2025届海南省海口市高三10月摸底考-数学（含答案）

海口市2025届高三摸底考试数学注意事项：12．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.Ax2x5Bxx24x3AB1.若集合，，则（）x1x5xx2A.B.D.x2xC.x2x【【【答案】D解析】分析】根据一元二次不等式化简集合，即可根据交运算求解.xx2Bx1x，故B4x30【故详解】由于，ABx2x，故选：D12a1,2，bk,k2.已知向量，则“”是“a∥b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【【【答案】C解析】分析】根据向量的共线的坐标关系，即可根据充要条件的定义判断.12a1,2，bk,2k1，解得k【详解】由，若a∥b，则，12k故“”是“a∥b”的充要条件，第1页/共19页故选：C.已知函数fxxxfx的单调递减区间为（3，则）A.B.D.C.,【【【答案】B解析】分析】求导，根据导数为负即可求解.详解】fxxx的定义域为(0,+∞)，【1x1fx1，xxx1令fx0，解得0x1，x故的单调递减区间为(0,1)，fx故选：Ba3c2ac，的大小关系为（4.已知，b2，，则，b）0A.bcaB.bacC.cbaD.cab【【答案】A解析】a,b,c与0,1的大小关系，然后计算即可.【分析】判断a3101，ln12e0c10.120【详解】由题可知，b20故acb故选：A5.海口市作为首批“国际湿地城市”，有丰富的湿地资源和独特的生态环境，海口市某中学一研究性学习小组计划利用5月1日至5月5日共5天假期实地考察美舍河湿地公园、五源河湿地公园、三江红树林湿地公园、潭丰洋湿地公园和响水河湿地公园5个湿地公园，每天考察1个，其中对美舍河湿地公园的考察安排在5月1日或5月2日，则不同的考察安排方法有（）A.24种B.48种C.98种D.120种【答案】B第2页/共19页【【解析】分析】先排特殊，再一般，最后按照计数原理计算即可.A122种；【详解】先安排美舍河湿地公园的考察时间，方式有再安排剩下四天的行程有A424，所以一共有22448种安排方法.故选：B6.如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD交于点O，且ACBD，1，2，剪去△COD，将△沿翻折，沿翻折，使点C与点重合于点，则翻折后的三DPPAOB棱锥外接球的表面积为（）A.5πB.8πC.9πD.13π【【答案】C解析】分析】根据给定条件，可得,OB,【【两两垂直，再补形成长方体，借助长方体求出球的表面积.PAOB中，OB,,详解】依题意，在三棱锥，PAOB可以补形成以,OB,因此三棱锥为共点三条棱的长方体，PAOBR该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，设球半径为，则2ROA2OB2OP2222223，PAOB4R2π(2R)29π所以三棱锥外接球的表面积为.故选：C第3页/共19页y22x上的动点，则点P到直线y=x+3的距离的最小值是（）7.已知P是抛物线323252A.B.221C.D.244【【答案】D解析】t,2t，利用点到直线的距离公式结合二次函数的最值可求得点P到直线2【分析】设点P的坐标为y=x+3的距离的最小值.【详解】设点P的坐标为t2,2t，21522txy30t2t3则点P到直线的距离为251524，d2222152当且仅当t时，取最小值d.2452y=x+3所以，点P到直线的距离的最小值是.4故选：D.8.已知定义在3上的函数fxexex2x1，若fm2fm22m，则的取值范围是（）A.32B.D.C.【【答案】D解析】gm2g2m，即可求解.gxfx1【【分析】根据的奇偶性以及单调性，即可将问题转化为详解】记gxexex2x,x3gxexex2xgx，则，故为3的奇函数，gx又g(x)exex22exex20，gx因此为3上的单调递增函数，第4页/共19页因为fxgx1，gm2g2m，进而fm2fm22gm2gm222由可得，故3m22m3，解得1m1，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某校为了解学生的身体状况，随机抽取了50名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（）aA.频率分布直方图中的值为0.04B.这50名学生体重的众数约为52.5C.该校学生体重的上四分位数约为61.25D.这50名学生中体重不低于65千克的人数约为10【【【答案】ABC解析】分析】利用频率之和为1可判断选项A，利用频率分布直方图中众数的计算方法求解众数，即可判断选项B，由分位数的计算方法求解，即可判断选项C，利用频率即可计算个数求解D.【详解】由(0.010.070.06a0.02)51，解得a0.04，故选项A正确；50，故选项B正确；50名学生体重的众数约为2因为体重不低于60千克的频率为0.3，而体重在[60,0.0450.2的频率为，1所以计该校学生体重的75%分位数约为561.25，故选项C正确．4体重不低于65千克的频率为0.0250.1，第5页/共19页所以这50名学生中体重不低于65千克的人数为0.1505人，故选项D错误；故选：ABC．fxAsinxA0,0,0π0.函数的部分图象如图所示，则下列命题正确的是1（）A.2πB.32πC.关于fxx对称3πD.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数fxhx2sin2x6【【答案】AC解析】πT5ππ142π可得2，代入最高点可得，进而求出函数f(x)的表达式，即【分析】根据41266可判断AB，代入验证即可判断C，根据平移即可求解D.T5ππ142ππ，解得Tπ，2，【详解】由图象可知A2，4126πππf()22sin()22π,kZ又，所以，即，得，6332ππ0πk0,f(x)f(x)2sin(2x)的表达式为，故A正确，B错误，结合，可知662π对于C，由于f(2π)2sin()2sin4πππ的图象关于对称，故C正确；2，即f(x)x33623ππππf(x)g(x)2sin[2(x)]2sin(2x)对于D，函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数6，666故D错误．故选：AC．Aa,01.在平面直角坐标系中，已知两定点，Ba,01，直线PA，相交于点P，且直线PA与直mm0a0，线的斜率之积为，其中．下列选项正确的是（）第6页/共19页A.当m1时，动点P的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆，且除去a,0，a,0两点aB.当m0时，动点P的轨迹为焦点在轴上的双曲线，且除去a,0，a,0两点xC.当m0且m1时，动点P的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且除去a,0，a,0两点xD.当m2，a3时，动点P的轨迹为曲线C，过点且倾斜角为,0交于，330的直线与曲线CM1635N两点，则【【答案】ABD解析】yyx22y2分析】设点，显然，1，然后根据不同选项Px,yxa，y0m【xaxaama2的情况判断即可.yyx22y2详解】设点，显然，Px,yxa，y0m1【xaxaama2当m1时，得x2y2a2xa，y0，所以有动点的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆，且Pa且除去a,0，a,0两点，故选项A正确；yyx22y2m0m1，显然a2ma20因为，所以动xa，y0当时，有xaxaama2点P的轨迹为焦点在轴上的双曲线，且除去a,0，a,0两点，故选项B正确；xx22y2m0m1时，显然xay0ama201，得2当且，，ama2当a2ma20，即1m0时，得动点P的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且除去a,0，a,0两xm1时，得动点P的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且除去a,0a,0，两点；当a2ma2，即点，故选项C错误；x2y2当m2，a3时，得动点P的轨迹为曲线C的方程为1，363过点且倾斜角为30的直线方程为y3,0x33第7页/共19页Mx,y，Nx,y设1122x2y23531，yx3，化简得x22x90联立方程36354490得3276xx,xx利用韦达定理可知1212552236271635所以14，故选项D正确.355故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.82.已知2a3，2bab，则______．13【【【答案】3解析】分析】利用指数的运算法则计算即可.82ab2a2b3823ab3【详解】由题可知3故答案为：33.记的内角A，B，C的对边分别为，b，，已知acc1，且1，则______．basinAbsinBsinCA【【【答案】1解析】分析】根据正余弦定理边角互化即可求解.asinAbsinBsinCA以及正弦定理可得abbcA2【故详解】由，a2b2bcAb2b2c2a2，即b2c2，故bc1.故答案为：1.fxexx2ax4.已知函数xf00，则实数的取值范围是a1_，若存在唯一的负整数，使得0_____．第8页/共19页11,【【【答案】解析】2e43exx2exx2分析】当x0时，由fx0可得出a，其中x0，利用导数，令gxxx分析函数在,0上的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.gxaexx2详解】当x0时，由fxexx2ax0可得axexx2，则a，【xexx2x22x2ex令gx，其中x0，则gx，xx2当x0时，令gx0，可得x13，列表如下：,1313,0x13gx0增极大值减gx112e4且3132，g3，g20，g4，如图所示：3xf00agx，即要使得存在唯一的负整数，使得，00113g4ag3只需，即a，2e411a因此，实数的取值范围是,.2e4311,故答案为：.2e43【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成第9页/共19页立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.a2Sa1的前项和，已知．．Sn15.记为数列nnnn1）求的通项公式；an（（【baabn2）设，求数列的前项和Tnn3nnnan1答案】（1）n3nn2n1（2）n2【【解析】1）令n1，可求出a1的值；令n2，由2Sa12Sn1an11，两个等式作差可得nn推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列a的通项公式；annbnTn（【2）求出数列的通项公式，利用分组求和法可求得.小问1详解】a2Sa1，S解：因为为数列n的前项和，且nnnnn1时，则有2aa1，解得a11；当11当n2时，由2Sa12Sn1an11，可得nn2aaaaa，整理得n1上述两个等式作差可得，nnn1n所以，数列是以1为首项，以为公比的等比数列，3ana1n1nn1.因此，【小问2详解】baan1log3n1n1n1，解：因为nn3n所以，n300311322n1n1303132n1012n1第10页/共19页13n0n1n3nn2n1.1322ABCDABCDAD的中点．16.如图，在正四棱柱中，2，点满足AE2EB，EF是111111B（1）证明：过、E、F三点的平面截正四棱柱所得的截面为梯形；1831F1EB的正弦值．（【（2）若，求二面角答案】（1）证明见解析1972）【【解析】1）以点A为坐标原点，AB、、AA1的方向分别为xyz、、轴的正方向建立空间直角坐AD于点G,0BEFEG//1FEG//1F标系，设平面交棱，利用面面平行的性质可得出，由此可证得结论成立；，根据求1EG1F出b的值，可得出F1EB的正弦值.（2）利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得二面角【小问1详解】ABCDABCD证明：在正四棱柱中，以点A为坐标原点，AB、、AA的方向11111xyz分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，第11页/共19页AD于点G,0BEF1设平面交棱，41aB2,0,aFaE,0,0设，则、、，13BEF1ABCDEGABCD//ABCD因为平面平面，平面平面，1111BEFABCDBFEG//1F平面因为平面，所以，，1111114BF0，,b,0，134,b,00EG//1FEG1F因为，设，即，342BF223，解得，所以，，即EG//1FBF且，所以，11333bB因此，过、E、F三点的平面截正四棱柱所得的截面为梯形.1【小问2详解】83834383B0BE,0,0F1解：因为，则、、、，1280，EB,0,，331F1mBF2xy01BEF1设平面的法向量为푚=(푥,푦,푧)，则2383，mEBxz01取x4，则y8，z1，所以，4,8,，第12页/共19页BB1E易知平面的一个法向量为푛=(0,1,0)，mnmn89,n所以，所以，，64179sin,n1cos2,n1，8117F1EB因此，二面角的正弦值为.917.制定适合自己的学习计划并在学习过程中根据自己的实际情况有效地安排和调整学习方法是一种有效的学习策略．某教师为研究学生制定学习计划并坚持实施和数学成绩之间的关系，得到如下数据：120120成绩分成绩分合计6制定学习计划并坚持实施没有制定学习计划合1）依据小概率值0.001的独立性检验，能否认为“制定学习计划并坚持实施”和“数学成绩高于120分”有关联？（2）若该校高三年级每月进行一次月考，该校学生小明在高三开学初认真制定了学习计划，其中一项要求自己每天要把错题至少重做一遍，做对为止．以下为小明坚持实施计划的月份和他在学校数学月考成绩的校内名次数据：11月初12月初次年1月初次年2月初次年月初3月考时间x35时间代码124月考校内名次881857569y5xy9433y702.2参考数据：，．iii1yxˆ（ⅰ）求月考校内名次与时间代码的线性回归方程ˆbxˆ；第13页/共19页（ⅱ）该校老师给出了上一年该校学生高考（月初考试）数学成绩在校内的名次和在全省名次的部分数据：校内名次6w5100300全省名次u2利用数据分析软件，根据以上数据得出了两个回归模型和决定系数R2：模型①模型②ˆ9.5ˆˆ28e0.016ˆR20.7927R2在以上两个模型中选择“较好”ⅰ）的回归方程，依据“较好”模型预测e2.2729.7，e2.43211.4，e0.6722.0）2nadbc附：（ii）2，其中nabcd．abcdacbd.050.013.8416.635x,y00.0050.00110.828ˆ（i）对于一组数据i,n，其回归直线ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别ˆˆiinniinixyiyˆbi1i1，aybx．ˆ为：ˆnni2x2nx2i1i1【答案】（1）依据小概率值0.001的独立性检验，能认为“制定学习计划并坚持实施”和“数学成绩高于120分”有关联ˆ110x1032.2ⅱ）模型②较好，全省名次预测为319（【【（2ⅰ）解析】1）计算卡方，即可与临界值比较作答，2）根据最小二乘法即可求解回归方程，利用决定系数的大小比较即可选择模型②，代入方程即可求解名次.第14页/共19页【小问1详解】H：制定学习计划并坚持实施和数学成绩高于120分没有关联零假设0206214285因为222.12010.828，34162030依据小概率值0.001的独立性检验认为H0不成立，即认为“制定学习计划并坚持实施”和“数学成绩高于120分”有关联【（小问2详解】1x2343ⅰ），51y857729569702.2，5nxynii943353702.21491625591100ˆb1110i，n10i2nx2i1ˆybx702.211031032.2．ˆˆ110x1032.2回归直线方程为，模型②较好，由于模型②R20.9973与模型①R20.7927相比较，模型②决定系数R2大于模型①，因此拟合效果更好，ˆ110x1032.2，当六月初月考时，x8，小明的月考校内名次预测值为由于回归直线方程为ˆ11081032.2152，故省内排名预测为ˆ28e15228e2.432319.fxx22a1xaxaR．18.已知函数yfx在x1处的切线方程；（（（【1）当a1时，求函数2）讨论的单调性；fxgxfxx2a1x有两个不同的零点x3）若x2a，求的取值范围．，1y2答案】（1）121ea（【2）答案见解析（3）2e解析】第15页/共19页【（1）求导，即可求解，a2）求导，对进行讨论，即可根据导数的正负确定函数的单调性，xx2a1hx，构造（【3）将问题转化为，即可利用导数确定函数的单调性求解.xx小问1详解】1当a1时，fxx23xx，则fx2x3，x故f231f11302，故푦=푓(푥)在x1处的切线方程为y2【小问2详解】2x22axa2xxaaxfx2x2a1，xx121212axa或0xxa当时，令푓(푥)>0，解得，令푓(푥)<0，解得，1212故此时在,a,单调递增，在的单调递减，fx,a1在(0,+∞)单调递增，afx当当时，푓(푥)≥0在(0,+∞)上恒成立，故此时2121210a时，令푓(푥)>0，解得x0xaax，令푓(푥)<0，解得或，2112故此时在a,,单调递增，在的单调递减，fxa,21212当a0时，fxx2x，故fx在的单调递减，在,单调递增，121当a0时，令푓(푥)>0，解得x，令푓(푥)<0，解得0x，2112故此时在2的单调递减，在,单调递增，fx【小问3详解】x2x22a1xaxx2a1x2a1xx，gxfxa1xxgx2a1xx0令2a1，则，x第16页/共19页x1x记hxhx，则，xx21x1xxehxhx0，当0xe时，0，当时，x2x2故ℎ(푥)在单调递增，在单调递减，0,e1且he，当x1时ℎ(푥)>0恒成立，ex要使有两个零点，则2a1由两个交点，gxx1e11e02a1a，解得故22eΓ:x2y21，我们有：若Qx,y是曲线上的一点，则过点Q与曲线相切的19.对于二次曲线ΓΓx2y2xxyy1．已知椭圆1:1ab0，a2b2，动圆直线方程为a2b2C2:x2y2r2bra，点P(x,y)是C与C在第一象限的交点．0012（1）求椭圆Ce的离心率；1Fc,0xf0,c0，求与满足的关系式（2）过点P作动圆C2的切线l，l经过椭圆的右焦点Cc；10（3）若