九年级（上）期末数学试卷

九年级（上）期末数学试卷

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷人得分

一、选择题（共7题，共35分）

1、若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（-1,0）和（3,0）,则抛物线的对称轴是（）

A.x=-1

1

B.x=-2

C.x=

D.x=1

【考点】

【答案】D

【解析】解：Ty=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（-1,0）和（3,0）,

・..抛物线的对称轴为直线x=1.

故选D.

【考点精析】利用抛物线与坐标轴的交点对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解

是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标,因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函数中表示图像与

x粕是否有交点.当b2-4ac0时,图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时,图像与x轴有一个交点；当b2-4ac0

时，图像与x轴没有交点.

2、剪纸是我国传统民间艺术，下列“花朵”剪纸作品中，是中心对称图形的是（）

C.

D.

【考点】

【答案】B

【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、是中心对称图形，故此选项正确；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是中心对称图形，故此选项错误；

故选:B.

【考点精析】解答此题的关键在于理解中心对称及中心对称图形的相关知识，掌握如果把一个图形绕

着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称；如果把一个图形绕

着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形.

3、一元二次方程x2+x=0的根的是（）

A.x1=0,x2=1

B.x1=0,x2=-1

C.x1=1,x2=-1

D.x1=x2=-1

【考点】

【答案】B

【解析】解：..•一元二次方程x2+x=0,

.,.X（x+1）=0,

.'.x1=0,x2=-1,

故选：B.

【考点精析】关于本题考查的因式分解法，需要了解已知未知先分离，因式分解是其次.调整系数等

互反，和差积套恒等式.完全平方等常数，间接配方显优势才能得出正确答案.

4、用配方法将x2-8x-1=0变形为（x-4）2=m,下列选项中，m的值是正确的是（）

A.17

B.15

C.9

D.7

【考点】

【答案】A

【解析】解：x2-8x-1=0,

移项得：x2-8x=1,

配方得：x2-8x+16=17,即（x-4）2=17.

所以m=17.

故选：A.

【考点精析】关于本题考查的配方法，需要了解左未右已先分离，二系化“1”是其次.一系折半再平

方，两边同加没问题.左边分解右合并，直接开方去解题才能得出正确答案.

5、如图，中，弦AB的长为8cm,圆心。到AB的距离为3cm,则。0的半径长为（）

管

A.3cm

B.4cm

C.5cm

D.6cm

【考点】

【答案】C

【解析】解：过点。作OC_LAB于C,连接0A,

1

=

0C3cfn,AC=2AB=X8=4(cm)9

・,.在RtAAOC中，

OAJAC+OC=5cm

故洗C.

【考点精析】根据题目的已知条件，利用勾股定理的概念和垂径定理的相关知识可以得到问题的答案,

需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即;a2+b2=c2；垂径定理：平分弦(不是直

径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

6、将抛物线y=(x-1)2向右平移1个单位后所得到抛物线的解析式是()

A.y=(x-2)2

B.y=x2

C.y=x2+1

D.y=x2-1

【考点】

【答案】A

【解析】解：抛物线尸(x-1)2向右平移1个单位，得：y=(x-1-1)2即尸(x-2)2

故选：A.

【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数图象的平移的相关知识，掌握平移步骤：(1)配方

y=a(x-h)2+k,确定顶点(h,k)(2)对x轴左加右减；对y轴上加下减.

7、在下列事件中，随机事件是()

A.通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰

R随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数

C.明天的太阳从东方升起

D.在一个不透明的袋子里装有完全相同的6个红色小球，随机抽取一个白球

【考点】

【答案】B

【解析】解：通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰是必然事件，A不合题意；

随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数是随机事件，B符合题意；

明天的太阳从东方升起是必然事件，C不合题意；

在一个不透明的袋子里装有完全相同的6个红色小球，随机抽取一个白球是不可能事件，D不合题意；

故选：B.

【考点精析】解答此题的关键在于理解随机事件的相关知识，掌握在条件S下，一定会发生的事件，

叫相对于条件S的必然事件；在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；在条件S

下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于S的随机事件.

二、填空题（共7题，共35分）

8、如果关于x的方程x2-5x+k=0没有实数根，那么k的值为

【考点】

25

【答案】心可

【解析】解：二.关于x的方程x2-5x+k=0没有实数根，

.,.△<0,即△=25-4kV0,

/.k>,

所以答案是：k>.

【考点精析】掌握求根公式是解答本题的根本，需要知道根的判别式△:b2-4ac,这里可以分为3种情

况：1、当40时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△二0时，一元二次方程有2个相同的实数根

3、当40时，一元二次方程没有实数根.

9、点A、B、C是00上三点，NACB=30°,则NA0B=______

【考点】

【答案】60°

【解析】解：.••点A、B、C是。。上三点，NACB=30°,

ZA0B=2ZACB=60°.

所以答案是：60°.

【考点精析】认真审题，首先需要了解圆周角定理（顶点在圆心上的角叫做圆心角；顶点在圆周上，且

它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）.

10、在一个不透明的布袋中，红色，黑色玻璃球共有10个，它们除颜色外，形状、大小、质地等完全相同,

小刚每次都摸一个球，观察球的颜色后放回，通过大数次摸球试验后她发现摸到红色球的概率稳定在40%,

估计口袋中黑色球的个数是______

【考点】

【答案】6

【解析】解：二.红色球频率稳定在40%左右，

•••摸到黑色球的频率为1-40%二60舟,

故口袋中黑色球个数可能是10X60%=6个.

所以答案是：6.

【考点精析】认真审题，首先需要了解用频率估计概率（在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个

随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率）.

11、。。的半径是10cm,点0到直线I的距离为6cm,直线I和。112、在平面直角坐标系中，点A绕原点

顺时针旋转45。后得到点B,如果点A的坐标为（2,2）,那么点B的坐标为

【考点】

【答案】（26，0）

【解析】解：作AC_Lx轴于C,如图，

.・.点A的坐标为（2,2）,

.,.0C=AC二2,

.--△0AC为等腰直角三角形，

•••NA0C=45°,0A=0C=2,

・「点、A绕原点顺时针旋转45,后得到点B,

/.ZA0B=45°,即点B在x轴的正半轴上，且0B=0A=2,

•••B点坐标为（2,0）.

所以答案是（2,0）.

13、在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为（2,m）,（2,3m-1）,若线段AB与抛物线y=x2-2x+2

相交，则m的取值范围为

【考点】

【答案】1WmW2

【解析】解：令x=2,则有y=22-2X2+2=2,

若要线段AB与抛物线相交，只需（2,2）点在线段AB上.

f2>?n

当3m-12m时，有1243巾+1,解得1—W2；

（2>3zn+1

当3m-1Vm时，有12~m,无解.

综上可知，若线段AB与抛物线y=x2-2x+2相交，则1WmW2.

所以答案是：lWmW2.

【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质（增减性：当a0时，对称轴左边，y随x增大而

减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增

大而减小）.

14、方程x2=9的解为

【考点】

【答案】±3

【解析】解：二"2二9,「.x=±3.

【考点精析】本题主要考查了直接开平方法的相关知识点，需要掌握方程没有一次项，直接开方最理

想.如果缺少常数项，因式分解没商量.b、c相等都为零，等根是零不要忘.b、c同时不为零，因式分解

或配方，也可直接套公式，因题而异择良方才能正确解答此题.

三、解答题（共10题，共50分）

15、在4ABC中，点D是AB边上一点（不与AB重合），AD=kBD,过点D作NEDF+NC=180°,与CA、CB分

别交于E、F.

AC

（1）如图1,当DERF时，求团的值.

（2）如图2,若NACB=90°,NB=30°,DE=m,求DF的长（用含k,m的式子表示）

【考点】

【答案】解：（1）如图1,连接CD,

VZEDF+ZC=180°,

AD,E,C,F四点共图,

TDE二DF,

/.ZDCE=ZDCF,

ADAC

根据正弦定理得=sin"DC①,

BDBC

sin^DCB=stn^BDC^

BDBC

,\sin/.ADC~sin^BDCf②,

,/ZADC=180°-ZBDC,

.".sinZADC=sinZBDC,

AD_AC

=

①：②d得，BDBCt

*/AD=kBD,

AC

.■砥k；

（2）,/ZACB=90°,ZB=30°,

ZA=60°,

ADDED£TBDDF限

根据正弦定理得：^DEA=sin^A=③，sin^DFB=sin^.B=一,④,

由（1）知D,E,C,F四点共圆，

ZDEA+ZDFB=180°,

pDF_BD

/.sinZDEA=sinZDFB,④・③得：DE~AD.

®)F_BD

/.DF=3一而,

*/AD=kBD,DE=m,

ffil

【解析】(1)连接CD,由NEDF+/C=180°,推出D,E,C,F四点共圆，根据正弦定理得①，，②，①:②

得，，根据AD=kBD,根据得到结论；

(2)根据三角形的内角和得到NA=60°,根据正弦定理得：③，，④，④・③得：，求得DF二，即

可得到结论.

【考点精析】根据题目的已知条件，利用相似三角形的判定与忤质的相关知识可以得到问题的答案，

需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的

比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方.

19

16、如图，在平面直角坐标系中，aCDE的顶点C点坐标为C(1,-2),点D的横坐标为亏.将4CDE

绕点C旋转到△CB0,点D的对应点B在x轴的另一个交点为点A.

(1)图中，N0CE等于多少；

(2)求抛物线的解析式；

1

(3)抛物线上是否存在点P,使SZXPA45s△CDU若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明

【答案】解：(D.:△CDE绕点C旋转到△CB0,

/.Z0CE=ZBCD；

故答案为BCD；

(2)作CH_L0E于H,如图,

VACDE绕点C旋转到△CBO,

.,.CO=CE,CB=CD,OB=DE,

.*.OH=HE=1,

.,.0E=2,

••・E点坐标为(2,0),

19

设B(m,0),D(耳，n),

,/CD2=(1-)2+(-2-n)2,CB2=(1-m)2+22,DE2=(2-)2+n2,

(1-)2+(-2-n)2=(1-m)2+22,(2-)2+n2=m2,

12

「•"3,n=-5,

AB(3,0),

设抛物线解析式为y二a(x-1)2-2,

1

把B(3,0)代入得4a-2=0,解得a=2,

3

•••抛物线解析式为y=(x-1j2-2,即y=x2-x-2；

(3)存在.

A与点B关于直线x=1对称，

AA(-1,0),

,/△CDE绕点C旋转到△CBO,

/.△CDE^ACBO,

.,.SACDE=SACB0=*2^3=3,

设P(t,t2-t-),

,.,SAPAE=SACDE,

/.•3*|t2-t-|=*3,

/.t?-t-=1或t2-t-=-1,

解方程得中=1+后，t2=1-,此时P点坐标为G+,1)或(11);

解方程=得t1=1+点，t2=1-,此时P点坐标为(1+,-1)或(1-,1)；

综上所述，满足条件的P点坐标为G+,D或(1-,D或G+,-D或(1-,D.

【解析】(1)根据旋转的性质易得N0CE=NBCD；

(2)作CH_LOE于H,如图，根据旋转的性质得CORE,CB=CD,0B=DE,则利用等腰三角形的性质得0H二HE=1,

19

则E点坐标为(2,0),设B(m,0),D(丁，n),利用两点间的距离公式得CD2=(1-)2+(-2-n)

2,CB2=(1-m)2+22,DE2=(2-)2+n2,所以(1-)2+(-2-n)2=(1-m)2+22,(2-)2+n2=m2,

解关于m、n的方程组得到m=3,则B(3,0),然后设顶点式y=a(x-1)2-2,再把B点坐标代

入求出a即可得到抛物线解析式；

(3)先利用抛物线的对称性得到A(-1,0),再根据旋转的性质得4CDE丝△CBO,则SACDE=SACB0=3,

设P(t,t2-t-),利用三角形面积公式得到・3・|t2-t-|=・3,贝I]t2-或t2-t-=-1,然后分

别解关于t的一元二次方程求出t,从而可得到满足条件的P点坐标.

17、RtZXABC中，/ACB=90",BCM,如图1,点P从C出发向点B运动，点R是射线PB上一点，PR=3CP,

过点R作QR_LBC,且QR二aCP,连接PQ,当P点到达B点时停止运动.设CP=x,Z\ABC与重合部分的

3

面积为S,S关于x的函数图象如图2所示(其中OVxW，，VxWm,mVxWn时，函数的解析式不同).

(1)a的值为；

(2)求出S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.

【考点】

354

【答案】解：(1)由图2可知，当x=7时，点Q在线段AB上，且此时的S33

9

PR=3CP=7,QR=aCP=a,

VQRXBC,

1

/.S=2pR-QR=XXa=,即27a=108,

解得a=4.

(2)当x二时，Q点在线段AB上，如图3,

•「AC_LBC,QR±BC,

.・.AC〃QR,

/.△ABC^AQBR,

AC_BC

.•.西=丽

1216

QR=4CP，PR二3cp二，BR=BC-CP-PR万，

Be点

AC二丽・QR=一・二3..

①当点Q在4ACB内时，即OVxW时，如图1,

PR=3x,QR=4x,

S=PR-QR=6x2.

②当点Q在4ACB外且R点在线段CB上时，如图4,

此时x>,且CRWBC,

,.,CR=CP+PR=4x,

VxW1.

PR_3_AC

•.布=耳=阮

.'.△PQR^AABC,

/.ZQ=ZB,

TNDEQ=NREB(对顶角),

/.△DEQ^AREB.

4

在RtAACB中，由勾股定理可知AB』。"+BC2=5,

VAC/7QR,

/.△EBR^AABC,

RE_RB

,-,AC=BC

RB=BC-CP-PR=4-4x,AC=3,BC=4,

RE—3-3x.

QE=QR-RE=4x-(3-3x)=7x-3.

VADEQ^AREB,AEBR^AABC,且AC=3,BCM,AB=5,

34

.*.DE=5QE,QD=GQE,QD±DE.

14425254

S=PR・QR-QD・DE=-石x2+行x-25.

③当点R在线段CB的延长线上时，如图5,

o

,/△ABC^APQR,

/.ZQPR=ZA,

VZPBM=ZABC,

「.PM=PB,MB=PB.

•.,PB=BC-CP=4-x,

64896

S=PM*MB=25（4-X）2=X2-25x+25.

6X2（0<X<1）

144925254/3\

~~2SX+f-王V”41）

694896,、

25%-炭+密1<X<4）

综合①②③可得：S=

【解析】（1）由图2可知当x二时S二，且此时Q点在线段AB上，利用三角形面积公式即可求出a的值；

（2）由Q点和R点的位置，可将整个移动过程分成三部分，借用三角形相似，找个各边的关系，分割

图形，既能找出S和x之间的关系式.

18、在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，随机从箱子里

取出1个球，放回搅匀再取一次，请你用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，求两次取出的

都是白球的概率.

【考点】

【答案】解：画树状图得：

开始

惠白累

/N/N/N

黄白熊黄白熊黄白黑

由树形图可知所有等可能的情况有9种，其中两次取出的都是白色球有1种，所以两次取出的都是白

1

色球的概率二更

【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出白颜色球的情况，再

利用概率公式即可求得答案.

【考点精析】解答此题的关键在于理解列表法与树状图法的相关知识，掌握当一次试验要设计三个或

更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率.

18

19、如图，王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y二-弓x2+为,其中y(m)

是球飞行的高度，x(m)是球飞行的水平距离.

(1)飞行的水平距离是多少时，球最高？

(2)球从飞出到落地的水平距离是多少？

18

【答案】解：(1)Vy=-

SX2+5X

16

=-(x-4)2+5,

.,.当x=4时，y有最大值为.

所以当球水平飞行距离为4米时，球的高度达到最大，最大高度为米；

(2)令y=0,

则-x2+x=0,

解得x1=0,x2=8.

所以这次击球，球飞行的最大水平距离是8米.

【解析】(1)把函数关系式配方成二次函数的顶点式，根据顶点式可知最值情况；

(2)球落到地面时高度为0,可令尸0,求出x的值即可.

20、如图，锐角^ABC中，边BC长为3,高AH长为2,矩形EFMN的边MN在BC边上，其余两个顶点E,F

分别在AB,AC边上，EF交AH于点G.

EF

(1)求标的值；

(2)当EN为何值时，矩形EFMN的面积为aABC面积的四分之一.

【考点】

【答案】解：(1)VEF/7BC,

.,.△AEF^AABC,

AG_EF

••9

EF_BC3

.•.布=而旦

(2)设EN=x,

VEF/7BC,

/.△AEF^AABC,

•,9

2-XEF

.,・丁=丁，

.,.EF=3-x,

•・•矩形EFMN的面积为4ABC面积的四分之一，

11

Ax(3-x)=4x2X3X2,

£

.'.x=1-2,x=1+,

AEN为1-或1+时，矩形EFMN的面积为aABC面积的四分之一.

【解析】(1)由EF〃BC,得到AAEFsaABC,根据相似三角形的性质得到，根据比例的性质即可得到结

论；

(2)设EN=x,根据相似三角形的性质得到，代人数据得到，求得EF=3-x,根据题意列方程即可得

到结论.

【考点精析】掌握矩形的性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道矩形的四个角

都是直角，矩形的对角线相等；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半

径、内切圆半径等)的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比

的平方.

21、如图，在。。中，直径AB交弦CD于点G,CG=DG,。。的切线BE交DO的延长线于点E,F是DE与。0

的交点，连接BD,BF.

(1)求证：ZCDE=ZE；

(2)若0D=4,EF=1,求CD的长.

【考点】

【答案】证明：(1):在。。中，直径AB交弦CD于点G,CG二DG,

/.AB±CD,

.「BE是。。的切线，

.-.ABXBE,

.,.CD/7BE,

/.NCDE二NE；

(2)解：•:/CDE;NE,ZDDG=ZB0E,

/.△ODG^AOEB,

OG_OD

,-.OB=OE,

TOD=4,EF=1,

/.0B=0F=0D=4,

二.OERF+EF=5,

OG4

/.­=5,

16

二.OG二号，

24

「.CD二2DG二号.

【解析】(1)由在。。中，直径AB交弦CD于点G,CG=DG,根据垂径定理即可得AB_LCD,又由BE是。0

的切线，易证得CD〃BE,即可证得结论；

(2)易证得△ODGs^OEB,然后由相似三角形的对应边成比例，求得0G的长，由勾股定理即可求得

DG的长，继而求得答案.

【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理的相关知识点，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直

于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半