陕西省宝鸡市千阳县部分学校2024-2025学年九年级上学期期末检测数学试题数学试题卷（原卷版+解析版）

2024-2025学年上学期末教学质量监测九年级数学试题卷（全卷三个大题，共24个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟）注意事项：1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效．2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）1.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A.中国探火 B.中国火箭C.中国行星探测 D.航天神舟2.下列事件是必然事件的是（）A.四边形内角和是B.校园排球比赛，九年级一班获得冠军C.掷一枚硬币时，正面朝上D.车辆随机到达路口，遇到绿灯3.将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（）A. B. C. D.4.关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（）A0.5 B.1 C.1或 D.5.抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（）A.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位D.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位6.如图，用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，母线长为，则这个扇形的圆心角的度数是（）A. B. C. D.7.二次函数图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）A. B. C. D.8.我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（）A.12 B. C. D.9.如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（）A.2 B. C.1 D.10.如图，已知⊙O的半径OA＝6，∠AOB＝90°，则（圆心角为90°的）扇形AOB的面积为（）A.6π B.9π C.12π D.15π11.大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（）A. B.6 C. D.812.某校开展课外阅读活动，经过两年，2021级的学生人均阅读量从七年级的每年36万字增长到九年级时的每年49万字，设2021级的学生人均阅读量年平均增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（）A. B.C D.13.如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（）A. B. C. D.14.如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（）A. B. C. D.15.如图，是内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（）A. B.12r C.13r D.26r二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）16.点关于原点的对称点的坐标为________．17.如图是一个可以自由转动质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有______个．18.已知方程的两根是，则______．19.的直径，AB是的弦，，垂足为M，，则AC的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共56分）20.用适当的方法解下列方程：（1）；（2）．21.如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点都在格点上，A（1，3），B（4，5），C（5，1）．（1）请在图中画出△A1B1C1，使它和△ABC关于原点O对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1；（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标．22.已知关于x的方程．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根．23.某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．（1）请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；（2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．24.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求的面积；（3）直接写出不等式的解集．25.某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，平均每天可卖出80件．如果每件商品的售价每下降1元，则每天可多卖出10件．设每件商品的售价下降元（为正整数），每天的销售利润为元．（1）求销售利润（元）与下降价格（元）的函数关系式；（2）每件商品售价下降多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？26.数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合．作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．请结合所学的数学知识解决下列问题．已知抛物线．（1）当时，求顶点坐标、对称轴、该函数与轴的交点坐标；（2）求证：该二次函数图象与轴有两个交点；（3）当该抛物线与轴两交点的横坐标都为正整数时，求整数的值．27.如图1，以的直角边为直径作，交斜边于点D，点E是的中点，连接，．（1）【推理】求证：是的切线；（2）【拓展】如图2，点F在的延长线上，点M在线段上，于点N，交于点G．求证：；（3）【运用】在（2）的条件下，若，，，求的面积．

2024-2025学年上学期末教学质量监测九年级数学试题卷（全卷三个大题，共24个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟）注意事项：1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效．2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）1.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A.中国探火 B.中国火箭C.中国行星探测 D.航天神舟【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：只有选项B中图形能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180度后和原图形完全重合．故选：B．2.下列事件是必然事件的是（）A.四边形内角和是B.校园排球比赛，九年级一班获得冠军C.掷一枚硬币时，正面朝上D.车辆随机到达路口，遇到绿灯【答案】A【解析】【分析】本题考查了随机事件．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．【详解】解：A、四边形内角和是，是必然事件，本选项符合题意；B、校园排球比赛，九年级一班获得冠军，是随机事件，本选项不符合题意；C、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，本选项不符合题意；D、车辆随机到达路口，遇到绿灯，是随机事件，本选项不符合题意，故选：A．3.将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【详解】解：∵，∴，∴，即，故选A．4.关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（）A.0.5 B.1 C.1或 D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，把代入原方程，即可求解．【详解】关于x的一元二次方程的一个根是0，，故选D．5.抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（）A.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位D.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位【答案】D【解析】【分析】由平移前后的解析式，结合平移法则即可得解；【详解】解：抛物线通过先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到抛物线，故选择：D【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握二次函数平移规律是解题的关键．6.如图，用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，母线长为，则这个扇形的圆心角的度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据扇形面积公式求出圆锥的母线长，再根据弧长公式计算，得到答案．【详解】解：设扇形的圆心角为，∵圆锥的底面圆周长为，母线长为，∴解得，即扇形的圆心角为．故选：B．【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．7.二次函数图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象逐一判断即可．【详解】解：由图可知：抛物线开口向下，，故A错误，不符合题意；抛物线与轴的交点在轴的正半轴，，故C错误，不符合题意；对称轴直线，，即，故D正确，符合题意；，，，故B错误，不符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，从图象中获取信息并结合图象去分析是解题的关键．8.我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（）A.12 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，则，再根据平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦可得，，再根据可得是等边三角形，则，最后结合三角函数即可求解．【详解】解：连接，交于点M，连接，∵六边形是的内接正六边形，∴，，∴，∵经过圆心O，∴，，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵在中，，，，∴，∴，故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、三角函数综合和圆周角定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．9.如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】证明四边形是矩形，根据反比例函数的值的几何意义，即可解答．【详解】解：轴于点M，轴于直N，，四边形是矩形，四边形的面积为2，，反比例函数在第一、三象限，，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为是解题的关键．10.如图，已知⊙O的半径OA＝6，∠AOB＝90°，则（圆心角为90°的）扇形AOB的面积为（）A.6π B.9π C.12π D.15π【答案】B【解析】【分析】根据扇形面积公式计算即可.【详解】解：根据扇形面积计算公式可得：圆心角为90°的扇形AOB的面积=，故选B．【点睛】本题考查了扇形面积公式的计算，属于常考题型，掌握扇形面积的计算公式是关键.11.大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（）A. B.6 C. D.8【答案】C【解析】【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则：，解得：，即蜡烛火焰的高度为，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．12.某校开展课外阅读活动，经过两年，2021级的学生人均阅读量从七年级的每年36万字增长到九年级时的每年49万字，设2021级的学生人均阅读量年平均增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量增长率），如果设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意即可列出方程求解．【详解】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意即可列出方程：．故选：A．13.如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是得出，根据直角三角形的两个锐角互余结合圆周角定理计算即可．【详解】∵在中，为直径，∴，∵，∴，故选D．14.如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质．根据旋转的性质可得，，证明是等边三角形，即可得的长．【详解】解：连接，如图所示：将绕点顺时针旋转得到，∴，，∴是等边三角形，则，故选：A．15.如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（）A. B.12r C.13r D.26r【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积一半．计算即可．【详解】是的内切圆且半径为r，，，，，则的面积为，故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）16.点关于原点的对称点的坐标为________．【答案】【解析】【分析】此题主要考查关于原点对称的点的坐标特点，掌握“关于原点对称时，横纵坐标都为相反数”是解题的关键．【详解】解：关于原点的对称点的坐标为，故答案为：．17.如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有______个．【答案】4【解析】【分析】由于转盘被分成12个大小相同的扇形，结合指针指向红色的概率为，让总份数乘以相应概率即为红色区域的份数．【详解】解：要使转盘停止转动时，指针落在红色区域的概率为，只需使红色区域占总面积的即可，而已知整个圆面被分成12等份，故只需使红色占到等份．故涂上红色的小扇形有4个，故答案为：4．【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18.已知方程的两根是，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．先利用根根与系数的关系得，，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据根与系数的关系得，，所以．故答案为：．19.的直径，AB是的弦，，垂足为M，，则AC的长为______．【答案】或【解析】【分析】分①点在线段上，②点在线段上两种情况，连接，先利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：①如图，当点在线段上时，连接，的直径，，，，，，；②如图，当点在线段上时，连接，同理可得：，，；综上，的长为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了勾股定理、圆，正确分两种情况讨论是解题关键．三、解答题（本大题共8小题，共56分）20.用适当的方法解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程：（1）运用因式分解法进行解方程，即可作答．（2）先移项，得，再运用因式分解法进行解方程，即可作答．【小问1详解】解：∵，∴，∴；【小问2详解】解：∵，∴，∴∴．21.如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点都在格点上，A（1，3），B（4，5），C（5，1）．（1）请在图中画出△A1B1C1，使它和△ABC关于原点O对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1；（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标．【答案】（1）详见解析；（2）A1（﹣1，﹣3），B1（﹣4，﹣5），C1（﹣5，﹣1）．【解析】【分析】（1根据关于原点对称的点的定义画图即可；（2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A1，B1，C1的坐标．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1就是所要求画的三角形；（2）A1（﹣1，﹣3），B1（﹣4，﹣5），C1（﹣5，﹣1）．【点睛】本题考查了作图：中心对称变换：掌握关于原点中心对称的性质是解题关键.22.已知关于x的方程．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根．【答案】（1）见详解（2），另一根为【解析】【分析】（1）根据进行判断；（2）把代入方程即可求得，然后解这个方程即可；本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；还有方程根的意义等；【小问1详解】证明：∵是一元二次方程，∴，无论取何实数，总有，，∴方程总有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：把代入方程，有，整理，得．解得，此时方程可化为．解此方程，得，．∴方程的另一根为．23.某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．（1）请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；（2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．【答案】（1）所有可能出现的结果共6种：，，，，，（2）小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率是【解析】【分析】本题主要考查了列举法求概率，解题的关键是写出所有可能出现的结果．（1）按照先抽到A、再抽到其他的，先抽到B、再抽到C或D，然后抽到C，再抽到D，写出所有可能的结果即可；（2）根据概率公式进行计算即可．【小问1详解】解：所有可能出现的结果共6种：，，，，，．【小问2详解】解：记抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案为事件M，M包含的结果有3种，即，，，且6种可能的结果出现的可能性相等，∴．24.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求的面积；（3）直接写出不等式的解集．【答案】（1）反比例函数解析式为：，一次函数解析式为：（2）（3）或【解析】【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可；（2）求出点坐标得到线段长，根据代入数据计算即可；（3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集．【小问1详解】一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，，反比例函数解析式为：，，在一次函数的图象上，，解得，一次函数解析式为：．【小问2详解】在一次函数中，令，则，，；【小问3详解】根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或．25.某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，平均每天可卖出80件．如果每件商品的售价每下降1元，则每天可多卖出10件．设每件商品的售价下降元（为正整数），每天的销售利润为元．（1）求销售利润（元）与下降价格（元）的函数关系式；（2）每件商品的售价下降多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）（2）每件商品的售价下降6元时，每天的销售利润最大，最大利润是1960元【解析】【分析】（1）根据利润（原售价降价）销售量进行求解即可；（2）根据（1）所求，结合二次函数的性质求解即可．【小问1详解】解：由题意得，；【小问2详解】解：由（1）得，∵，∴当时，y最大，最大值为1960，∴每件商品的售价下降6元时，每天的销售利润最大，最大利润是1960元．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系是解题的关键．26.数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合．作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．请结合所学的数学知识解决下列问题．已知抛物线．（1）当时，求顶点坐标、对称轴、该函数与轴交点坐标；（2）求证：该二次函数图象与轴有两个交点；（3）当该抛物线与轴两交点的横坐标都为正整数时，求整