八年级上册《用“HL”判定直角三角形全等》课件与练习

第十二章

全等三角形12.2全等三角形的判定12.2.4用“HL”判定直角三角形全等

1.经历探索直角三角形判定方法的过程，感悟具有传递性的数学逻辑,发展几何直观.2.应用恰当的方法判定两直角三角形全等.学习重点：会用“HL”判定直角三角形全等.学习难点：探索直角三角形全等的判定方法.判定三角形全等的方法有哪些？1.边边边(SSS)3.角边角(ASA)4.角角边(AAS)2.边角边(SAS)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，直角边是_____、_____，斜边是______.CBAACBCAB思考知识点三角形全等的判定——“HL”定理学生活动

【一起探究】前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？想一想ABCB′C′1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？问题A′3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ABCB′C′A′如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？

我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理.ABCDEF想一想如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？ABCDEF

任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ABC画图思路（1）先画∠MC′

N=90°.ABCM

C′N（2）在射线C′M上截取B′C′=BC.MC′ABCNB′MC′画图思路（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′.MC′ABCNB′A′画图思路（4）连接A′B′.MC′ABCNB′A′思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？画图思路“斜边、直角边”判定方法文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.几何语言：

ABCA′B′C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).AB=A′B′,BC=B′C′,判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：

（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）

（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（）

（3）一个锐角和斜边对应相等；（）

（4）两直角边对应相等；（）（5）一条直角边和斜边对应相等.

（）HLAAS或ASASASAASAAS例1

如图，AC⊥BC，

BD⊥AD，

AC﹦BD.求证：BC﹦AD.ABDC利用“HL”定理判定直角三角形全等素养考点1

AB=BA,AC=BD.证明：∵AC⊥BC，

BD⊥AD，

∴∠C与∠D都是直角.在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC﹦AD.ABDC应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.这是应用“HL”判定方法的书写格式.利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.

如图，∠ACB=∠ADB=90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.（1）

（）（2）

（）（3）

（）（4）

（）ABDCAD=BC∠DAB=∠CBABD=AC∠DBA=∠CABHLHLAASAAS变式题1如图，AC,BD相交于点P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C,D，AD=BC.求证：AC=BD.HLAC=BDRt△ABD≌Rt△BAC变式题2如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD，判断AD和BC的位置关系.HL∠ADB=∠CBDRt△ABD≌Rt△CDBAD∥BC变式题3如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.求证：Rt△ABE≌Rt△CBF.证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∠ABE＝∠CBF＝90°，∵AB＝CB，AE＝CF,∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．例2

如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.

求证：BC＝BE.证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.方法点拨证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．如图，已知AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足，AE＝DF，AB＝DC，求证：AC＝DB.证明：AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在Rt△ABE和Rt△DCF中，AE=DF,AB＝DC,∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，∴∠ABC＝∠DCB.在△ABC和△DCB中，AB＝DC,∠ABC＝∠DCB,BC＝CB,∴△ABC≌△DCB(SAS)，∴AC＝DB.例3

如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？利用直角三角形全等解决实际问题素养考点2解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,

BC=EF,AC=DF.∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等).∵∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.所以Rt△ABD≌Rt△ACD.(HL)所以BD=CD.解：BD=CD.因为∠ADB=∠ADC=90°,在Rt△ABD和Rt△ACD中,

AB=AC,AD=AD,1.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC

_____（填“全等”或“不全等”），根据

（用简写法）.全等HL2.如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，下面四个结论：①∠ABE＝∠BAD；△CEB≌△ADC；③AB＝CE；④AD－BE＝DE.其中正确的是_______．(将你认为正确结论的序号都写上)①②④3.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？解：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．“斜边、直角边”内容斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.前提条件在直角三角形中使用方法只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）

和

分别相等的两个直角三角形全等(可以简写

成“斜边、直角边”或“

”).斜边一条直角边HL

课后作业1.

如图，在四边形

ABCD

中，连接

BD

，且

AB

⊥

BD

，

CD

⊥

BD

，若

用“HL”判定Rt△

ABD

和Rt△

CDB

全等，则需要添加的条件是

(

D

)A.

∠

A

＝∠

C

B.

∠

ADB

＝∠

CBD

C.

AB

＝

CD

D.

AD

＝

CB

第1题图D

2.

下列不能使两个直角三角形全等的条件是(

B

)A.

三边对应相等B.

两个锐角相等C.

一条直角边和斜边对应相等D.

两条直角边对应相等B3.

如图，用三角尺可以画角平分线：在已知∠

AOB

的两边上分别取点

M

，

N

，使

OM

＝

ON

，再过点

M

画

OA

的垂线，过点

N

画

OB

的垂线，

两垂线交于点

P

，画射线

OP

，可以得到△

OMP

≌△

ONP

，所以∠

AOP

＝∠

BOP

，那么射线

OP

就是∠

AOB

的平分线.△

OMP

≌△

ONP

的依据是(

C

)A.

SASB.

ASAC.

HLD.

SSS第3题图C4.

如图，已知

AB

＝

AC

，

AE

＝

AF

，

AF

⊥

BF

于点

F

，

AE

⊥

EC

于点

E

，则图中全等的三角形共有(

A

)A.

4对B.

3对C.

2对D.

1对第4题图A5.

如图，

CA

⊥

AB

，垂足为

A

，

AB

＝8，

AC

＝4，射线

BM

⊥

AB

，垂

足为

B

，一动点

E

从点

A

出发以每秒2个单位长度的速度沿射线

AN

运

动，点

D

为射线

BM

上一动点，随着点

E

运动而运动，且始终保持

ED

＝

CB

，当点

E

运动

秒时，△

DEB

与△

BCA

全等.第5题图0，2，6或8

第十二章全等三角形12.2三角形全等的判定《第4课时用“HL”判定直角三角形全等》同步练习

用“HL”判定直角三角形全等1.

如图，已知

AC

⊥

BD

，垂足为

O

，

AO

＝

CO

，

AB

＝

CD

，则可得到

△

AOB

≌△

COD

，理由是(

A

)A.

HLB.

SASC.

ASAD.

SSS第1题图A2.

如图，已知

AB

⊥

CD

，垂足为

B

，

BC

＝

BE

，若直接用“HL”判定

△

ABC

≌△

DBE

，则需要添加的一个条件是

⁠.第2题图AC

＝

DE

3.

如图，

PA

⊥

AB

于点

A

，

QB

⊥

AB

于点

B

，

C

，

D

，

E

分别为

AB

，

PA

，

BQ

上的点，若

AC

＝

BE

，

CD

＝

CE

.

(1)求证：△

ACD

≌△

BEC

；

(2)判断

DC

与

CE

的位置关系，并说明理由.(2)解：

DC

⊥

CE

.

理由：∵△

ACD

≌△

BEC

，∴∠

DCA

＝∠

CEB

.

∵∠

CEB

＋∠

ECB

＝90°，∴∠

DCA

＋∠

ECB

＝90°.∴∠

DCE

＝180°－90°＝90°.∴

DC

⊥

CE

.

4.

线段

a

，

b

如图所示，其中

a

＞

b

，求作直角三角形

ABC

，使得∠

C

为直角，

AB

＝

a

，

AC

＝

b

(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法).解：作图如下，△

ABC

即为所作.

直角三角形全等的判定5.

下列说法：①有两条边对应相等的两个直角三角形全等；②有一条边相等的两个等边三角形全等；③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；④底边相等的两个等腰直角三角形全等.其中正确的说法有(

C

)A.

1个B.

2个C.

3个D.

4个C6.

如图，

AB

＝

AC

，点

D

，

E

分别在

AC

，

AB

上，

AG

⊥

BD

，

AF

⊥

CE

，垂足分别为

G

，

F

，且

AG

＝

AF

.

求证：(1)∠

EAF

＝∠

DAG

；

(2)

AE

＝

AD

.

7.

在△

ABC

和△A'B'C'中，∠

B

＝∠B'＝30°，

AB

＝A'B'＝6，

AC

＝A'C'＝4.已知∠

C

＝

n

°，则∠C'＝(

C

)A.

30°B.

n

°C.

n

°或180°－

n

°D.

30°或150°C8.

如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

BD

⊥

AC

于点

D

，

CE

⊥

AB

于点

E

，

BD

和

CE

交于点

O

，

AO

的延长线交

BC

于点

F

，则图中全等的直

角三角形有(

C

)A.

4对B.

5对C.

6对D.

8对C9.

如图，

AB

⊥

CD

，且

AB

＝

CD

，

E

，

F

是

AD

上两点，

CE

⊥

AD

，

BF

⊥

AD

.

若

CE

＝4，

BF

＝3，

EF

＝2，则

AD

的长为(

B

)A.

3B.

5C.

6D.

7B10.

如图，∠

EBD

内有一点

P

，且

PM

⊥

BD

，

PN

⊥

BE

，

PQ

⊥

AC

，

垂足分别为

M

，

N

，

Q

，且

AM

＝

AQ

，

AC

＝

AM

＋

CN

，判断

PM

，

PQ

，

PN

有怎样的数量关系，并说明理由.解：

PM

＝

PQ

＝

PN

.

理由：如图，连接

AP

，

CP

.

∵

AC

＝

AQ

＋

QC

，

AQ

＝

AM

，

AC

＝

AM

＋

CN

，∴

QC

＝

NC

.

∵

PM

⊥

BD

，

PN

⊥

BE

，

PQ

⊥

AC

，∴∠

PMA

＝∠

PQA

＝∠

PQC

＝∠

PNC

＝90°.在Rt△

PMA

和Rt△

PQA

中，

∴Rt△

PMA

≌Rt△

PQA

(HL).∴

PM

＝

PQ

.

同理易证Rt△

PQC

≌Rt△

PNC

，∴

PN

＝

PQ

.

∴

PM