甘肃省天水市甘谷县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

甘肃省天水市甘谷县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（

）A． B． C． D．2．用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为(

)

A．最多需要8块，最少需要6块 B．最多需要9块，最少需要6块C．最多需要8块，最少需要7块 D．最多需要9块，最少需要7块3．观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是()A． B． C． D．4．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（

）

A． B． C． D．5．若实数、满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．36．如图，在正方形ABCD中，，M是AD边上的一点，．将沿BM对折至，连接DN，则DN的长是（

）A． B． C．3 D．7．已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（）A．12 B．14 C． D．98．如图，在矩形中，，点是边的中点，连接交于点，过点作交于点，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．二、填空题9．比较大小：（填“”、“”或“”）．10．已知，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应值的总和是．11．若不等式有解，则实数a最小值是．12．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是．13．若除以的商是，余式是1．则的值．14．若关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是．15．已知实数a，b，定义运算：a*b＝，若(a﹣2)*(a+1)＝1，则a＝．16．如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则．17．比较大小：；若正数满足，则．18．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，则点F与点C的最小距离为．三、解答题19．完成下面两个小题．(1)计算：．(2)已知、满足条件，求的最大值．20．已知=k，求k2-3k-4的值．21．如图，内接于，且为的直径，的平分线交于点，过点在左侧作交的延长线于点，过点作于点．

(1)求证：；(2)求证：是的切线；(3)若，，求线段的长．22．已知函数．(1)在直角坐标系中作出函数图象；(2)已知关于的方程有三个解，求的取值范围．23．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点是直线上一点．

(1)求抛物线的表达式；(2)求周长的最小值；(3)将线段绕点旋转，得到线段，点的对应点为点，当点在抛物线上时，求点的坐标．《甘肃省天水市甘谷县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题》参考答案题号12345678答案BCADADAD1．B【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．【详解】∴a的小数部分为，∴b的小数部分为，∴，故选：B．【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．2．C【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可.【详解】由主视图可得：这个几何体共有3层，由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，故：最多为3+4+1=8个最少为2+4+1=7个故选C【点睛】本题考查由三视图判断几何体，熟练掌握立体图形的三视图是解题关键.3．A【分析】由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案．【详解】解：由题意得：这组数据的和为：∵，∴原式=,故选：A．【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．4．D【分析】在边长为2的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出ON和半径OD，进而得出小正六边形MF的长，再根据正六边形的性质求出半径GF，即边长FH即可．【详解】解：如图，连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ，由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1，由正六边形的性质可得ON＝2，∴ODOF，∴MF1，由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，∴FHMF，故选：D．

【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键．5．A【分析】将化为（a+3）（b+1）-3的形式，由求得（a+3）（b+1）≥0，进而解答即可；【详解】解：由，可得a2≤1，b2≤1，∴﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，=a（b+1）+3（b+1）-3=（a+3）（b+1）-3，∵a+3＞0，b+1≥0，∴（a+3）（b+1）≥0，当b=-1时，有最小值﹣3，故选：A；【点睛】本题考查了等式的变形，不等式的性质；通过变形来判断代数式（a+3）（b+1）的取值范围是解题关键．6．D【分析】延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作，根据折叠的正方形的性质得到，在中应用勾股定理求出DE的长度，通过证明，利用相似三角形的性质求出NF和DF的长度，利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作，∵，M是AD边上的一点，，∴，，∵将沿BM对折至，四边形ABCD是正方形，∴，，∴(HL)，∴，∴，在中，设，则，根据勾股定理可得，解得，∴，，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等内容，做出合适的辅助线是解题的关键．7．A【分析】把两边加上3，变形可得，两边除以得到，则，从而得到的值．【详解】解：，，即，，而，，．故选：A．【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是掌握同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，同时解决问题的关键也是从后面的式子变形出．8．D【分析】根据矩形性质，点是边的中点，判定，得到，确定B不符合题意；结合等腰直角三角形性质得到，再根据等腰直角三角形的判定确定为等腰直角三角形，得，求出，确定A不符合题意；求出，在中，利用勾股定理求出，确定C不符合题意；根据前面得出，，求得，再根据，得出，确定答案．【详解】解：在矩形中，，点是边的中点，，，，，即，故B不符合题意；，，在中，，，，，则，，为等腰直角三角形，即，，故A不符合题意；在中，，，，，，故C不符合题意；，，，即，，，即，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查几何综合，涉及到矩形性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理求线段长、相似的性质与判定等知识点，根据题意求出各个线段，按照选项判定各个线段之间的关系是解决问题的关键．9．【分析】根据即可求解．【详解】解：∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了锐角三角函数值的增减性：当角度在间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了不等式的传递性．10．【分析】先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．【详解】当时，当时，则所求的总和为故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．11．4【分析】分类讨论：当或或，分别去绝对值解x的不等式，然后根据x对应的取值范围得到a的不等式或不等式组，确定a的范围，最后确定a的最小值．【详解】解：当，原不等式变为：，解得，∴，解得；当，原不等式变为：，解得，∴，解得；当，原不等式变为：，解得，∴，解得；综上所述，实数a最小值是4，故答案为：4．【点睛】本题考查了解含绝对值的一元一次不等式的解法：讨论x的取值范围，然后去绝对值．也考查了不等式和不等式组的解法以及分类讨论思想的运用．12．8．【分析】由根与系数的关系及根的定义可知a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1，据此对3a2﹣b进行变形计算可得结果.【详解】解：由题意可知：a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1，∴原式＝3（1﹣a）﹣b+＝3﹣3a﹣b+＝3﹣2a﹣（a+b）+＝3﹣2a+1+＝4﹣2a+＝4+＝4+＝4+4＝8，故答案为：8．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的定义，利用性质对式子进行降次变形是解题关键.13．16【分析】根据整式的运算得到，再展开得到a，b的值，故可求解．【详解】解：依题意，得

．【点睛】此题主要考查整式的乘法运算的应用，算术平方根，解题的关键是熟知多项式乘多项式的运算法则．14．且【分析】根据题意，将分式方程的解用含的表达式进行表示，进而令，再因分式方程要有意义则，进而计算出的取值范围即可．【详解】解：根据题意且∴∴∴k的取值范围是且．【点睛】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．15．3或1或﹣1【分析】根据a+1＞a﹣2知(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)-(a+1)＝1，据此可得a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝0，从而得出答案．【详解】∵a+1＞a﹣2，∴(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)-(a+1)＝1，即(a﹣2)a+1＝1，则a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝0，解得，a＝3或a＝1或a＝﹣1，故答案为：3或1或﹣1．【点睛】本题属于新定义题型，考查了幂的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握1的任何次幂都等于1、-1的偶数次幂等于1、非零数的零指数幂等于1是解题的关键．16．【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答．【详解】解：设BC=a，则AC=2a∵正方形∴EC=，∠ECD=同理：CG=,∠GCD=

∴．故答案为．【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明△ECG是直角三角形是解答本题的关键．17．＞＜【分析】利用分数指数幂把原数变形为再比较大小，利用幂的运算结合从而可得第二空的答案.【详解】解：而，为正数，故答案为：＞，＜【点睛】本题考查的是分数指数幂的含义，幂的运算，代数式的值的比较，熟练的运用幂的运算法则是解本题的关键.18．4【分析】如图，取AB的中点G，连接FG，FC，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE＝1：3，因为DE＝4，可得FG＝，推出点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．【详解】解：如图，取AB的中点G，连接FG．FC．GC．∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，∴＝，∵AB＝8，AG＝GB，∴AG＝GB＝4，∵AD＝12，∴，∴，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，∴∠FAG＝∠EAD，∴△FAG∽△EAD，∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，∵DE＝4，∴FG＝，∴点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆，∵GC＝，∴FC≥GC−FG，∴FC≥4，∴CF的最小值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．19．(1)1(2)1【分析】（1）依据题意，将被开方数提取公因式后计算即可得解．（2）依据题意，，再结合，，从而可以得解．【详解】（1）解：原式．（2）由题意得，，又，，，，，当且仅当，中有一个为，另一个为时，等号成立，的最大值为．【点睛】本题主要考查了配方法的应用及实数的运算，解题时要熟练掌握并灵活运用．20．-或6．【分析】当a+b+c+d≠0时，依据等比性质可得=k，当a+b+c+d=0时，得b+c+d=﹣a，代入即可计算出k的值．【详解】∵=k，∴当a+b+c+d≠0时，由等比性质可得，=k，k==；当a+b+c+d=0时，b+c+d=﹣a，∴k==-2；

当k=时，；当时，．【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．21．(1)见解析；(2)见解析；(3)．【分析】（）由，，得，所以；（）连接，由，且，，得，由，得，即可证明是的切线；（）由是的直径，得，所以，，由于点，得，所以，则，由，得，则，所以，由，，得，再证明，得，即可求得．【详解】（1）∵，，∴，∴，（2）证明：如图，连接，

∵的平分线交于点，∴，∵，，∴，∵，∴，∵是的半径，且，∴是的切线．（3）解：∵是的直径，，，∴，∴，，∵于点，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴线段的长是．【点睛】此题考查了圆周角定理、平行线的判定、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．22．(1)见解析(2)【分析】（1）分段求出函数解析式，再描点画出图象即可，（2）数形结合求出临界点时的值，再观察得出的范围；【详解】（1）解：根据去绝对值的正负性得到的取值范围，时，去掉绝对值的值均为相反数，；时，去掉绝对值为自身的相反数，去掉绝对值为自身，；时，去掉绝对值的值为自身，掉绝对值的值为自身的相反数，；时，去掉绝对值均