河南省周口市沈丘县中英文等校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

2024-2025学年九年级全学年月考试卷九年级数学（X）注意事项：1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟．2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1.观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（）A. B.C. D.2.数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据：重复试验次数10501005001000钉尖朝上次数51536200400由此可以估计任意抛掷一次图钉，钉尖朝上概率约为（）A B. C. D.3.如图，在横格作业纸（横线等距）上画一条直线，与横格线交于A，B，C三点，则（）A. B. C. D.4.一元二次方程的根的情况是（）A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根5.如图，某商场有一自动扶梯，其坡度为，一孩童乘扶梯从点升至点，若高度上升了3米，长度是（）A4米 B.米 C.6米 D.米6.如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上，则的值是（）A. B. C. D.7.如图、分别与相切，切点分别为，，若，则的度数为（）A. B. C. D.8.如图，小树在路灯的照射下形成投影．若树高，树影，路灯的高度为，则树与路灯的水平距离为（）A. B. C. D.9.在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）A. B. C. D.10.如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，，，则点的对应点的坐标为（）A. B. C. D.二、填空题（每小题3分，共15分）11.写出一个对称轴在轴左侧且过原点的抛物线解析式________．12.如果两个相似三角形的相似比是2:3，那么它们的周长比是_______．13.将抛物线向左平移个单位长度后，顶点落在轴上，则________．14.2024年2月第十四届全国冬季运动会吉祥物“安达”“赛努”热销．某店吉祥物系列产品12月份的销售量为256件，2月份的销售量为400件．若设该吉祥物系列产品12月份到2月份销售量的月平均增长率为，则可列一元二次方程为________．15.如图，是的直径，弦，与交于点．连接，，若，，则图中阴影部分的面积是________．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（1）计算：；（2）解方程：．17.现有4张卡片，正面写有不同变化，它们除此之外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀．（1）从中随机抽取一张，则这张卡片呈现的变化是化学变化的概率是________；（2）从中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求这两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率．18.如图，的三个顶点的坐标分别为，，．（1）以原点为位似中心，将放大为，使与的相似比为．（2）尺规作图画出的外接圆，直接写出的外心坐标．19.九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路，向世人展示了洛阳作为一个十三朝占都悠久历史，如图，某校数学社团的学生测量其高（含底座），先在点处用测角仪测得其顶端的仰角为，再由点向九龙鼎走到处，测得顶端的仰角为已知，、三点在同一直线上，测角仪离地面的高度．求九龙鼎的高．（结果精确到、参考数据：，，）．20.近年来，电商直销因为没有中间商赚差价，没有商铺的各种费用，而且有平台补贴，价格较低，很受消费者喜爱．某电商销售一批名牌皮衣，进价是每件元，售价是每件元，平均每天可售出件．现采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件皮衣降价元，平均每天可多售出件，但每件最低价不得低于元．（1）若每件皮衣降价元（且取整数），平均每天盈利元，求与之间的函数关系式．（2）每件皮衣降价多少元时，电商平均每天盈利最多？21.如图，为的直径，点为与直线的交点，于，交于，平分．（1）求证：为的切线；（2）若，，求的长．22.如图，平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．（1）求抛物线的对称轴及的值；（2）若点与点在抛物线上，且，求的取值范围．23.综合与实践课上，某数学小组对“图形中两条互相垂直的线段间的关系”进行探究，请你参与．（1）观察发现如图，在正方形中，点、、、分别在边、、、上，且．过点作于，过点作于，则________；和的数量关系是________；（2）迁移探究将正方形换成矩形继续进行探究：如图，在矩形中，．点、、、分别在边、、、上，且．（）中和的数量关系是否仍然成立？并说明理由．（3）拓展应用如图，在中，，，点、分别在边、上，且．若，直接写出的长．

2024-2025学年九年级全学年月考试卷九年级数学（X）注意事项：1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟．2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1.观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是相似图形，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．根据相似图形的概念进行判断即可．【详解】解：A、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；D、两个圆形状相同，是相似图形，符合题意．故选：D．2.数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据：重复试验次数10501005001000钉尖朝上次数51536200400由此可以估计任意抛掷一次图钉，钉尖朝上的概率约为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别计算每次的频率即可得到答案．【详解】解：∵，，，，，∴任意抛掷一次图钉，钉尖朝上的概率约为，故选：B．【点睛】此题考查利用频率得到大量重复实验的概率，掌握计算公式是解题的关键．3.如图，在横格作业纸（横线等距）上画一条直线，与横格线交于A，B，C三点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．过点作过点的横线于，交过点的横线于，再根据平行线分线段成比例定理计算即可．【详解】解：如图，过点作过点的横线于，交过点的横线于，，，故选：C．4.一元二次方程的根的情况是（）A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C只有一个实数根 D.没有实数根【答案】D【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据判别式的值判断即可．【详解】解：一元二次方程，∵，∴方程没有实数根．故选：D．5.如图，某商场有一自动扶梯，其坡度为，一孩童乘扶梯从点升至点，若高度上升了3米，长度是（）A.4米 B.米 C.6米 D.米【答案】B【解析】【分析】此题考查了勾股定理、坡度等知识，熟练掌握坡度的定义是解题的关键．过点B作垂直地面于点C，则米，根据坡度的定义得到米，用勾股定理即可求出答案．详解】解：如图，过点B作垂直地面于点C，则米，∵坡度为，∴，∴米，∴米，故选：B6.如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的逆定理，先由网格可得，，，则可证是直角三角形，然后由即可求解，构造直角三角形是解题的关键．【详解】解：如图，由网格可知：，，，∴，∴是直角三角形，∴，∴，故选：．7.如图、分别与相切，切点分别为，，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握切线长定理是解决此题的关键．由切线长定理得到，由等腰三角形的性质得，再由三角形的内角和即可得解．【详解】解：、分别与相切，，，，，，

故选：B

．8.如图，小树在路灯的照射下形成投影．若树高，树影，路灯的高度为，则树与路灯的水平距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，根据相似三角形的判定证出，然后利用相似三角形的性质求解即可得．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故选：B．9.在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．【详解】解：A．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，则，故本选项错误；B．由抛物线不过原点，故本选项错误；C．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，则，故本选项正确；D．由抛物线可知，，，由直线可知，，故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质的知识点，熟练掌握抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质是解题的关键．10.如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，，，则点的对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，求得，与是以点为位似中心的位似图形，可得位似比为，由点A的坐标可得点C的坐标．【详解】解：∵，，∴，又与是以点为位似中心的位似图形，∴，∵，∴点的对应点的坐标为，即，故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11.写出一个对称轴在轴左侧且过原点的抛物线解析式________．【答案】（不唯一）【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质写出一个符合的即可．【详解】解：抛物线的解析式为，故答案为：（不唯一）．12.如果两个相似三角形的相似比是2:3，那么它们的周长比是_______．【答案】2：3【解析】【分析】根据相似三角形的性质：周长比等于相似比即可解得．【详解】∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的周长比为2：3．13.将抛物线向左平移个单位长度后，顶点落在轴上，则________．【答案】1【解析】【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质．掌握二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键．将抛物线解析式改为顶点式，即可求出平移后的解析式，进而可求出平移后的顶点坐标，最后根据它的顶点恰好落在y轴上，即顶点的纵坐标为0，可求出答案．【详解】解：抛物线向左平移m个单位后的解析式为：，∴此时顶点坐标为，∵此时它的顶点恰好落在y轴上，∴，解得：．故答案为：1．14.2024年2月第十四届全国冬季运动会吉祥物“安达”“赛努”热销．某店吉祥物系列产品12月份的销售量为256件，2月份的销售量为400件．若设该吉祥物系列产品12月份到2月份销售量的月平均增长率为，则可列一元二次方程为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该款吉祥物2月份的销售量=该款吉祥物12月份的销售量该款吉祥物12月份到2月份销售量的月平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得：．故答案为：．15.如图，是的直径，弦，与交于点．连接，，若，，则图中阴影部分的面积是________．【答案】【解析】【分析】本题考查扇形的面积，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，先由垂径定理得，再由圆周角定理推出，得，解直角三角形得，，再得，进而得，再由，根据扇形的面积公式计算即可．【详解】解：∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴．故答案：．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（1）计算：；（2）解方程：．【答案】（1）；（2），【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，殊角的三角函数值．（1）根据特殊角的三角函数值、平方差公式分别运算，最后算减法即可；（2）先化简再移项，再利用因式分解法解答即可．【详解】解：（1）；（2），化简得，，移项得，，分解得：，∴或，∴，．17.现有4张卡片，正面写有不同变化，它们除此之外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀．（1）从中随机抽取一张，则这张卡片呈现的变化是化学变化的概率是________；（2）从中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求这两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，正确画出树状图或表格是解决本题的关键．（1）共有4种可能出现的结果，其中是化学变化有“酒精燃烧”和“牛奶变酸”两种，即可求出概率；（2）用列表法列举出所有可能出现的结果，共有12种等可能的结果，其中两张卡片呈现的变化都是物理变化的结果有2种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】解：∵共有4种可能出现的结果，其中是化学变化有“酒精燃烧”和“牛奶变酸”两种，∴从中随机抽取一张，这张卡片呈现的变化是化学变化的概率是，故答案为：；【小问2详解】解：设卡片代表“冰化成水”，卡片代表“酒精燃烧”，卡片代表“铁棒成针”，卡片代表“牛奶变酸”．由题意列表如下：所有等可能的情况共有12种，其中两张卡片呈现的变化都是物理变化的情况有，两种，∴两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率．18.如图，的三个顶点的坐标分别为，，．（1）以原点为位似中心，将放大为，使与的相似比为．（2）尺规作图画出的外接圆，直接写出的外心坐标．【答案】（1）见详解（2）见详解；点坐标为【解析】【分析】本题考查作图位似变换，三角形的外接圆等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．（1）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F，然后顺次连接即可．（2）作线段和线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点I即为的外心．然后写出点I的坐标即可．【小问1详解】解：如下图所示：【小问2详解】解：即为所求：点坐标为19.九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路，向世人展示了洛阳作为一个十三朝占都的悠久历史，如图，某校数学社团的学生测量其高（含底座），先在点处用测角仪测得其顶端的仰角为，再由点向九龙鼎走到处，测得顶端的仰角为已知，、三点在同一直线上，测角仪离地面的高度．求九龙鼎的高．（结果精确到、参考数据：，，）．【答案】九龙鼎的高约为33米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，延长交于点，则，米，米，设米，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．【详解】解：如图延长交于点，则，米，米，设米，∴米，中，，∴（米），在中，，∴，即，∴，解得，∴（米），∴九龙鼎的高约为33米．20.近年来，电商直销因为没有中间商赚差价，没有商铺的各种费用，而且有平台补贴，价格较低，很受消费者喜爱．某电商销售一批名牌皮衣，进价是每件元，售价是每件元，平均每天可售出件．现采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件皮衣降价元，平均每天可多售出件，但每件最低价不得低于元．（1）若每件皮衣降价元（且取整数），平均每天盈利元，求与之间的函数关系式．（2）每件皮衣降价多少元时，电商平均每天盈利最多？【答案】（1）；（2）降价元时电商平均每天盈利最多．【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质，理解清楚题意找出数量关系，列出函数解析式是解题的关键．（）根据题意列出关系式即可；（）先求出，再由，开口向下，有最大值，即时，盈利最多．【小问1详解】解：根据题意得，，∴与之间的函数关系式是；小问2详解】解：∵每件最低价不得低于元，∴，解得：，∴，由，∵，∴开口向下，有最大值，∴当时，盈利最多，答：降价元时电商平均每天盈利最多．21.如图，为的直径，点为与直线的交点，于，交于，平分．（1）求证：为的切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定、圆周角定理等知识．（1）连接，由得，由角平分线的性质得，进而得，再由垂直得，进而得，，即，即可得出结论；（2）连接，由圆周角定理得，进而得，再解直角三形即可得出答案．【小问1详解】证明：连接，∵，∴．∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴为的切线；【小问2详解】解：连接，∵是直径，∴．∵，∴．∴．在中，．22.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．（1）求抛物线的对称轴及的值；（2）若点与点在抛物线上，且，求的取值范围．【答案】（1）对称轴为，（2）【解析】【分析】（）令，可得或，即得，，即可求出抛物线的对称轴和点的坐标，再代入函数解析式即可求出的值；（）根据二次函数的对称性可得和对应的函数值相等，再结合二次函数的图象和性质可得，即可求解；本题考查了二次函数的图象和