【试题分类】专题11 立体几何-上海市高三数学一模试题分类卷【原卷+解析】

一模汇编【立体几何】

一、填空题

1.【普陀2】若正四棱柱的底面周长为4、高为2,则该正四棱柱的体积为

2.[虹口3]已知一个球的半径为3,则这个球的体积为

3.【浦东5】若圆锥的轴截面是边长为I的正二角形,则圆锥的侧面枳是

4.【金山5】已知一个圆锥的底面半径为3,高为4,则该圆锥的侧面积为

5.【长宁5】如图，在三梭台ABC-AqG的9条棱所在直线中,

与直线48是异面直线的共有条.

6.【嘉定5】已知某一个圆锥的侧面积为20兀，底面积为16兀，则这个圆锥的体积为

7.【松江6】已知网锥的母线长为5,侧面积为20兀，则此圆锥的体积为（结果中保

留死）.

8.【宝山7】将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为.

9.【静安7］有一种空心钢球，质量为140.2g,测得球的外直径等于5.0cm,若球壁厚度均

匀，则它的内直径约为cm.（钢的密度是7.9g/cm3,结果保留一位小数）.

10.【徐汇7］已知圆锥的侧面积为2兀.日侧面展开图为半圆,则底面半杼为.

11.【闵行7】如图，对于直四棱柱ABC。—AgGR,要使AC_LBQ］，则在四边形ABCD

中，满足的条件可以是.（只需写出一个正确的条件）

12.【黄浦8】已知一个圆锥的侧面展开图是一个面积为2兀的半圆，则该圆锥的体积

为•

13.【崇明8】将半径为2的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥筒的高为.

14.【青浦9】已知空间三点A(—1,3,1),8(2,4,0),C(0,2,4),则以AB、AC为一组邻

边的平行四边形的面积大小为.

15.【长宁9】若04=(1,-2,0),。月=(2,1,0),OC=(1,1,3),则三棱锥O-ABC的体积

为.

16.【嘉定9】如图为正六棱柱4BCQE/-OC'O,E'L，其6个侧面的12条面对角线所

在直线中，与直线异面的共有条.

17.［奉贤10］长方体人8cA4GA的底面是边长为I的正方形，若在侧棱AA上至少

存在一点E,使得NC£8=90，则侧棱A%的长的最小值为.

18.【静安11】在空间直角坐标系。—孙z中，点P(7,4,6)关于坐标平面的对称点p

在第卦限；若点。的坐标为(8,-1,5),则向量PQ与向量pp夹角的余弦值

是.

19.【嘉定11】在空间宜角坐标系中，点41,0,0),点伏5,-4,3),点C(2,0,l),则从台在

CA方向上的投影向量的坐标为.

20.【宝山11】某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC,遮阳篷是一

个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边A8朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳

光线与地面成30。角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为时，所遮阴影面A8C

面积达到最大.

21.【青浦11】已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底

面圆的直径，。为下底面圆周上一点，则三棱锥P—45。外接球的体枳为.

22.【松江11］动点P在棱长为1的正方体-表面上运动，且与点A的距

离是空，点2的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为.

3

23.【长宁11］已知AR是圆柱的一条母线，是圆柱下底面的直径，。是圆柱下底面圆周

上异于A,8的两点，若圆柱的侧面积为4兀，则三棱锥A—A8C外接球体积的最小值

为•

二、选择题

24.【普陀13】已知直线/、〃?和平面a、夕，下列命题中的真命题是（）

（A）若〃IHa则相JLa（B）若〃/a,a【B,则/_L£

（C）若a〃/,则（D）若/J_a,/»1/?,则〃/〃2

25.【杨浦14】对于平面。和两条直线机、〃，下列说法正确的是（）

A.若//_La,tn_Ln,则n//a

B.若m、〃与a所成的角相等,则加//n

C.若加〃a,〃〃a,则“？〃〃

D.若mua,m//n,n在平面a外，则〃〃a

26.［奉贤14］紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶

的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石飘壶、潘壶等米中，石瓢壶的壶体可以近似看成一

个圆台.如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm）,那么该壶的容积约接近于（）

A.1（）（）cm3B.200cm3

C.300cm3D.400cm3

27.【青浦14］已知加，〃是两条不同直线，a,

().

A.若。，尸不平行，则在。内不存在与夕平行的直线

B若加，〃平行于同一平面，则阳与〃可能异面

C.若〃〃不平行，则小与〃不可能垂直于同一平面

D.若。，尸垂直于同一平面，则。与月可能相交

28.【黄浦14］如图，四边形A8CZ）是边长为1的正方形，MDJ.平面A4CZ）,N8JL平面

/WC£>,且==点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（）.

A.MCtAN

B.平面DCM〃平面ABN

C.直线GB与AM是异面直线

D.直线G"与平面AM力无公共点

29.【浦东15］已知直线/与平面a相交，则下列命题中，正确的个数为（)

①平面。内的所有直线均与直线/异面；

②平面a内存在与直线/垂直的直线；

③平面。内不存在直线与直线/平行；

④平面。内所有直线均与直线/相交.

A.IB.2C.3D.4

30.【金山15】已知正四面体43co的楼长为6,设集合C={P||AP|«2近，点平面

3C。},则Q表示的区域的面积为（）

A.7tB.3五

C.47cD.6完

31.【徐汇15］已知平面a、B、/两两垂直，直线。、氏。满足：aua，bu。,cay,

则直线。、b、。位置关系不可能是（）

A.两两垂直B.两两平行

C.两两相交D,两两异面

32.【静安16］“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.《九章算术》总

结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛

而深远的影响.书中有如下问题；“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？”其意思

为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺,

高为8尺，问它的体枳是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为

（）平方尺.

A.1424B.140乃

C.1384D.128万

三、解答题

33.【嘉定17](本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分

如图，已知正四棱柱4G底面正方形A8CO的边长为2,A4,=3.

(1)求证：平面A4,CCJ_平面A3O；

(2)求点A到平面A3。的距离.

34.【崇明17](本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分

如图,长方体ABC。一AAGR中，AB=8C=J5,A。与底面A8CO所成的角为45°.

(1)求四棱锥A-A8C。的体积；

(2)求异面直线4B与8a所成角的大小.

35.【松江17］（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7

分

已知A8_L平面BCD,BCA.CD

（1）求证：平面ACO_L平面A8C；

（2）若AB=1，CD=BC=2,求直线AD与平面ABC所成角的正弦值大小.

36.【金山17］如图，在四棱锥P—ABCO中，已知B4_L底面A3CD，底面ABCQ是正

方形，PA=AB.

(1)求证：直线平面B4C；

(2)求直线PC与平面P斑＞所成的角的大小.

37.【徐汇17］（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在直三棱柱ABC-A与G中，AB=AC=2,M=4,AB_L4C,BELAB.

交A4于点£。为CG的中点.

（1）求证：3E_L平面4片。；

（2）求直线与。与平面AB。所成角的大小.

38.【青浦18］（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.

如图，在正三棱柱ABC-中，民尸分别为34，AC中点.

（1）求证：8F〃平面A|EC；

（2）求证：平面4ECJ•平面ACGA.

39.【杨浦18](本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

如图所示圆锥P—O中，C。为底面的直径，AB分别为母线尸。与尸C的中点，点E

是底面圆周上一点，若NDCE=30。，AB=O,圆锥的高为JIZ.

(1)求圆锥的侧面积S；

(2)求证：AE与PC是异面直线，并求其所成角的大小.

40.【普陀19］（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，"复兴''桥为人行天桥，其主体结构是由两根等长的半圆型主梁和四根竖直的立柱

吊起一块圆环状的桥面.主梁在桥面上方相交于点S且它们所在的平面互相垂直，S在桥面

上的射影为桥面的中心。.主梁连接桥面大圆，立柱连接主梁和桥面小圆，地面有4条可以

通往桥面的上行步道.设C。为其中的一根立柱，A为主梁与桥面大圆的连接点.

（1）求证：CO〃平面SO4；

（2）设人△为经过人的一条步道，其长度为12米且与地面所成角的大小为301桥面小圆与

大圆的半径之比为4:5,当桥面大圆半径为20米时，求点。到地面的距离.

41.【浦东18］（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8

分.

如图，三棱锥P—A3C中，侧面BAN垂直于底面ABC,PA=PB,底面ABC是斜

边为A8的直角三角形，且NA8C=30。，记。为A8的中点，£为。。的中点.

（1）求证：PC-LAEi

（2）若AA=2,直线PC与底面ABC所成角的大小为60。，求四面体尸AOC的体枳.

42.【奉贤18](本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分

如图，在四面体4867)中，已知朋=3O=C4=CD,点E是AD中点.

(1)求证：AD_1_平面BEC；

9

(2)已知AB=5,BDC=arccos—,A£)=6,作出二面角。一的平面角，并

25

求它的正弦值.

43.【闵行18］（本题满分14分）本题共有2个小题，第I小题6分，第2小题8分

如图，已知圆柱。。的底面半径为1,正△ABC内接于圆柱的下底面圆0,点。।是圆柱

的上底面的圆心，线段A4是圆柱的母线.

（1）求点C到平面A的距离：

（2）在劣弧8C上是否存在一点。，满足〃平面AA8?若存在，求出NB0。的大小；

若不存在，请说明理由.

44.【黄浦18］（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分.

如图所示，四棱锥尸-AHC力中，底面A8C力为菱形，且Q4_L平面ABC7）,又棱

PA=AB=2,E为棱。的中点，NA3c=60。.

（1）求证：直线A£_L平面F4B；

（2）求直线A£1与平面尸CD所成角的正切值.

（第18题图）

45.【长宁19](本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3

小题6分

如图，在三棱锥O-A3c中，平面ACO_L平面A3C,AD±AC,ABLBC,E、

产分别为棱8C、CO的中点.

(1)求证：直线EF〃平面4?。：

(2)求证：直线3C_L平面ABD；

(3)若直线C。与平面ABC所成的角为45。，直线CQ与平面A即所成角为30°,求二

面角B-AD-C的大小.

B

（第19题）

46.【静安19］（本题满分16分，其中第1小题满分8分，第2小题满分8分）

如图所示，在矩形A8C。中，AB=4,4）=2,E是CO的中点，。为AE的中点,

以AE为折痕将A4Z汨向上折起，使。点折到P点，且PC=PB.

（1）求证：PO上面ABCE；

（2）求AC与面R4吕所成角。的正弦值.

47.【虹口19］（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

如图，在三棱柱A8C-ABC中，底面人是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面A4CC

为菱形，点用在底面上的投影为AC的中点。，且人8=2.

（1）求证：BDLC&；

（2）求点C到侧面相用B的距离；

（3）在线段A片上是否存在点，使得直线。E与侧面AA&8所成角的正弦值为手？若

存在，请求出AE的长；若不存在，请说明理由.

48.【宝山19］（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6

分）

如图，棱长为2的正方体ABC。—A4GA中，加、N、P分别是CR、GC、A4的

中占

（1）证明：“、N、A、B四点共面；

（2）求异面直线PR与历N所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）；

（3）求三棱锥P-MV3的体积.

一模汇编【立体几何】

一、填空题

1.【普陀2】若正四棱柱的底面周长为4、高为2,则该正四棱柱的体积为.

【答案】2

【解析】V=Sh=2

2.【虹口3】已知一个球的半径为3,则这个球的体积为.

【答案】367t

【解析】V=g;r/=36乃

3.【浦东5】若圆锥的轴靛面是边长为1的正三角形，则圆锥的侧面积是.

【答案】:

2

【解析】/=2-=1=>厂=,,5=4〃=2

22

4.【金山5】已知一个圆锥的底面半径为3,高为4,则该圆锥的侧面积为.

【答案】15万

【提小】母线长为/=J<+〃2=5,所以侧面积为S=〃"=;rx3x5=154

5.【长宁5】如图，在三棱台ABC-A与G的9条棱所在直线中，与直线A3是异面直线

的共有条.

【答案】3

【分少】利用异面直线的判定定理判断即可

【提示】86、AC、cc,

6.【嘉定5】已知某一个圆锥的侧面积为2071,底面积为16兀，则这个圆锥的体积为.

【答案】1671

【解析】设圆锥的底面半径为「，则九/=]6兀，解得厂=4=>S底=4,4/=20兀，解得1=5

由勾股定理，得〃=，尸_r2=,25.16=3,故圆锥的体积为:xl6兀x3=16兀

7.【松江6]已知圆锥的母线长为5,侧面积为20兀，则此圆锥的体积为（结果中保

留九）.

【答案】I6n

【解析】设圆锥的底面半径为「，则S恻=兀，，5=20兀，.」=4

•••圆锥的高h=正--=3，，圆锥的体积V=g几/卜=；x16兀x3=16兀

JJ

B

8.【宝山7】将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为.

【答案】21t

3

【解析】设圆锥的底面半径为贝12M=2兀,.”=］

・••圆锥的高h==后，，圆锥的体积V=-Ttr2h=—7T

33

9.【静安7］有一种空心钢球，质量为140.2g,测得球的外直径等于5.0cm,若球壁厚度均

匀，则它的内直径约为cm.（钢的密度是7.9g/cm3,结果保留一位小数）.【答案】

4.5

【解析】设空心钢球的内食径为2“m,则（兀（3）一^兀/x7.9=140.2

所以-1402x3,解得〃。2.25,所以2r之4.5

（2）7.9x471

10.【徐汇7】已知圆锥的侧面积为2兀，且侧面展开图为半圆，则底面半径为.

［答案］］

【解析】设圆锥的母线长为/,底面圆的半径为「/

则，乃尸=2万，所以/=2,故底面圆的周长为，用x4=2乃\\

221----------------------J

n27n.=2兀，解得厂=1,所以底面半径为1

11.【闵行7】如图，对于直四棱柱48。。一44。|。1,要使4。，片。1,则在四边形人88

中，满足的条件可以是.（只需写出一个正确的条件）

【答案】ACJ.4A（只要使得AGJL4R即可）

【分91利用三垂线定理或线面垂直的判定定理及线面垂直的定义可得出结论.,

【解析】连接4G，因为CG，面A81GA，8Q1U面A4GA，则与。>LCG

若AG工BR,AGcct=c,,cc「AGu面ACG，.•.片口_1_面4。6

vA（Cu面A。。］/.A。工BR.I

12.【黄浦8】已知一个圆锥的侧面展开图是一个面积为2兀的半圆，则该圆锥的体积

【解析】—7il~=2乃=>/=2,乃二12万=>r=1,/z=6,V=—I2xJ5="兀

2I33

13.【崇明8】将半径为2的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥筒的高为

【答案】V3

【解析】如图所示，图1是圆锥（图2）的侧面展开图

OA=OB=2,则扇形弧长/=2兀

设圆锥底面圆半径为小则27n*=271,得厂=1

则在火公。4£）中，圆锥的高/?=℃=亚万=6

14.【青浦9】已知空间三点4一1,3,1）,5（2,4,0）,C（0,2,图2

边的平行四边形的面积大小为.

【答案】2病

【分■】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求出NB4C,再利用三角形面积公式计算

作答.

【解析】依题意，48=(3,AC=(1,-1,3),\AB\=\AC\=y/H,

小…ABAC1I-----；------2^/30

cosNB4C=---------=----=>sinNR4C=Jl—cos"NR4C=------

\AB\\AC\11II

所以以A4、AC为一组邻边的平行四边形的面积S=\AB\-\AC\sinNBAC=2而.

15.【长宁9】若。4=(1,-2,0),05=(2,1,0),"=(1,1,3),则三棱锥O-ABC的体积

为.

【答案】|

【分•】根据空间向量的坐标运算，求得棱锥底面积和高，结合棱锥的体积计算公式，即可

求得结果.

【解析】根据已知可得：04.08=1x2-2x1=0，即OAJ_OB,

又10A卜］尸+（_2）2=区口8卜万不=故AOAB的面积S=：XJ^X6=£；

不妨取平面OAB的一个法向量m=（0,0,1）,则点C到平面OAB的距离

I。。•/3

〃=1।।1=二=3,

例1

故三棱锥0—A4C的体积V=1SX〃=,X*X3=9.

3322

6【嘉定9】如图为正六棱柱ABCDE产-A'B'C'D'E'E'，其6个侧面的12条面对角线所

在直线中，与直线异面的共有条.

【答案】5

【解析】连接A77,因为六边形A%'c'zyE'L为正六边形，所以故

AD'//BC

所以A',D,8,C四点共面，48,。'不是异面直线

D'

同理可得：EF'与4B共面，不是异面直线

而4B//E。，又A8',。尸,3/与48相交

故12条面对角线中，与A3异面的分别为CD,D'E,FE\A尸共5条/

17.［奉贤10］长方体43co的底面是边长为I的正方形，若在侧棱AA上至少

存在一点E，使得NC|E8=90，则侧棱A4的长的最小值为.

【答案】2

【解析】设A4,=〃，AE=x,AyE=h-x,xe[0,/i]

^£2=12+^,€；石2=(及)2+(6_%)2,8储2=12+〃

乂因为/。海8=90,^BE2+QE2=BC^

即广+/+(J5)2+(力一外2=*+力2,化简得工2一"+]=o

即关于X的方程X2—浓+1=0/«0,可有解

①当R=0时，不符合题意;

=2,当且仅当工二,，即x=l时取得等号:

②当x>0时，则力=x+—22

Xx

所以侧棱4/的长的最小值为2.

18.【静安11】在空间直角坐标系。一个z中，点P（7,4,6）关于坐标平面xOy的对称点p

在第卦限；若点。的坐标为（8,-1,5）,则向量PQ与向量pp夹角的余弦值

是

【答案】五；B

9

【提示】PQ=(l,-5,-l),P户=(0,0,-12),所以cos。。,「0=-?=^—=走

\/727x129

19.【嘉定11】在空间直角坐标系中，点4L（）,（））,点5（5,-4,3）,点C（2,0,l）,则4B在

CA方向上的投影向量的坐标为.

【答案】»I

【解析】AB=（4,T,3）,C4=（—所以人〃在。方向卜的投影向量为

-/--\CA(AB'CA--7(77、

ABcostAB,CA}^r—=-------^xCA=1,0,-1)=—,0,—

\'|CA|CA2(22)

2().【宝山II】某人去公园郊游，在草地上搭建「如图所示的简易遮阳篷48C,遮阳篷是一

个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边4B朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳

光线与地面成30。角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为时，所遮阴影面A8C

面积达到最大.

【答案】60°

【答案】如图，设48中点为。，连接C。、CZ>,则ABJ.CZ),ABJ,C7)nABd.平

面CDC,

因此NC7)C就是遮阳篷A8C与地面所成的角，求遮阴影面A8C'面积最大，即是求CD最

大，

其中已知NCCZ>=30。，8=3夜，设/DCC=O,6>G(O°,15O°),

根据正弦定理=铛nC'。=6&sin夕逑......

sin30sin<9/，方....

当夕二90。时遮阴影面ABC面积最大，此时ZCDC=60°./仁一^

21.【青浦11］已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底

面圆的直径，C为下底面圆周上一点，则三棱锥尸-A6C外接球的体积为.

c.2小、1257r

22.【答案】---

48

【分廿】设外接球半径为R,底面圆心为Q,外接球球心为。，由外接球的定义，结合圆

柱的儿何性质，确定球心在线段。。上，直角三角形A。。上根据几何关系求出外接球半径，

由公式算球的体积.

【解析】由于44为下底面圆的直径，C为下底面圆周上一点，所以A48C为直角三角形,

ZC=90°,如图所示，设外接球半径为R,底面圆心为Q,外接球球心为。，

由外接球的定义，OP=OA=OB=OC=R,易得。在线段PQ上，

又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径AQ==1,

PQ1AQ,则OA2=OQ2+AQ2=相=(2-A)?+广=/?=：=匕求=g兀K=

22.【松江11］动点〜在棱长为1的正方体表面上运动，且与点A的促

离是毡，点/>的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为.

3

【答案】空1t【分析】根据题意知1＜丝＜0,分情况解决即可.

63

【解析】由题意，此问题的实质是以为A球心，拽为半径的球,

3

因为1＜垃＜&,所以在正方体A8CQ-AAG2各个面上交线的长度计算,

3

正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类:

ABCD,4A川耳夕或为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为巴;

6

ABCR,B、BCC\,0DCG为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，

由于截面圆半径为，•二无，故各段弧圆心角为任；所以这条曲线长度为

32

、兀205x/3

J---------------FJ-----------=--------71•

63236

23.【长宁11］已知A4是圆柱的一条母线，A3是圆柱下底面的直径，。是圆柱下底面圆周

上异于48的两点，若圆柱的侧面积为4兀，则三棱锥A-48C外接球体积的最小值

为.

【答案号

4

【分；】首先根据题意建立，、〃的关系式，再结合基本不等式即可求解最小值.

【解析】如图，设底面圆半径为「，圆柱高设为力，则S网=2兀此=4兀=＞力=2.

因为AA3C以及△AA8均为直角三角形，根据三棱锥A—A8C外接球的性质可知，4

43的中点。即为球心，则4*+482=力2+4，=482?同邳Ji+4产,

h2+4r2

所以外接球的半径R=*二+4A,得三棱锥A.-ABC外接球体积为-兀

23

所以要外接球体积最小，只需要〃2+4,最小即可,

因为人2+4产炒2/??2r4rh=8＞当且仅当J=2广时,即r=L力=2时等号成立,

所以三棱锥A—ABC外接球体积的最小值为g兀爵二半八

二、选择题

24.【普陀13】已知直线/、，〃和平面a、。，下列命题中的真命题是（)

(A)若〃2_L/,IHa,则〃2_La(B)若〃/a,ak/3,则/_L〃

(C)若/_L&,all0,则/_L/?(D)若/_La,加M///m

【答案】C【解析】对于A,若机J./,〃/a=m在垂直于/的某平面内，不一定机_La,

所以A错误；

对于B,若〃/a,a_L/=/在平行于。的某平面内，不一定/_L)，所以B错误：

对于C,若/_La,a〃/=/JL/7,所以C正确；对于D,关系未知，直线

的位置关系无法判定.

25.【杨浦14］对于平面。和两条直线/〃、〃,下列说法正确的是()

A.若m上a,m±n,则〃〃aB.若，"、〃与a所成的角相等，则〃?〃〃

C.若加〃a,〃〃a.则in//nD.若〃?ua,m//ntn在平面a外，则n//a

【答案】D

【解析】对A.〃//。或wua,A错误；对B,加与〃可以相交，平行或异面，B错误；

对C,，〃与〃可以相交，平行或异面，C错误；对D,由直线与平面平行的判定定

理得〃//a,故D正确.

26.［奉贤14］紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶

的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石飘壶、潘壶等.其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一

个圆台.如图给出了一个石瓢能的相关数据(单位：cm),那么该壶的容枳约接近于()

A.100cm3B.200cm。C.300cm3D.

400cm'

【答案】B

【分析】根据圆台的体积公式计算即可.

【解析】设R为圆台下底面圆半径，「为上底面圆半径，高为/?,「

则R=5,r=3,力=4,

%办=g兀/?(斤+Rr+/)=g兀x4•(25+15+9)=工2(X)(cm3),故选B.

27.【青浦14］已知加，〃是两条不同直线，夕是两个不同平面，则下列命题错误的是

().

A.若。，力不平行，则在。内不存在与夕平行的直线

B若阳，〃平行于同一平面，则加与〃可能异面

C.若〃1,n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

D.若。，力垂直于同一平面，则Q与夕可能相交

【答案】A

【分”】利用相交平面说明判断A；举例说明判断B,D；利用反证法推理说明C作答.

【解析】法一：对于A,因。，〃不平行，令aB=l,存在直线aua,。吠夕，

若。/〃，贝I」。//方，故A不正确；因为是单选题，所以选A

法二：对于B,若。///,直线〃ua,〃zua,直线”与加是相交直线，则有直线人与加

都平行于一，

把直线〃平行移出平面。外为直线〃，且不在《内，此时阳与〃是异面直线，都平行于夕，

B正确；

对于C,假定加与〃垂直于同一平面，则有相〃〃，与〃？，〃不平行矛盾，即假设是错的，

C正确；

对于D,令ac/?=c,若直线c垂直于某个平面，由面面垂直的判定知a,£垂直于这

一平面，D正确.

综上，选A

28.【黄浦14］如图，四边形A8CO是边长为1的正方形，MD_L平面ABCD,N8_L平面

ARCD,且MD=NR=1,点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（）v

N.MCLANB.平面。CM〃平面A8N\

C.直线G8与AM是异面直线D.直线GB与平面4WO无公共点/；

【答案】D

【解析】补全几何体，在正方体ABCD-ANGM中研究，J/」

（第14题图）

如图所示：对于A：A.AN^>MCJ-AN,所以A正确；

对于B：正方体A38-ANCM中，平面〃平面A8N,所以B正确；v

对于C：正方体—中，直线GB与AM是异面直线，冷

所以C正确；对于D.GBIADDlMM=Mi,所以D错误；综上所述：选D.

29.【浦东15】已知直线/与平面。相交，则下列命题中，正确的个数为（）区》

①平面。内的所有直线均与直线/异面；②平面。内存在与直线/垂直的直线4

③平面a内不存在直线与直线/平行；④平面。内所有直线均与宜线/相交.

A.lB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】对于①，错误，反例：平面。内存在直线与直线/相交；

对于④，错误，反例：平面。内存在直线与直线/异面；而②，③正确：所以选B.

30.【金山15】已知正四面体A8CO的楂长为6,设集合C={P||AP|W2J7,点夕£平面

8C。},则Q表示的区域的面积为（）A.兀B.3nC.4冗

D.6兀

【答案】C

【分-h】过点A作AO_L平面BCD于点、O,利用正四面体的特点求出BO,AO的

A

长，从而得到OPW2,即得到其表示圆及其内部，则得到其表示的区域面枳.

【解析】过点A作AOJL平面于点。，

则8。=2.8。与屋二<6乂且=26

3332

=AO=4AB2-BO2=在_（26=2>/6

因为旧，所以0尸=JAP2—AO2行j一（2厨=2，

则。表示的区域为以。为圆心，2为半径的圆及其内部，面积为4〃，故选C.

31.【徐汇15］已知平面？、夕、/两两垂直，直线。、氏c满足：aua,bu。，cuy,

则直线a、力、c位置关系不可能是（）A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两

异面

【答案】B

【分十】作出平面以及平面的直线的所有情况即可求解.

【解析】如图1,可得“，b,c可能两两垂直；

如图2,可得。，b,能两两相交；

如图3,可得〃，b,。可能两两异面.

对于B,如图，假设〃///?//<?,ct\y=m,可得〃〃/力，

平面a,1,y两两垂直，

bu/3,:.mLb,这与加/〃相矛盾,

「•假设不成立，故B不正确；故选B.

32.【静安16】“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面

结了先秦时期数学成就，是我国占代内容极为丰富的数学巨著，对后任薪学研究产生了广泛

而深远的影响.书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积儿何？”其意思

为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，

高为8尺，问它的体积是多少？''若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为

（）平方尺.

A.1427B.1404

—阳马

C.138〃D.128万

【答案】C

【分】将四棱锥的外接球转化为长方体的外接球，然后求外接球

D

C

表面积即可.

AB

【解析】如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同,

所以外接球的半径为R=分行+8、二，四

22

外接球的表面积8=4万/?2=1384.故选©.

三、解答题

33.【嘉定17］（本题满分14分）本题共有2个小题，第I小题6分，第2小题8分

如图，己知正四棱柱ABCO-ASGA，底面正方形A8CO的边长为2,M=3.

（1）求证：平面A4,GC_L平面A3。；

（2）求点A到平面A8。的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）空2.

11

4A1平面48C£>=>/

【解析】（1）正四棱柱4?。。一44储。=.----3分

ACLBD

=>8OJ.平面A4CG,又8。口平面\BD=>平面AA.CC,J■平面A.BD；

3分

（2）设点A到平面A8。的距离为

S^BD=2,又AA_L平而A3£>=^Af-ABD=2,......3分

由^Af-ABD=匕-4和=d==3^^为所求.-------2分

V2211

34.【崇明17］（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分

如图,长方体A3CQ—A4GA中，43=30=及，4。与底面488所成的角为45。.

（1）求四棱锥A-44CD的体积；

（2）求异面直线48与所成角的大小.

【答案】（1）—：（2）arccos-

36

【解析】（1）因为AA，平面AB。。，

所以乙41CA是AC与底面488所成的角为45。

AB=BC=6/.AC=2=>A1A=2^.................................4分

114

所以％T88=§S/z=522=5；....................................7分

(2)联结8。，BD//B\D\.•.430是AR与8a所成的角.....3分

在根田。中，4^=4。=#,BD=2,

212

CRHL/Aa八\B-vBD—/A,D>/6八

所以cosZA8O=^--------------------——=——，............................................6分

2\BBD6

所以异面直线4出与BR所成角的大小为arccos—.................................7分

6

35.【松江17］（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7

分

已知AB_L平面BCD，BC1CD力、

（I）求证：平面ACO_L平面ABC；VK

（2）若48=1，CD=BC=2,求直线A。与平面ABC所成角的正弦值大小.\

【答案】⑴证明见解析；⑵*

【分析】（I）先证明C£>_L平面ABC，再根据面面垂直的判定定理证明面面垂直.^\\

（2）证明/C4。即为直线4短与平面A8C所成的角，然后解三角形即可求得该c

角大小.

【解析】(1)法一：•・•AB工平面BCD,CDu平面BCDAAB1CD..............2分

iS-：VABIEBCD,BCtCD,由三垂线定理，得AC_LC。,..............2分

又•・・8C_LC£),且A3cBe=8,A3,8Cu平面ABCJCD_L平面ABC,...2分

TCDu