八年级上册《运用平方差公式因式分解》课件与练习

第十四章

整式的乘法与因式分解14.3.2公式法1课时

运用平方差公式因式分解1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想和逆向思维．2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解，培养运算能力和应用意识.3．培养良好的推理能力,体会“化归”与“整体”的思想方法,形成灵活的应用能力.学习重点：掌握公式的特点，运用平方差公式进行因式分解.学习难点：灵活应用平方差公式因式分解.a米b米b米a米(a–b)如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？a2–b2=(a+b)(a–b)用平方差公式进行因式分解多项式a2–b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是a，b两数的平方差的形式知识点想一想学生活动

【一起探究】))((baba–+=22ba–))((22bababa–+=–整式乘法因式分解平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.√√××辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？√√★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:()2–()2的形式.

两数是平方，减号在中央．(1)x2+y2(2)x2–y2(3)–x2–y2–(x2+y2)y2–x2(4)–x2+y2(5)x2–25y2(x+5y)(x–5y)(6)m2–1(m+1)(m–1)例1分解因式：素养考点1利用平方差公式分解因式的应用aabb(

+)(–)a2–b2=解:(1)原式=2x32x2x33(2)原式整体思想ab

方法点拨公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.分解因式：(1)(a＋b)2–4a2；(2)9(m＋n)2–(m–n)2.＝(2m＋4n)(4m＋2n)解：(1)原式＝(a＋b–2a)(a＋b＋2a)＝(b–a)(3a＋b)；(2)原式＝(3m＋3n–m＋n)(3m＋3n＋m–n)＝4(m＋2n)(2m＋n)．若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.例2分解因式：素养考点2多次因式分解解：(1)原式＝(x2)2–(y2)2＝(x2+y2)(x2–y2)分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解，直到不能分解为止.＝(x2+y2)(x+y)(x–y);(2)原式＝ab(a2–1)分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.＝ab(a+1)(a–1).方法点拨分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．

分解因式：(1)5m2a4–5m2b4；(2)a2–4b2–a–2b.＝(a＋2b)(a–2b–1).＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a–b)；解：(1)原式＝5m2(a4–b4)＝5m2(a2＋b2)(a2–b2)

(2)原式＝(a2–4b2)–(a＋2b)＝(a＋2b)(a–2b)–(a＋2b)例3已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．素养考点3利用因式分解求整式的值∴x–y＝–2②.解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，x＋y＝1①，联立①②组成二元一次方程组，解得：方法总结：在与x2–y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.已知x–y=2，x2–y2=8，求x+y的值.

例4计算下列各题：(1)1012–992；(2)53.52×4–46.52×4.素养考点4利用因式分解进行简便运算解：(1)原式＝(101＋99)(101–99)＝400；(2)原式＝4×(53.52–46.52)＝

4×(53.5＋46.5)(53.5–46.5)＝4×100×7=2800.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.用平方差公式进行简便计算:(1)38²–37²(2)213²–87²(3)229²–171²(4)91×89解：(1)

38²–37²=(38+37)(38–37)=75

(2)213²–87²=(213+87)(213–87)=300×126=37800(3)

229²–171²=(229+171)(229–171)=400×58=23200(4)

91×89=(90+1)(90–1)=90²–1=8100–1=8099例5求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．素养考点5利用因式分解进行证明即多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．证明：原式=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n•2=8n，∵n为整数，∴8n被8整除，方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．

若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式a2–2bc=c2–2ab，试判断这个三角形的形状.解：∵a2–2bc=c2–2ab，

∴(a2–c2)+2ab–2bc=0，(a+c)(a–c)+2b（a-c）=0，∴(a–c)(a+c+2b)=0.∵a+c+2b≠0，∴a–c=0，即a=c，∴这个三角形是等腰三角形.分析：已知等式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解，得到a=c，即可确定出三角形形状.1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(

)A．a2＋(–b)2B．5m2–20mnC．–x2–y2D．–x2＋9D2.将多项式x–x3因式分解正确的是(

)A．x(x2–1)

B．x(1–x2)

C．x(x+1)(x–1)

D．x(1+x)(1–x)

D3.若a+b=3，a–b=7，则b2–a2的值为(

)A．–21B．21C．–10D．10A4.如图，在边长为6.8cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6cm的小正方形，求剩余部分的面积．解：根据题意，得6.82–4×1.62＝6.82–(2×1.6)2＝6.82–3.22＝(6.8＋3.2)(6.8–3.2)＝10×3.6＝36(cm2)答：剩余部分的面积为36cm2.5.(1)992–1能否被100整除吗？解：(1)因为992–1=(99+1)(99–1)=100×98，所以，(2n+1)2–25能被4整除.(2)n为整数，(2n+1)2–25能否被4整除？所以992–1能被100整除.(2)原式=(2n+1+5)(2n+1–5)=(2n+6)(2n–4)

=2(n+3)×2(n–2)=4(n+3)(n–2).平方差公式分解因式公式a2–b2=(a+b)(a–b)步骤一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.

两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的

，即

⁠

⁠.积a2－

b2＝(

a

＋

b

)·(

a

－

b

)

课后作业1.

下列因式分解正确的是(

C

)A.

a2－

b2＝(

a

－

b

)2B.

x2＋4

y2＝(

x

＋2

y

)2C.

2－8

a2＝2(1＋2

a

)(1－2

a

)D.

x2－4

y2＝(

x

＋4

y

)(

x

－4

y

)C2.

分解因式：

m2－4＝

⁠.3.

分解因式：

x3－9

x

＝

⁠.【解析】

x3－9

x

＝

x

(

x2－9)＝

x

(

x

＋3)(

x

－3).(

m

＋2)(

m

－2)

x

(

x

＋3)(

x

－3)

4.

分解因式：4

a2(

x

－

y

)－9

b2(

x

－

y

)＝

⁠.5.

分解因式：(

x

－

y

)(2

a

＋3

b

)(2

a－3b)

(2)原式＝4(

a2－9

b2)＝4(

a

＋3

b

)(

a

－3

b

).(3)4(

a

－

b

)2－16(

a

＋

b

)2；

(4)8(

a

＋

b

)3(

x

－

y

)3＋18(

b

＋

a

)(

y

－

x

)5.(3)原式＝[2(

a

－

b

)＋4(

a

＋

b

)][2(

a

－

b

)－4(

a

＋

b

)]

＝－4(3

a

＋

b

)(

a

＋3

b

).(4)原式＝2(

a

＋

b

)(

x

－

y

)3[4(

a

＋

b

)2－9(

x

－

y

)2]

＝2(

a

＋

b

)(

x

－

y

)3(2

a

＋2

b

＋3

x

－3

y

)(2

a

＋2

b

－3

x

＋3

y

).第十四章整式的乘法与因式分解14.3因式分解14.3.2公式法《第1课时运用平方差公式因式分解》同步练习

直接用平方差公式分解因式1.

在下列各多项式中，不能用平方差公式因式分解的是(

D

)A.

a2－16

b2B.

－1＋4

m2C.

－36

x2＋

y2D.

－

m2－1D【解析】A.原式＝(

a

－4

b

)(

a

＋4

b

)，不符合题意；B.原式＝(2

m

＋1)(2

m

－1)，不符合题意；C.原式＝(6

x

＋

y

)(

y

－6

x

)，不符合题意；D.原式不能利用平方差公式进行因式分解，符合题意.2.

下列分解因式正确的是(

B

)A.

3

x2＋

x

＝3

x

(

x

＋1)B.

－

a2＋9＝－(

a

＋3)(

a

－3)C.

xy

＋

x

＋1＝

x

(

y

＋1)＋1D.

x

＋

y

＋

x

－

y

＝2(

x

＋

y

)B3.

分解因式：4

a2－1＝(

A

)A.

(2

a

－1)(2

a

＋1)B.

(

a

－2)(

a

＋2)C.

(

a

－4)(

a

＋1)D.

(4

a

－1)(

a

＋1)【解析】A.3

x2＋

x

＝

x

(3

x

＋1)，故此选项不符合题意；B.－

a2＋9＝－(

a2－9)＝－(

a

＋3)(

a

－3)，故此选项符合题意；C.

xy

＋

x

＋1无法分解因式，故此选项不符合题意；D.

x

＋

y

＋

x

－

y

无法分解因式，故此选项不符合题意.A4.

分解因式：－

n2＋9＝

⁠.5.

把下列各式因式分解.(3－

n

)·(3＋

n

)

(1)

x2－25

y2；解：原式＝(

x

＋5

y

)(

x

－5

y

).(2)－4

m2＋25

n2.解：原式＝(5

n

＋2

m

)(5

n

－2

m

).(3)

a4－1；解：原式＝(

a2－1)(

a2＋1)＝(

a

＋1)(

a

－1)·(

a2＋1).(4)81

a4－

b4.解：原式＝(9

a2－

b2)(9

a2＋

b2)＝(3

a

＋

b

)·(3

a

－

b

)(9

a2＋

b2).6.

已知4

m

＋

n

＝40，2

m

－3

n

＝5，求(

m

＋2

n

)2－(3

m

－

n

)2的值.解：(

m

＋2

n

)2－(3

m

－

n

)2＝(

m

＋2

n

＋3

m

－

n

)(

m

＋2

n

－3

m

＋

n

)＝

－(4

m

＋

n

)(2

m

－3

n

)，当4

m

＋

n

＝40，2

m

－3

n

＝5时，原式＝－40×5＝－200.

先提取公因式再用平方差公式分解因式7.

分解因式：

x3－4

x

＝(

C

)A.

x

(

x2－4

x

)B.

x

(

x

＋4)(

x

－4)C.

x

(

x

＋2)(

x

－2)D.

x

(

x2－4)C8.

小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信

息：

a

－

b

，

x

－

y

，

x

＋

y

，

a

＋

b

，

x2－

y2，

a2－

b2分别对应下列六个

字：中、爱、我、国、游、美，现将(

x2－

y2)

a2－(

x2－

y2)

b2因式分解，

结果呈现的密码信息可能是(

C

)A.

我爱美B.

中国游C.

爱我中国D.

美我中国C9.

把多项式

mx2－16

m

分解因式的结果是

.【解析】

mx2－16

m

＝

m

(

x2－16)＝

m

(

x

＋4)(

x

－4).10.

分解因式：2

m2－18＝

⁠.【解析】

2

m2－18＝2(

m2－9)＝2(

m

＋3)(

m

－3).m

(

x

＋4)

(

x

－4)

2(

m

＋3)(

m

－3)

11.

如图，边长为

m

＋3的正方形纸片剪去一个边长为

m

的正方形后，

用剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙).若拼成的长方形一条边

长为3，则另一条边长为(

A

)A.

2

m

＋3B.

2

m

＋6C.

m

＋3D.

m

＋6【解析】由题意得

S阴影＝(

m

＋3)2－

m2＝

m2＋6

m

＋9－

m2＝6

m

＋9＝

3(2

m

＋3)，∴拼成的长方形的另一条边长为2

m

＋3.A12.

已知

x2－4

y2＝36，

x

＋2

y

＝18，求

x

，

y

的值.

13.

计算：1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－12.解：1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋(962－952)＋…＋(22－12)＝100＋99＋98＋97＋96＋95＋…＋2＋1＝5

050.14.

将一条40

cm长的彩带剪成两段，恰好可用来围两张大小不同的正

方形壁画的边(不计算接头处).已知两张壁画的面积相差40

cm2，这条彩

带应剪成多长的两段？解：设较大正方形的边长为

x

cm，则较小正方形的边长为(10－

x

)cm.由题意，得

x2－(10－

x

)2＝40，(

x

＋10－

x

)(

x

－10＋

x

)＝40，10(2

x

－

10)＝40，解得

x

＝7.∴4

x

＝28，4(10－

x

)＝12，故这条彩带应剪成28

cm和12

cm的两段.15.

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整

数为“神秘数”.如：4＝22－02，12＝42－