第4章计算机控制系统的数学描述及脉冲传递函数

复习

k1.Z变换的定义Y(z)Z[y(t)]

y(kT)zk02.滞后定理：Z[y(kTnT)]znY(z)nnn1j3.超前定理Z[y(kTnT)]zY(z)z

j0y(jT)z第四章计算机控制系统的数学描述及Z传递函数●差分方程●Z传递函数●离散系统的框图变换x(kT)y(kT)一.离散系统离散系统1.含义y(kT)=T[x(kT)]T[.]:映射；传递函数；算法例如：y(kT)=-y(kT-T)+x(kT)-x(kT-T)2.种类线性定常离散系统y(k)T[x(k)]x(k)

ax

1(k)

bx

2(

k)aT[x1(k)]bT[x2(k)]

y(kn)T[x(kn)]n0,1,2,二.差分方程1.差分定义（1）向前差分一阶向前差分：f(k)f(k1)f(k)二阶向前差分：2f(k)f(k1)f(k)[f(k2)f(k1)][f(k1)f(k)]f(k2)2f(k1)f(k)（2）向后差分一阶向后差分：f(k)f(k)f(k1)二阶向后差分：

2f(k)f(k)f(k1)[f(k)f(k1)][f(k1)f(k2)]f(k)2f(k1)f(k2)2.离散系统差分方程形式y(k)a1y(k1)any(kn)b0x(k)b1x(k1)bmx(km)mny(k)

bix(ki)

aiy(ki)i0i1注意：n阶；n-m=d,输出相对于输入有d拍延迟。后向差分与前向差分。物理意义：采样系统某时刻的输出值，由当前与过去时刻的输入值及过去时刻的输出值共同决定。3.由微分导出差分dy(t)y(t)(1)一阶差分：y(t)

y(kT)y(kTT)

dttT例：一阶微分方程：Ty(t)y(t)ax(t)0对应的一阶差分方程：T0[y(kT)y(kTT)]y(kT)ax(kT)TaTTy(kT)x(kT)0y(kTT)T0TT0T注意:T为采样周期。1离散系统的数学定义在离散时间系统理论中，所涉及的数字信号总是以序列的形式出现。因此，可以把离散系统抽象为如下数学定义：将输入序列xkk()kk,0,1,2,,变换为输出序列ck()的一种变换关系，称为离散系统。记作ykTxk()[()]其中，x()k和yk()可以理解为tkT时，系统的输入序列x()kT和输出序列ykT()，T为采样周期。如果定义中的变换关系是线性的，则称为线性的离散系统；如果变换关系是非线性的，则称为非线性离散系统。（1）线性离散系统如果离散系统满足叠加原理，则称为线性的离散系统，即有如下关系式成立：若ykTxk11()[()]，ykTxk22()[()]，且有x()()()kaxkbxk12，其中a和b为任意常数，则ckFrkTaxkbxk()[()][()()]12aTxkbTxk[()][()]12aykbyk12()()（2）线性定常离散系统输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统，称为线性定常离散系统。例如，当输入序列为x()k时，输出序列为yk()；如果输入序列变为xkn()，相应的输出序列为ykn()，其中n0,1,2,,则这样的系统称为线性定常离散系统。（差分方程的系数均为常数）本课程所研究的离散系统为线性定常离散系统，可以用线性定常（常系数）差分方程描述。2线性常系数差分方程的一般形式连续系统的动态过程，通常用微分方程来描述；离散系统的动态过程，则用差分方程来描述。计算机控制系统经过工程简化后，往往可以足够近似地用线性常系数差分方程来描述。设连续函数yt()，采样后为yt*()，采样时刻的幅值为ykT()。在差分方程描述中，为简便起见，将任意数值的采样周期T均看作为一个单位，则ykT()可省写为yk()。设x()(0,1,2,)kk是输入数值序列；yk()是输出数值序列。一般来说，输出yk()不仅取决于当时的输入yk()，还取决于过去的输入x(),(),kxk12以及过去的输出ykyk(),(),12。当取后向差分时，常系数线性差分方程的一般形式是ykaykaykn()(1)()1

nbxkbxkbxkm01()(1)()m对于物理可实现系统有nm，n为差分方程的阶次。

1.差分方程概念

含有未知序列y(n)及其位移序列y(n-1),y(n-2),……,y(n-N)的关系式称为差分方程。（向后差分）

含有未知序列y(n)及其位移序列y(n+1),y(n+2),……,y(n+N)的关系式称为差分方程。（向前差分）

2.差分方程的阶

差分方程中未知序列变量的最高与最低值之差，称为差分方程的阶。例如：y(n)-ay(n-1)+by(n-2)=x(n),因此此方程的阶为二阶。

如果差分方程中未知序列的各项系数为一次，则称为线性差分方程。

如果差分方程中未知序列的各项系数均为常数，则称为常系数线性差分方程。微分方程与差分方程

dy(t)/dt+Ay(t)=x(t)y(n+1)+ay(n)=x(n)

y(t)未知连续响应dy(t)/dt未知响应导数x()(t)已知连续激励y(n)未知离散响应y(n+1)未知离散响应位移x(()n)已知离散激励

微分方程可以近似为y(n+1)+(aT-1)y(n)=Tdy(t)/dt=(y(nT+T)-y(nT))/Tx(n)3差分方程的解法本节介绍两种工程上常用的方法：一：迭代法二：Z变换法（一）迭代法迭代法解差分方程，即根据已知的差分方程、输入信号及初始条件，利用递推关系逐步求出后面的未知项。例4-7已知系统的差分方程为ykykxk()()()1kk000k输入信号是xk()初始条件为y()02，试求输出yk()。解：将差分方程写成递推形式ykxkyk()()()1令k1，则yxy()()()110121令k2，则yxy()()()221213令k34,,就就求可求出出k为任何整数时的输出y()k。从本例可以看出，采用迭代法求解差分方程的方法十分简单，便于用计算机实现。迭代法的缺点是难于写出输出y()k的通式。（二）Z变换法与采用拉氏变换求解线性常系数微分方程类似，利用Z变换可将线性常系数差分方程变换成以z为变量的代数方程（利用Z变换的定理），这就可以简化差分方程的求解。1）对差分方程求Z变换，得到输出的Z变换；2）求输出信号的Z反变换得到差分方程的解。4、用Z变换法解线性常系数差分方程第一步：对差分方程做Z变换n1nnjZ(())()()yknzYzzyj

jn01njz[()()]YjYzzy

jj0第二步：利用已知的初始条件或求出初始条件，代入第三步：求出Y（z）第四步：采用求逆Z变换的方法求出y(k)例用Z变换法解二阶差分方程ykykyk()()()23120初始状态为yy(),()0011。解：1）对上述差分方程两端作Z变换，得z22YYYYY()()()()zzY013zYzYz3020zYYz()()整理后有()()()()()zzYzzzYzY2232301代入初始状态yy(),()0011后，得2z()()()zzYzzYz32

2zz32令()zzz2320则上式是差分方程的特征方程，其根为特征根。2）将Yz()分解成部分分式之和zYzAA()1211

zzzzz1212zzYz()zz12查Z反变换表得ykk()(1)(2),0,1,2,kk

用Z变换法解差分方程的优点是很明显的，它可将差分方程简化为代数方程求解，既能考虑初始条件，又能写出y()k的通式。求解差分方程，可以提供线性定常离散系统在给定输入序列作用下的输出序列响应特性，但不便于研究系统参数变化对离散系统性能的影响。因此，需要研究线性定常离散系统的另一种数学模型――脉冲传递函数。4Z(脉冲)传递函数在连续系统中，常用传递函数研究系统的性能;对采样系统或离散系统，同样也可以通过脉冲传递函数来研究它们的性能。1脉冲传递函数的定义2差分方程与脉冲传递函数3开环脉冲传递函数4闭环系统的脉冲传递函数5有干扰作用时闭环系统的输出1脉冲传递函数的定义定义：线性定常离散控制系统，在零初始条件下，输出序列的Z变换与输入序列的Z变换之比，称为该系统的脉冲传递函数。即GzykTzxkTz()()()

：在零初始条件的采样值xTxT(),(2),及输出脉冲序列的采样值yTyT(),(2),均为零。Yz()Xz()

kkkk00t0时，输入脉冲序列与连续系统一样，Gz()只取决于系统本身的结构参数，与输入信号无关。若已知离散系统的脉冲传递函数Gz()，则在零初始条件下，线性定常离散系统的输出信号为ytZYzZGzXz*11()[()][()()]

如果是采样系统，xt()经采样后为xt*()，其Z变换为Xz()，但输出为连续信号yt()。为了用脉冲传递函数表示，可在输出端虚设一个与输入开关同步动作的采样开关，这样便得到了yt*()及Yz()，从而使采样系统变成了离散系统，它的脉冲传递函数同前。2差分方程与脉冲传递函数采样系统或离散系统既可用差分方程描述，又可用Z传递函数描述，因此两者之间可互相转换。已知差分方程为y()(1)(2)()kaykaykaykn12

nbxkbxkbxkm01()(1)()m设初始条件为零，上式可写成和式形式，y()()()kaykibxkj

ijnmij10两端做Z变换，得nmijYzazYzbzXz()()()

ijij10由此可得系统的脉冲传递函数为Yz()mnjiGzbzaz()1

ji

Xz()ji01反之，若已知系统的脉冲传递函数，则可通过Z反变换求得相应的差分方程。（只有零初始条件下，才可将差分方程转换为脉冲传递函数）3开环脉冲传递函数计算机控制系统中，既有被控对象那样的连续环节，又有计算机那样的离散环节，而且采样开关的位置又因系统而异，因此，开环脉冲传递函数的求法比连续系统要复杂。以下研究各种结构形式的开环脉冲传递函数的求法。（一）串联环节的脉冲传递函数常遇到的环节串联结构有下面两种形式。a）连续环节之间有采样开关Gz()Gz1()Gz2()*Tct()rt()（a）环节串联时的开环传递函数(按定义：CzGzRzCzGzCz1121()()(),()()()将Cz1()代入Cz()：CzGzGzRz()()()()21故有GzCzRzGzGz()()()()()12rt*()ct()ct*()Cz()Gs1()11Gs2()TRz()TCz1()ct()有采样开关)结论:有理想采样开关的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节各自的脉冲传递函数之积。类似地，如果n个环节串联，且它们之间均有采样开关隔开，则可得GzGzGzGzGz()()()()()12

ni

式中GzZGsii()[()]。ni1b）连续环节之间无采样开关rt()GzGGz()()12Tct*()Cz()rt*()ct1()Gs1()Gs2()TRz()ct()（b）环节串联时的开环传递函数(无采样开关)图中两个串联连续环节间无理想采样开关隔开，输入与输出两个采样开关之间的传递函数为GsGsGs()()()12。按定义，输出采样信号CzGzRz()()()，而GzZGsZGsGsGGz()[()][()()]()1212结论：若两个连续环节之间无采样开关时，它们的等效脉冲传递函数等于两个连续环节乘积的Z变换。类似地，也可扩充到n个无采样开关串联连接的情况，即GzZGsGsGsGGGz()[()()()]()1212

nn注意：两个连续环节串联之后的Z变换并不等于每个环节Z变换之积，即GzGzGGz1212()()()11例如，如果GsGs12(),()对第1种情况，有ss111z2GzGzGzZZ()()()[][]12Tsszze1(1)()对第2种情况，有1(1)ezTGzZGsGsZ()[()()][]12Ts(1)(1)()szze显然，两者结果不同。但它们的极点是相同的，仅零点不同。（二）并联环节的脉冲传递函数图中给出了并联连接的结构图。依叠加原理，可以很容易求得脉冲传递函数均为GzGzGzZGsZGs()()()[()][()]1212Cz()Rz()GzGzGz()()()12

Gs1()Rs()Rz()Cz()TTGs2()环节并联时的开环传递函数（三）有零阶保持器时的开环脉冲传递函数rt()Gz()sTCz()rt*()1eTGs0()sCs()1()()eGseGssTsT

00

GzZGsZZ()[()]0

sss根据实数位移（延迟）定理，上式又可简化为GsGsGs000()()()11sssGzZzZzZ()(1)4闭环系统的脉冲传递函数求取闭环系统的脉冲传递函数时，应注意两点：（一）独立环节的概念在采样系统或计算机控制系统里，两个相邻采样开关之间的环节（不管其中有几个连续环节串并联）只称为一个独立环节。（二）若闭环系统的输入信号未被采样（若误差信号被采样，则认为输入输出信号都有采样信号，即etxtyt***()()()），则整个闭环系统的脉冲传递函数将写不出来，这与连续系统是不同的。由于采样器在闭环系统中有多种配置方案，因此闭环系统没有唯一的结构图形式。下面给出一种误差采样闭环离散系统结构图。*ct()rt()et()et*()TCz()Gs()＋TE()zCs()－H()s闭环离散系统结构图（I）系统I可以等效为下图。图中，虚线所示的采样开关是为了方便而虚设的，输入信号rt*()和反馈信号bt*()并不存在。*()z*rt()ct()rt()Rz()et*()TCz()Gs()T＋E()zCs()Bz()－bt*()TH()s闭环离散系统结构图（II）误差信号E()()()zXzBz（1）而反馈信号B()[()()]()()()zZGsHsEzGHzEz将B()z代入式（1），得E()()()()zXzGHzEzXz()所以E()z1GHz()Gz()输出YzGzEzXz()()()()1GHz()因此，闭环离散系统对输入量的脉冲传递函数为YzGz()()XzGHz()()1()z

Gz()系统输出：YzGzEzXz()()()()1GHz()从系统输出的Z变换算式可看到：1.它的分子是前向通道XsYz()()所有独立环节Z变换的乘积；2.分母是1与闭环回路所有独立环节Z变换的乘积之和，这与连续系统的计算方法一致。3.采样系统以独立环节为计算传递函数的最小单位。闭环系统的输出Z变换可按以下公式直接写出：Y(z)=（前向通道所有独立环节Z变换的乘积）/(1+闭合回路中所有独立环节Z变换的乘积)几点注意：1．输入Xs()也作为一个连续环节看待。2．若Xz()存在，则根据上式可写出闭环系统的脉冲传递函数；否则，则写不出来。R()s＋Cs()GzRz()()Gs()Cz()TT1GzHz(())－H()sGz()()z1GzHz()()Rs()＋Cs()RGz()Gs()Cz()T1HGz()－TH()s(z)不存在常用采样系统结构图及输出表达式设闭环系统输出信号的Z变换为Y(z)，输入信号的Z变换为R(z)，误差信号的Z变换为E(z)，则定义闭环Z传递函数Gc(z)Y(z)R(z)G(z)E(z)R(z)闭环偏差Z传递函数e（1）简单闭环Z传递函数y(kT)Y(z)+*r(t)e(t)e(t)G(s)y(t)R(s)-E(z)Y(s)H(s)E(z)R(z)GH(z)E(z)Y(z)G(z)E(z)G(z)R(z)1GH(z)R(z)1GH(z)E(z)1GH(z)E(z)1Ge(z)G(z)Y(z)G(z)R(z)1GH(z)cR(z)1GH(z)（2）复杂闭环Z传递函数（与采样开关的配置有关）a.G2(s)与H(s)之间没有采样开关y(kT)r(t)+e(t)e

(t)E(z)u

(t)Y(z)G1(s)U(z)G2(z)y(t)Y(s)R(s)-H(s)E(z)R(z)E(z)G1(z)G2H(z)E(z)R(z)G(z)G1(z)G2(z)Y(z)E(z)G1(z)G2(z)1G(z)GH(z)12E(z)1Ge(z)G(z)Y(z)G1(z)G2(z)R(z)1G1(z)G2H(z)cR(z)1G1(z)G2H(z)b.G2(s)与H(s)之间有采样开关R(s)+E(z)Y(z)Y(s)G1(s)G2(s)-H(s)Y(z)E(z)G1(z)G2(z)E(z)1Ge(z)R(z)1G1(z)G2(z)H(z)E(z)R(z)E(z)G1(z)G2(z)H(z)R(z)1G1(z)G2(z)H(z)G(z)Y(z)G1(z)G2(z)R(z)1G(z)G(z)H(z)E(z)1G1(z)G2(z)H(z)c12c.G1(s)与E1(s)、G2(s)与H(s)之间没有采样开关隔开Rs()+E1(s)E2(s)E2(z)G1(s)G2(s)Y(z)-H(s)Y(z)E2(z)G2(z)E2(z)Z[R(s)G1(s)]E2(z)Z[G2(s)H(s)G1(s)]!闭环传递函数求不出来,因RG1(z)中分离不出RG1(z)E2(z)G1G