八年级上册《线段的垂直平分线的性质和判定》课件与练习

第十三章

轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质

第1课时

线段的垂直平分线的性质和判定1.理解线段垂直平分线的性质和判定，掌握文字语言、图形语言和符号语言的转化，培养学生表达能力和推理意识。2.掌握证明线段垂直平分线的性质和判定的方法，培养学生类比能力和归纳能力。3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。4.在数学活动中体会获得成功的体验，锻炼客服困难的意志，建立学习的自信心，培养应用意识。学习重点：线段垂直平分线性质和判定定理的探究和应用.学习难点：线段垂直平分线性质和判定定理的证明和应用.线段的垂直平分线的定义：

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3……是l上的点，请猜想点P1，P2，P3……到点A与点B的距离之间的数量关系.相等．

ABlP1P2P3线段的垂直平分线的性质定理知识点1学生活动一

【一起探究】

你能用不同的方法验证这一结论吗？猜想：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．”

已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上．

求证：PA=PB．ABPCl猜想与证明用符号语言表示为：∵CA=CB，l⊥AB，∴PA=PB．证明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．ABPCl线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．归纳总结如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于___．ABCDE8如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ABCDE解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC．

∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE．ABCDE

∴AB=AC=CE．∵AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE．即AB+BD=DE．反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？点P在线段AB的垂直平分线上．PABC线段的垂直平分线的判定定理知识点2学生活动二

【一起探究】已知：如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．PABC证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C．则∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又

PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．PABC用数学符号表示为：∵

PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．PABC这些点能组成什么几何图形？你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？

在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合．PABCl试一试：例

如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC.线段垂直平分线的判定定理的应用素养考点证明：∵OB＝OC，

∴点O在BC的垂直平分线上.又AB＝AC，

∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O均在BC的垂直平分线上，

∴AO⊥BC.如图，已知在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，并且OA=OC．求证：点O在BC的垂直平分线上.ABCON∴点O在BC的垂直平分线上.（到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）ABCON证明：连接OB.∵ON是AB的垂直平分线,（已知）∴OA=OB.（线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）∵OA=OC,（已知）∴OB=OC.（等量代换）如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？CB过直线外一点作已知直线的垂线知识点3A学生活动三

【一起探究】CABDKFE作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.（3）分别以点D和点E为圆心，大于

的长

为半径作弧，两弧相交于点F.（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.（1）为什么任意取一点K，使点K与点C在直线两旁？（2）为什么要以大于

的长为半径作弧？（3）为什么直线CF就是所求作的垂线？想一想如图，求作点P，使PA＝PB，且点P到∠MON两边的距离相等．解：(1)作∠MON的角平分线；(2)作线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交于点P，那么，点P即为所求作的点.C1．如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6cm，BD＝2.3cm，则四边形ACBD的周长为

cm.7.82.如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BC＝BD＋AD，则点D在线段__________的垂直平分线上．AC解析：∵BC=BD+AD，又∵BC=BD+DC，∴AD=DC.∴点D在线段AC的垂直平分线上.3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为(

)A．5cm

B．10cm

C．15cm

D．17.5cmC线段的垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上集合定义线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合关系PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

1.

线段垂直平分线上的

与这条线段两个端点的

.如

图，直线

l

是线段

AB

的垂直平分线，点

P

是直线

l

上一点，则

PA

＝

⁠.2.

与线段两个端点距离

的点在这条线段的

上.点距离相等PB

相等垂直平分线课后作业

1.

线段

AB

的垂直平分线上一点

P

到点

A

的距离

PA

＝4，则点

P

到点

B

的距离(

A

)A.

等于4B.

大于4C.

小于4D.

无法确定A2.

如图，有

A

，

B

，

C

三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个

购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在(

B

)A.

AC

，

BC

两边高线的交点处B.

AC

，

BC

两边垂直平分线的交点处C.

AC

，

BC

两边中线的交点处D.

∠

A

，∠

B

平分线的交点处第2题图B3.

如图，在△

ABC

中，边

AB

的垂直平分线与

AC

交于点

D

，与

AB

交

于点

E

，已知

AC

＝6，

BC

＝4，则△

BCD

的周长是(

D

)A.

7B.

8C.

9D.

10第3题图D4.

如图，线段

AC

的垂直平分线交

AB

于点

D

，交

AC

于点

E

，∠

A

＝

50°，则∠

BDC

＝(

B

)A.

50°B.

100°C.

120°D.

130°第4题图B5.

如图，点

D

在△

ABC

的边

BC

上，且

BC

＝

BD

＋

AD

，则点

D

在线

段

的垂直平分线上.第5题图AC

6.

如图，在△

ABC

中，边

AB

，

BC

的垂直平分线交于点

P

.

求证：点

P

也在边

AC

的垂直平分线上.证明：∵边

AB

，

BC

的垂直平分线交于点

P

，∴

PA

＝

PB

，

PB

＝

PC

.

∴

PA

＝

PC

.

∴点

P

也在边

AC

的垂直平分线上.第十三章轴对称13.1轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质《第1课时线段垂直平分线的性质和判定》同步练习

线段垂直平分线的性质1.

下列说法错误的是(

A

)A.

过“到线段两端点距离相等的点”的直线是线段的垂直平分线B.

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等C.

线段有且只有一条垂直平分线D.

线段的垂直平分线是一条直线A2.

如图，用两根钢索加固直立的电线杆，若要使

AB

与

AC

的长相等，

可添加条件

，这样做的理由是

⁠

⁠.BD

＝

DC

线段垂直平分线上的点

到这条线段两端点的距离相等(答案不唯一)

3.

如图所示，在△

ABC

中，

AB

的垂直平分线与

BC

的垂直平分线的交

点

M

恰好在

AC

上，且

AC

＝16

cm，则

BM

的长为

⁠.第3题图8

cm

4.

【教材第62页练习第1题改编】如图，在△

ABC

中，

AD

⊥

BC

，垂

足为

D

，

EF

垂直平分

AC

，交

AC

于点

F

，交

BC

于点

E

，

BD

＝

DE

，

若△

ABC

的周长为26

cm，

AF

＝5

cm，则

DC

的长为

⁠.第4题图8

cm

第4题图5.

如图，在长方形纸片

ABCD

中，

E

为

BC

上一点，将纸片沿

AE

对

折，点

B

落在

AC

上的

F

处，若点

F

恰好为

AC

中点，求∠

ACB

的度数.

线段垂直平分线的判定6.

如图，

AC

＝

AD

，

BC

＝

BD

，则有(

A

)A.

AB

垂直平分

CD

B.

CD

垂直平分

AB

C.

AB

与

CD

互相垂直平分D.

CD

平分∠

ACB

A7.

如图，直线

PO

与线段

AB

交于点

O

，

PA

＝

PB

，下列结论正确的是

(

D

)A.

AO

＝

BO

B.

PO

⊥

AB

C.

PO

是

AB

的垂直平分线D.

点

P

在线段

AB

的垂直平分线上D8.

下列说法中，正确的有(

A

)(1)点

P

到线段两个端点的距离相等，且点

P

在直线

l

上，则直线

l

是该线

段的垂直平分线；(2)两个成轴对称的图形的对称点一定在对称轴的两侧；(3)到角的两边距离相等的点一定在这个角的角平分线上；(4)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.A.

1个B.

2个C.

3个D.

4个A

9.

如图，在锐角三角形

ABC

中，直线

l

为线段

BC

的垂直平分线，射线

m

平分∠

ABC

，

l

与

m

相交于点

P

.

若∠

A

＝60°，∠

ACP

＝24°，则

∠

ABP

等于(

C

)A.

24°B.

30°C.

32°D.

42°C【解析】∵

BP

平分∠

ABC

，∴∠

ABP

＝∠

CBP

.

∵直线

l

是线段

BC

的垂直平分线，∴

BP

＝

CP

.

∴∠

CBP

＝∠

BCP

.

∴∠

ABP

＝∠

CBP

＝∠

BCP

.

∵∠

A

＋∠

ACB

＋∠

ABC

＝180°，∠

A

＝60°，∠

ACP

＝24°，∴3∠

ABP

＋24°＋60°＝180°.解得∠

ABP

＝32°.10.

如图，在△

ABC

中，

AD

是

BC

的垂直平

分线，若

BC

＝6，

AD

＝8，则图中阴影部分的面积是(

C

)A.

48B.

24C.

12D.

6C11.

如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

AB

的垂直平分线

DE

交

BC

的延长

线于点

E

，交

AC

于点

F

，交

AB

于点

D

，连接

BF

.

若

BC

＝6

cm，

BD

＝5

cm，则△

BCF

的周长为(

A

)A.

16

cmB.

15

cmC.

20

cmD.

无法计算第11题图A12.

如图，在△

ABC

中，∠

B

＝40°，

AC

的垂直平分线

DE

交

AC

于点

D

，交

BC

于点

E

，且∠

EAB

∶∠

CAE

＝3∶1，则∠

C

＝(

A

)A.

28°B.

25°C.

22.5°D.

20°第12题图A13.

如图，

DP

所在直线是

BC

的垂直平分线，

垂足是

P

，

DP

与∠

BAC

的平分线

AD

相交于点

D

，若∠

BAC

＝86°，

则∠

BDC

＝

⁠°.94

【解析】如图，过点

D

作

DE

⊥

AB

，交

AB

的延长线于点

E

，

DF

⊥

AC

于点

F

.

∵

AD

是∠

BAC

的平分线，∴

DE

＝

DF

.

∵

DP

是

BC

的垂直平分线，∴

BD

＝

CD

.

∴Rt△

DEB

≌Rt△

DFC