2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级同步经典题精练之图形的旋转

第25页（共25页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级同步经典题精练之图形的旋转一．选择题（共5小题）1．（2024秋•海曙区期末）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，分别以AC，BC为边向外作正△ACD和正△BCE，连结AE，在△ABC的边BC变化过程中，当AE取最长时，则BC的长为（）A．27 B．29 C．19 D．2．（2025•柳州一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．将△ABC绕点C旋转至△A'CB'，使CB'⊥AB，A'B'交边AC于点D，则CD的长是（）A．4 B．245 C．5 D．3．（2024秋•西湖区期末）如图，△ABC绕点A逆时针旋转20°得到△AB′C′，点C恰好落在B′C′上，则∠ACB的度数为（）A．60° B．70° C．80° D．90°4．（2024秋•东莞市期末）如图，△DEC是△ABC绕点C旋转得到的，∠B＝20°，∠1＝75°，则旋转角的度数是（）A．90° B．85° C．65° D．25°5．（2024秋•罗定市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝90°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55° B．70° C．125° D．145°二．填空题（共5小题）6．（2024秋•通河县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在边AB上，连接BB′，则BB′的长是7．（2024秋•浦江县期末）如图，在边长为4的等边△ABC中，D是AC的中点，E是直线BC上一动点，连结BD，DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，连结EF，AF．（1）当点E是线段BC的中点时，EF的长为．（2）在点E的运动过程中，线段AF长度最小时，点D到AF的距离为．8．（2024秋•浦东新区校级期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着（填“顺”或“逆”）时针方向旋转度．9．（2024秋•廉江市期末）如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点，如果AB＝4cm，那么AE＝cm．10．（2024秋•东西湖区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点D为边BC上任一点，点F是AC中点，以AD为边作等边△AED，连接EC，则当EC取最小值时，∠FEC＝°．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•锦江区校级期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；（3）求△ABC的面积．12．（2024秋•海曙区期末）如图两个网格图都是由相同的小正方形组成的，△ABC和△DEF的顶点都在格点，请按下列要求在相应的网格中作图．（1）如图1，作△ACP，使△ACP与△ACB关于直线AC对称．（2）如图2，把△DEF绕点F按顺时针方向旋转90°，作出旋转后所得的△QRF．13．（2024秋•包河区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′．若BC'＝3，AC＝4，求AA′的长．14．（2024秋•宝山区期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°AC＝BC，AB＝8，∠ABC＝∠BAC＝45°，点D在边AB上，BD＝a．（1）如图1，△CBD绕着点C顺时针方向旋转，点B的对应点E落在射线CD上，点D的对应点F落在边AB上，而点E关于直线CF的对称点恰好是点A，那么DF的长度为（结果用含a的代数式表示）；旋转角的度数为；（2）如图2，△CBD绕着点C顺时针方向旋转90°后得到△CAG，点B和点D的对应点分别是点A和点G．连接DG，用含a的代数式表示S△ADG．15．（2024秋•高安市期末）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．（1）求∠BDE的度数；（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明．

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级同步经典题精练之图形的旋转参考答案与试题解析题号12345答案ACCBC一．选择题（共5小题）1．（2024秋•海曙区期末）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，分别以AC，BC为边向外作正△ACD和正△BCE，连结AE，在△ABC的边BC变化过程中，当AE取最长时，则BC的长为（）A．27 B．29 C．19 D．【考点】旋转的性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】A【分析】先证明△ACE和△DCB全等，再根据全等三角形的性质得到AE＝BD，根据勾股定理求出CF，结合三角形三边关系，得A、B、D三点共线时，BD最大，画出图形，由勾股定理即可求得BC．【解答】解：如图1，连接BD，∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴CE＝CB，CA＝CD＝2，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠ACB＝∠BCE+∠ACB，∴∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△DCB中，AC=∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∴当点D在AB延长线上时，BD最大，此时BD＝AB+AD＝4+2＝6，即AE的最大值为6，如图2，过C作CF⊥AB交AB延长线于点F，∵AC＝DC＝AD＝2，∴DF＝AF=12AD＝∴CF=3AF=∵AB＝4，∴BF＝AB+AF＝4+1＝5，∴BC=BF2故选：A．【点评】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、勾股定理，证明△ACE≌△DCB以及由三角形三边关系得A、B、D三点共线时，BD最大是解题的关键．2．（2025•柳州一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．将△ABC绕点C旋转至△A'CB'，使CB'⊥AB，A'B'交边AC于点D，则CD的长是（）A．4 B．245 C．5 D．【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】C【分析】根据旋转的性质可以得到∠B＝∠B′，然后利用CB'⊥AB证明∠B＝∠ACB′，由此即可证明D为A′B′的中点解决问题．【解答】解：∵将△ABC绕点C旋转至△A'CB'，∴∠B＝∠B′，A′B′＝AB，∠A′CB′＝∠ACB＝90°，∵CB'⊥AB，∴∠B+∠BCB′＝∠BCB′+∠ACB′＝90°，∴∠B＝∠ACB′，∴∠ACB′＝∠B′，∴CD＝DB′，而∠A′+∠B′＝∠ACB′+∠A′CD＝90°，∴∠A′＝∠A′CD，∴DA′＝DC，∴DA′＝DC＝DB′=12A′B′=12AB=故选：C．【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了勾股定理及直角三角形的性质，解题的关键熟练利用旋转和直角三角形的性质．3．（2024秋•西湖区期末）如图，△ABC绕点A逆时针旋转20°得到△AB′C′，点C恰好落在B′C′上，则∠ACB的度数为（）A．60° B．70° C．80° D．90°【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】C【分析】根据旋转的性质得出∠CAC'＝20°，AC＝AC'，∠ACB＝∠C'，即可推出结果．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转20°得到△AB′C′，∴∠CAC'＝20°，AC＝AC'，∠ACB＝∠C'，∴∠ACB＝∠C'=12故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．4．（2024秋•东莞市期末）如图，△DEC是△ABC绕点C旋转得到的，∠B＝20°，∠1＝75°，则旋转角的度数是（）A．90° B．85° C．65° D．25°【考点】旋转的性质；三角形内角和定理．【专题】三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】先确定∠BCE为旋转角，再由∠B＝20°，∠1＝75°，根据三角形内角和定理求得∠BCE＝85°，于是得到问题的答案．【解答】解：∵△DEC是△ABC绕点C旋转得到的，∴∠BCE为旋转角，∵∠B＝20°，∠1＝75°，∴∠BCE＝180°﹣∠B﹣∠1＝180°﹣20°﹣75°＝85°，∴旋转角的度数是85°，故选：B．【点评】此题重点考查旋转的性质、三角形内角和定理等知识，正确理解旋转角的定义是解题的关键．5．（2024秋•罗定市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝90°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55° B．70° C．125° D．145°【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】C【分析】首先根据点C、A、B1在同一条直线上，得到∠CAB1＝180°，然后利用邻补角互补求解即可．【解答】解：∵∠CAB1＝180°，∵∠BAC＝55°，∴∠BAB1＝180°﹣∠BAC＝125°．故选：C．【点评】此题考查旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•通河县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在边AB上，连接BB′，则BB′的长是23【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】23．【分析】由∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC=3，得AB＝2AC＝23，则BC=AB2-AC2=3，由旋转得AC′＝AC=3，B′C′＝BC＝3，∠AC′B′＝∠C＝90°，则BC′＝AB﹣AC′=3，∠BC【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC=3∴AB＝2AC＝23，∴BC=AB∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在边AB上，∴AC′＝AC=3，B′C′＝BC＝3，∠AC′B′＝∠C＝90∴BC′＝AB﹣AC′＝23-3=3，∠BC′∴BB′=BC'2故答案为：23．【点评】此题重点考查旋转的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地求出BC的长及BC′的长是解题的关键．7．（2024秋•浦江县期末）如图，在边长为4的等边△ABC中，D是AC的中点，E是直线BC上一动点，连结BD，DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，连结EF，AF．（1）当点E是线段BC的中点时，EF的长为22．（2）在点E的运动过程中，线段AF长度最小时，点D到AF的距离为3．【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】（1）22；（2）3．【分析】（1）利用这就是细节斜边中线的性质求出DE＝2，再利用勾股定理求解；（2）如图，过点D作DM⊥BC于点M，将线段DM绕点D逆时针旋转90°得到线段DN，连接NM．证明△DME≌△DNF（SAS），推出∠DME＝∠DNF＝90°，推出点F的运动轨迹是直线FN，过点A作AF′⊥FN于点F′，过点D作DJ⊥AF′于点J．求出DJ即可．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，∴BD⊥AC，∵BE＝CE，∴DE＝DF=12BC＝∴EF=DE2故答案为：22（2）如图，过点D作DM⊥BC于点M，将线段DM绕点D逆时针旋转90°得到线段DN，连接NM．∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，∴AD＝DC＝2，∠C＝60°，∵DM⊥BC，∴∠DMC＝90°，∴∠CDM＝30°，∴CM=12CD＝∴DM=C∵∠EDF＝∠MDN＝90°，∴∠EDM＝∠FDN，∵DE＝DF，DM＝DN，∴△DME≌△DNF（SAS），∴∠DME＝∠DNF＝90°，∵DM＝DM=3∴点F的运动轨迹是直线FN，过点A作AF′⊥FN于点F′，过点D作DJ⊥AF′于点J．根据此线段最短可知当点F与F′重合时，AF的值最小，∵∠AJD＝90°，∠ADJ＝∠CDM＝30°，∴AJ=12AD＝∴DJ=A∴线段AF长度最小时，点D到AF的距离为3．故答案为：3．【点评】本题考查旋转的性质，垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．8．（2024秋•浦东新区校级期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以脚跟（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着顺（填“顺”或“逆”）时针方向旋转90度．【考点】生活中的旋转现象；钟面角．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】脚跟；顺；90．【分析】根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答．【解答】解：在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度．故答案为：脚跟；顺；90．【点评】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．9．（2024秋•廉江市期末）如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点，如果AB＝4cm，那么AE＝2cm．【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．【答案】2．【分析】根据旋转的性质得出AE＝AC，AD＝AB＝4cm，根据中点的定义可得AC=12AD=2cm，则AE【解答】解：∵将△ABC绕着点A逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点，∴AE＝AC，AD＝AB＝4cm，∴AC=∴AE＝AC＝2cm．故答案为：2．【点评】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转前后对应边相等是解题的关键．10．（2024秋•东西湖区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点D为边BC上任一点，点F是AC中点，以AD为边作等边△AED，连接EC，则当EC取最小值时，∠FEC＝30°．【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】30．【分析】由SAS可证△ACE≌△AHD，可得EC＝DH，当DH有最小值时，EC有最小值，则当HD⊥BC时，DH有最小值，由全等三角形的性质可得EC＝HD＝CH，∠AHD＝∠ACE＝120°，即可求解．【解答】解：取点AB的中点H，连接DH，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，AB＝2AC，∵点H是AB的中点，∴AH＝BH=12∴AH＝AC＝BH，∵△ABD是等边三角形，∴AE＝AD，∠DAE＝60°＝∠BAC，∴∠CAE＝∠DAH，∴△ACE≌△AHD（SAS），∴EC＝DH，∴当DH有最小值时，EC有最小值，则当HD⊥BC时，DH有最小值，如图，∵HD⊥BC，∠B＝30°，∴∠AHD＝120°，BH＝2HD，∵点F是AC的中点，∴AC＝2CF，∴CH＝HD，∵△ACE≌△AHD，∴EC＝HD＝CH，∠AHD＝∠ACE＝120°，∴∠FEC＝30°，故答案为：30．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•锦江区校级期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；（3）求△ABC的面积．【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．【答案】（1）见解答．（2）见解答．（3）72【分析】（1）根据平移的性质作图即可．（2）根据中心对称的性质作图即可．（3）利用割补法求三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）△ABC的面积为12【点评】本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣平移变换，熟练掌握中心对称的性质、平移的性质是解答本题的关键．12．（2024秋•海曙区期末）如图两个网格图都是由相同的小正方形组成的，△ABC和△DEF的顶点都在格点，请按下列要求在相应的网格中作图．（1）如图1，作△ACP，使△ACP与△ACB关于直线AC对称．（2）如图2，把△DEF绕点F按顺时针方向旋转90°，作出旋转后所得的△QRF．【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣轴对称变换．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】（1）见解答．（2）见解答．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）根据旋转的性质作图即可．【解答】解：（1）如图1，△ACP即为所求．（2）如图2，△QRF即为所求．【点评】本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键．13．（2024秋•包河区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′．若BC'＝3，AC＝4，求AA′的长．【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力．【答案】AA′＝5．【分析】由旋转的性质可得AB＝A′B，∠ABA′＝60°，BC＝BC′＝3，可证△ABA′是等边三角形，可得AB＝AA′，由勾股定理可求解．【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，∴AB＝A′B，∠ABA′＝60°，BC＝BC′＝3，∴△ABA′是等边三角形，∴AB＝AA′，∵∠C＝90°，∴AB=∴AA′＝AB＝5．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．14．（2024秋•宝山区期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°AC＝BC，AB＝8，∠ABC＝∠BAC＝45°，点D在边AB上，BD＝a．（1）如图1，△CBD绕着点C顺时针方向旋转，点B的对应点E落在射线CD上，点D的对应点F落在边AB上，而点E关于直线CF的对称点恰好是点A，那么DF的长度为8﹣2a（结果用含a的代数式表示）；旋转角的度数为30°；（2）如图2，△CBD绕着点C顺时针方向旋转90°后得到△CAG，点B和点D的对应点分别是点A和点G．连接DG，用含a的代数式表示S△ADG．【考点】旋转的性质；列代数式；轴对称的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】（1）8﹣2a，30°；（2）-1【分析】（1）根据旋转与轴对称的性质先判断∠BCE＝∠ECF＝∠ACF＝30°，可得旋转角，再证明△ABC是轴对称图形，△CDF是轴对称图形，进一步可得DF的长度；（2）由旋转可得：CD＝CG，∠DCG＝∠ACB＝90°，∠B＝∠CAG＝45°，BD＝AG＝a，证明∠BAG＝90°，求解AD＝8﹣a，再进一步求解三角形的面积即可．【解答】解：（1）∵△CBD绕着点C顺时针方向旋转，点B的对应点E落在射线CD上，点D的对应点F落在边AB上，而点E关于直线CF的对称点恰好是点A，∴∠BCE＝∠ECF＝∠ACF，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠ECF＝∠ACF＝30°，∴旋转角是30°，∵AC＝BC，∠ABC＝∠CAB＝45°，∴△ABC是轴对称图形，由旋转可得：CD＝CF，∴△CDF是轴对称图形，∴BD＝AF＝a，∵AB＝8，∴DF＝8﹣2a；故答案为：8﹣2a，30°；（2）由旋转可得：CD＝CG，∠DCG＝∠ACB＝90°，∠B＝∠CAG＝45°，BD＝AG＝a，∵∠CAB＝45°，∴∠BAG＝90°，∵AB＝8，∴AD＝8﹣a，∴S△ADG=12a（8﹣a）【点评】本题考查的是轴对称的性质，旋转的性质，整式的乘法运算；15．（2024秋•高安市期末）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．（1）求∠BDE的度数；（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ADE＝∠B＝45°，从而得出答案；（2）利用三角形的外角等于不相邻的两个内角和即可说明∠FPD＝∠FDP，从而DF＝PF．【解答】解：（1）由旋转的性质可知，AB＝AD，∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，∴∠ADE＝∠B＝45°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．（2）DF＝PF．理由如下：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，即∠FPD＝∠FDP，∴DF＝PF．【点评】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．

考点卡片1．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．2．钟面角（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走112格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．（3）钟面上的路程问题分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6°时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．3．垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．4．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．5．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．6．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．7．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．8．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．9．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的