2025版高考数学大二轮复习课时作业12点直线平面之间的位置关系文

PAGE1-课时作业12点、直线、平面之间的位置关系1.[2024·四省八校联考]如图，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BCD＝90°，PA＝PD＝AD＝AB＝2CD＝2，H为PB的中点．(1)求证：CH∥平面PAD；(2)求点C到平面PAB的距离．解析：(1)证明：取PA的中点E，连接HE，DE，则EH綊eq\f(1,2)AB.又CD綊eq\f(1,2)AB，∴EH綊CD，四边形CDEH为平行四边形，∴CH∥DE，又DE⊂平面PAD，CH⊄平面PAD，∴CH∥平面PAD.(2)取AD的中点F，连接PF，FB，AH，则∠PFB＝90°，PF＝eq\r(3)，BF＝eq\r(3)，PB＝eq\r(6)，AH＝eq\f(\r(10),2)，∴S△PAB＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\f(\r(10),2)＝eq\f(\r(15),2)，连接AC，则V三棱锥C－PAB＝V三棱锥P－ABC，设点C到平面PAB的距离为h，∴eq\f(1,3)×eq\f(\r(15),2)×h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)，∴h＝eq\f(6,\r(15))＝eq\f(2\r(15),5).∴点C的平面PAB的距离为eq\f(2\r(15),5).2.[2024·兰州市诊断考试]如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△PCD为正三角形，∠BAD＝30°，AD＝4，AB＝2eq\r(3)，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．(1)证明：BE⊥PC；(2)求多面体PABED的体积．解析：(1)证明：∵BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝4，∴BD＝2，∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD，∴BD⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴BD⊥平面PCD，∴BD⊥PC.∵△PCD为正三角形，E为PC的中点，∴DE⊥PC，∴PC⊥平面BDE，BE⊂平面BDE，∴BE⊥PC.(2)如图，作PF⊥CD，EG⊥CD，F，G为垂足，∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PF⊥平面ABCD，EG⊥平面ABCD，∵△PCD为正三角形，CD＝2eq\r(3)，∴PF＝3，EG＝eq\f(3,2)，∴V四棱锥P－ABCD＝eq\f(1,3)×2×2eq\r(3)×3＝4eq\r(3)，V三棱锥E－BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)×eq\f(3,2)＝eq\r(3)，∴多面体PABED的体积V＝4eq\r(3)－eq\r(3)＝3eq\r(3).3.[2024·江苏卷]在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C求证：(1)AB∥平面A1B1C(2)平面ABB1A1⊥平面A1证明：本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象实力和推理论证实力．(1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1所以AB∥平面A1B1C(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC，又因为AB1⊂平面ABB1A1所以平面ABB1A1⊥平面A14．[2024·东北四市联合体模拟(一)]如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置．(1)证明：AE⊥PB；(2)当四棱锥P－ABCE的体积最大时，求点C到平面PAB的距离．解析：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O.∵AB∥CE，AB＝CE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD中，∠C＝∠ADE＝eq\f(π,3)，BD⊥BC，∴BD⊥AE.如图，翻折后可得，OP⊥AE，OB⊥AE，又OP⊂平面POB，OB⊂平面POB，OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，∵PB⊂平面POB，∴AE⊥PB.(2)当四棱锥P－ABCE的体积最大时，平面PAE⊥平面ABCE.又平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO⊂平面PAE，PO⊥AE，∴OP⊥平面ABCE.∵OP＝OB＝eq\f(\r(3),2)，∴PB＝eq\f(\r(6),2)，∵AP＝AB＝1，∴S△PAB＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),2)×eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(\r(6),2)))2)＝eq\f(\r(15),8)，连接AC，则VP－ABC＝eq\f(1,3)OP·S△ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),4)＝eq\f(1,8)，设点C到平面PAB的距离为d，∵VP－ABC＝VC－PAB＝eq\f(1,3)S△PAB·d，∴d＝eq\f(3VP－ABC,S△PAB)＝eq\f(\f(3,8),\f(\r(15),8))＝eq\f(\r(15),5).5．[2024·郑州市其次次质量预料]如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝eq\f(π,3)，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E在线段BC上，且EC＝eq\f(1,4)BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥D－CEG的体积；若不存在，请说明理由．解析：(1)证明：连接PF，∵△PAD是等边三角形，∴PF⊥AD.∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝eq\f(π,3)，∴BF⊥AD.又PF∩BF＝F，∴AD⊥平面BFP，又PB⊂平面BFP，∴AD⊥PB.(2)能在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD.由(1)知AD⊥BF，∵PD⊥BF，AD∩PD＝D，∴BF⊥平面PAD.又BF⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，∴PF⊥平面ABCD.连接CF交DE于点H，过H作HG∥PF交PC于G，∴GH⊥平面ABCD.又GH⊂平面DEG，∴平面DEG⊥平面ABCD.∵AD∥BC，∴△DFH～△ECH，∴eq\f(CH,HF)＝eq\f(CE,DF)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(CG,GP)＝eq\f(CH,HF)＝eq\f(1,2)，∴GH＝eq\f(1,3)PF＝eq\f(\r(3),3)，∴VD－CEG＝VG－CDE＝eq\f(1,3)S△CDE·GH＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)DC·CE·sineq\f(π,3)·GH＝eq\f(1,12).6．[2024·北京卷]如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．(Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；(Ⅱ)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；(Ⅲ)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．解析：(Ⅰ)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.又因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.所以BD⊥平面PAC.(Ⅱ)因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD.所以AB⊥AE.所以AE⊥平面PAB.所以平面PAB⊥平面PAE.(Ⅲ)棱PB上存在点F，使得CF∥平面PA