北师大版二元一次方程组小结教案

北师大版二元一次方程组小结教案一、教学目标1.知识与技能目标学生能够系统地梳理二元一次方程组的相关概念，包括二元一次方程、二元一次方程组及其解的定义。熟练掌握二元一次方程组的两种基本解法代入消元法和加减消元法，并能准确、熟练地运用这两种方法解方程组。学会运用二元一次方程组解决实际问题，进一步提高学生分析问题、找出等量关系并列出方程组求解的能力。2.过程与方法目标通过引导学生回顾和总结二元一次方程组的知识，培养学生归纳总结的能力，使学生学会构建完整的知识体系。在解决实际问题的过程中，让学生经历观察、分析、抽象、概括等思维过程，体会方程思想和模型思想，提高学生解决实际问题的能力。通过小组合作交流，培养学生的合作意识和交流能力，让学生在交流中相互学习、共同进步。3.情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，培养学生严谨的治学态度，让学生在解决问题的过程中体验成功的喜悦。通过实际问题的解决，让学生体会数学与生活的紧密联系，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识。

二、教学重难点1.教学重点二元一次方程组的相关概念及解法。运用二元一次方程组解决实际问题。2.教学难点灵活运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，根据方程组的特点选择合适的解法。正确分析实际问题中的数量关系，找出等量关系并列出二元一次方程组。

三、教学方法1.讲授法：通过简洁明了的语言，系统地讲解二元一次方程组的重点知识，如概念、解法等，使学生对所学内容有一个清晰的框架认识。2.讨论法：组织学生进行小组讨论，让学生在交流中分享自己的观点和想法，共同探讨问题的解决方案。在讨论过程中，培养学生的合作意识和思维能力。3.练习法：安排适量的练习题，让学生通过实际操作巩固所学知识，提高解题能力。教师在学生练习过程中进行巡视指导，及时发现问题并给予纠正。

四、教学过程

（一）知识回顾1.引导学生回顾二元一次方程的定义提问：什么是二元一次方程？学生回答后，教师总结：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。例如：$2x+3y=5$，$xy=1$等都是二元一次方程。强调：判断一个方程是否为二元一次方程，要满足三个条件：一是含有两个未知数；二是含有未知数的项的次数都是1；三是整式方程。2.回顾二元一次方程组的定义提问：什么是二元一次方程组？学生回答后，教师总结：把两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。例如：$\begin{cases}2x+3y=5\\xy=1\end{cases}$就是一个二元一次方程组。进一步说明：二元一次方程组中两个方程共含有两个未知数。3.复习二元一次方程组的解的定义提问：什么是二元一次方程组的解？学生回答后，教师总结：使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解。举例：对于方程组$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$，把$x=2$，$y=1$代入方程组中的两个方程，$2\times2+3\times1=7$，$21=1$，左右两边的值都相等，所以$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$是方程组$\begin{cases}2x+3y=7\\xy=1\end{cases}$的解。

（二）解法总结1.代入消元法回顾代入消元法的基本思路教师引导：我们在解二元一次方程组时，代入消元法是一种常用的方法。它的基本思路是什么呢？学生回顾后回答，教师总结：通过"代入"消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。举例讲解代入消元法的步骤以方程组$\begin{cases}y=2x3\\3x+2y=8\end{cases}$为例。第一步：将方程$y=2x3$代入方程$3x+2y=8$中，得到$3x+2(2x3)=8$。第二步：展开括号得$3x+4x6=8$。第三步：移项合并同类项得$7x=14$。第四步：解得$x=2$。第五步：把$x=2$代入$y=2x3$，得$y=2\times23=1$。所以方程组的解为$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$。强调代入消元法的关键教师强调：代入消元法的关键是选择合适的方程进行变形，用一个未知数表示另一个未知数，然后代入另一个方程，实现消元。2.加减消元法回顾加减消元法的基本思路教师提问：加减消元法的基本思路是什么？学生回答后，教师总结：通过将两个方程相加或相减，消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解。举例讲解加减消元法的步骤以方程组$\begin{cases}2x+3y=11\\3x2y=4\end{cases}$为例。第一步：观察方程组中两个方程$x$、$y$的系数，发现$2x$与$3x$、$3y$与$2y$的系数既不相同也不互为相反数。为了消去一个未知数，我们可以给方程$2x+3y=11$两边同时乘以2，给方程$3x2y=4$两边同时乘以3，得到：$\begin{cases}4x+6y=22\\9x6y=12\end{cases}$第二步：将变形后的两个方程相加，消去$y$，得到$(4x+6y)+(9x6y)=22+12$，即$13x=34$。第三步：解得$x=\frac{34}{13}$。第四步：把$x=\frac{34}{13}$代入方程$2x+3y=11$，得$2\times\frac{34}{13}+3y=11$。第五步：求解$y$的值，$3y=11\frac{68}{13}=\frac{14368}{13}=\frac{75}{13}$，$y=\frac{25}{13}$。所以方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{34}{13}\\y=\frac{25}{13}\end{cases}$。强调加减消元法的关键教师强调：加减消元法的关键是观察方程组中两个方程相同未知数的系数，若系数绝对值相等但符号相反，则直接相加消元；若系数绝对值不相等，则通过乘以适当的数，使相同未知数的系数绝对值相等，再相加或相减消元。

（三）典例分析1.解方程组出示方程组$\begin{cases}3x+2y=12\\2xy=1\end{cases}$让学生思考并选择合适的解法求解学生求解过程中，教师巡视指导，发现学生存在的问题及时纠正请一名学生上台板演解题过程解：由方程$2xy=1$可得$y=2x1$将$y=2x1$代入方程$3x+2y=12$，得$3x+2(2x1)=12$展开括号得$3x+4x2=12$移项合并同类项得$7x=14$解得$x=2$把$x=2$代入$y=2x1$，得$y=2\times21=3$所以方程组的解为$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$教师对学生的解题过程进行点评，强调解题步骤的规范性和准确性2.已知方程组$\begin{cases}ax+by=7\\bx+ay=8\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$，求$a$、$b$的值引导学生分析：因为方程组的解满足方程组中的每一个方程，所以将解代入方程组中，就可以得到关于$a$、$b$的方程组学生尝试求解解：把$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax+by=7\\bx+ay=8\end{cases}$，得$\begin{cases}2a+3b=7\\2b+3a=8\end{cases}$由方程$2a+3b=7$可得$2a=73b$，即$a=\frac{73b}{2}$将$a=\frac{73b}{2}$代入方程$2b+3a=8$，得$2b+3\times\frac{73b}{2}=8$方程两边同时乘以2得$4b+3(73b)=16$展开括号得$4b+219b=16$移项合并同类项得$5b=5$解得$b=1$把$b=1$代入$a=\frac{73b}{2}$，得$a=\frac{73\times1}{2}=2$所以$a=2$，$b=1$教师总结：此类题目关键是利用方程组解的定义，将已知解代入原方程组，得到新的方程组，再求解新方程组得到未知系数的值。

（四）实际问题应用1.出示例题某班有学生45人，会下象棋的人数是会下围棋人数的3.5倍，两种棋都会及两种棋都不会的人数都是5人，求只会下围棋的人数。2.引导学生分析问题提问：题目中有哪些数量关系？学生思考后回答，教师总结：会下象棋的人数+会下围棋的人数两种棋都会的人数+两种棋都不会的人数=总人数会下象棋的人数=3.5×会下围棋的人数3.设未知数并列出方程组设会下围棋的有$x$人，会下象棋的有$y$人根据上述数量关系可列方程组：$\begin{cases}y=3.5x\\x+y5+5=45\end{cases}$化简第二个方程得$x+y=45$所以方程组为$\begin{cases}y=3.5x\\x+y=45\end{cases}$4.求解方程组学生求解方程组解：将$y=3.5x$代入$x+y=45$，得$x+3.5x=45$合并同类项得$4.5x=45$解得$x=10$那么只会下围棋的人数为$x5=105=5$人5.教师总结教师强调：解决实际问题的关键是找出题目中的等量关系，设出合适的未知数，列出方程组并求解。在求解后，要根据实际问题的背景对答案进行检验和解释。

（五）课堂练习1.解下列方程组$\begin{cases}2x3y=5\\3x+2y=1\end{cases}$$\begin{cases}4x7y=12\\5x+3y=29\end{cases}$2.已知方程组$\begin{cases}mx+ny=6\\3xy=2\end{cases}$与方程组$\begin{cases}4x+2y=8\\mxny=2\end{cases}$有相同的解，求$m$、$n$的值。3.某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺母24个，要使一个螺栓配套两个螺母，应如何分配工人才能使螺栓和螺母刚好配套？

（六）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容提问：这节课我们复习了哪些知识？学生回答后，教师总结：本节课我们系统复习了二元一次方程组的相关概念，包括二元一次方程、二元一次方程组及其解的定义；重点回顾了二元一次方程组的两种解法代入消元法和加减消元法，并通过典例分析进一步巩固了这两种解法的应用；还学习了如何运用二元一次方程组解决实际问题，关键是找出等量关系，设未知数，列方程组求解。2.强调重点和难点教师强调：二元一次方程组的解法是重点，要熟练掌握代入消元法和加减消元法，并能根据方程组的特点选择合适的解法。正确分析实际问题中的数量关系，找出等量关系列出方程组是难点，同学们要多做练习，提高解决实际问题的能力。

（七）布置作业1.书面作业解方程组：$\begin{cases}5x+2y=25\\3x+4y=15\end{cases}$$\begin{cases}x+y=7\\3x+y=17\end{cases}$某装订车间的工人要将一批书打包后送往邮局，其中每包书的数目相等，第一次他们领来这批书的$\frac{7}{12}$，结果打了14个包还多35本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了11包。那么这批书共有多少本？2.拓展作业思考：在解方程组$\begin{cases}2x+3y=1\\3x2y=8\end{cases}$时，除了用代入消元法和加减消元法，还有其他方法吗？请尝试探索。收集生活中可以用二元一次方程组解决的实际问题，并尝试解答。

五、教学反思通过本节课的复习，学生对二元一次方程组的知识有了更系统、更深入的理解。在教学过程中，采用讲授、讨论、练习相结合的教学方法，引导学生积极参与课堂活动，取得了较好的教学效果。

在知识回顾环节，学生能够准确回答二元一次方程、二元一次方程组及其解的定义，为后续的复习奠定了基础。在解法总结部分，通过举例详细讲解代入消元法和加减消元法的步骤，并强调了两种方法的关键，学生基本掌握了这两种解法。典例分析和实际问题应用环节，学生积极思考，能