\)。所以\(R_x(\tau)=\frac{25}{2}\cos(3\pi\tau)\)。

四、计算题1.已知周期信号\(x(t)=A\sin(\omega_0t)\)，求其傅里叶级数展开式。解：周期信号\(x(t)\)的傅里叶级数展开式为\(x(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t))\)。其中\(a_0=\frac{1}{T}\int_{T/2}^{T/2}x(t)dt\)，\(a_n=\frac{2}{T}\int_{T/2}^{T/2}x(t)\cos(n\omega_0t)dt\)，\(b_n=\frac{2}{T}\int_{T/2}^{T/2}x(t)\sin(n\omega_0t)dt\)，\(T=\frac{2\pi}{\omega_0}\)。计算\(a_0\)：\(a_0=\frac{1}{T}\int_{T/2}^{T/2}A\sin(\omega_0t)dt\)。因为\(\int_{T/2}^{T/2}\sin(\omega_0t)dt=0\)，所以\(a_0=0\)。计算\(a_n\)：\(a_n=\frac{2}{T}\int_{T/2}^{T/2}A\sin(\omega_0t)\cos(n\omega_0t)dt\)。利用三角函数积化和差公式\(\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha\beta)]\)，可得：\(a_n=\frac{A}{T}\int_{T/2}^{T/2}[\sin((n+1)\omega_0t)+\sin((n1)\omega_0t)]dt\)。当\(n\neq1\)时，\(\int_{T/2}^{T/2}\sin((n+1)\o