2025版高考数学大一轮复习第八章立体几何3第3讲空间点直线平面之间的位置关系题培优练文含解析新人教A版

PAGE1-第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系[基础题组练]1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c肯定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行解析：选C.若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，依据公理4，知a∥b，与a，b异面冲突．2．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形肯定是()A．空间四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形解析：选B.如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形．因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.又FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A.若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．4．(2024·广州市中学综合测试(一))在四面体ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，AB＝CD，AB⊥CD，则异面直线EF与AB所成角的大小为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析：选B.取BD的中点O，连接OE，OF，因为E，F分别为AD，BC的中点，AB＝CD，所以EO∥AB，OF∥CD，且EO＝OF＝eq\f(1,2)CD，又AB⊥CD，所以EO⊥OF，∠OEF为异面直线EF与AB所成的角，由△EOF为等腰直角三角形，可得∠OEF＝eq\f(π,4)，故选B.5．已知棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________________________________________________________．解析：如图，由题意可知MN∥AC.又因为AC∥A′C′，所以MN∥A′C′.答案：平行6．给出下列四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交；③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；④若三条直线两两相交，则这三条直线共面．其中真命题的序号是________．解析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点．②正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交．③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面．④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内．答案：①②③7.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．证明：如图，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，因为BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1、H、O三点共线．8．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解：(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．因为AB1＝AC＝B1C，所以∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)连接BD，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1.因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF⊥AC.所以EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.[综合题组练]1．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC解析：选C.由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.2．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，|AB|＝eq\r(2)|BB1|，则AB1与BC1所成角的大小为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(5π,12) D.eq\f(π,2)解析：选D.将正三棱柱ABC­A1B1C1补为四棱柱ABCD­A1B1C1D1，连接C1D，BD，则C1D∥B1A，∠BC1D为所求角或其补角．设|BB1|＝eq\r(2)，则|BC|＝|CD|＝2，∠BCD＝120°，|BD|＝2eq\r(3)，又因为|BC1|＝|C1D|＝eq\r(6)，所以∠BC1D＝eq\f(π,2).3.(2024·长沙模拟)如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，点E，F，H，K分别为AC′，CB′，A′B′，B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K，H，G，B′四点中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为________．解析：取A′C′的中点M，连接EM，MK，KF，EF，则EM綊eq\f(1,2)CC′綊KF，得四边形EFKM为平行四边形，若取点K为P，则AA′∥BB′∥CC′∥PF，故与平面PEF平行的棱超过2条；因为HB′∥MK，MK∥EF，所以HB′∥EF，若取点H或B′为P，则平面PEF与平面EFB′A′为同一平面，与平面EFB′A′平行的棱只有AB，不符合题意；连接BC′，则EF∥A′B′∥AB，若取点G为P，则AB，A′B′与平面PEF平行．答案：G4．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝eq\r(2)AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为eq\r(2)，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为eq\r(2).答案：eq\r(2)5.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相冲突．故直线EF与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq\f(1,2)AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.6.(综合型)如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满意什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.解：(1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.所以E，F，G，H四点共面．(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．因为eq\f(EH,BD)＝eq\f(AE,AE＋EB)＝eq\f(m,