上海市青浦高级中学2024-2025学年高一下学期3月质量检测数学试卷（原卷版+解析版）

上海市青浦高级中学2024学年第二学期3月质量检测高一数学试卷考试时间：90分钟满分：100分一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）1.函数的最小正周期是___________．2.已知扇形的圆心角是2，半径为2，则扇形的面积为__________.3.已知锐角满足，则__________.4.化简：__________.5.在△ABC中，若，，，则__________.（用角度表示，精确到小数点后1位）6.已知，且，则______.7.不等式的解集是__________.8.已知，则__________.9.将点绕着原点顺时针旋转45°得到，则的坐标是__________.10.函数最大值为__________.11.已知，则__________.12.计算：__________.（填近似值不得分）二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13.是第四象限角，,，则（）A. B. C. D.14.在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D.无法判断15.某参考书中有这样一道题：“△ABC中，与是方程的两积，对”.对于这道题目，评价最恰当的是（）A.这道题将三角与一元二次方程相结合，考察了韦达定理的应用，是一道好题B.这道题先求出值，再利用诱导公式求得的值，是一道好题C.通过计算，可得D.这道题数据有误，是一道错题16.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.与的定义域都是B.为奇函数，为偶函数C.的值域为，的值域为D.与都不是周期函数三、解答题（本大题共有6题，满分62分）17.（1）已知，，求的值；（2）证明：.18.已知函数.（1）求函数最大值及x的取值；（2）求函数的单调增区间.19.已知均为锐角，且.（1）求的值：（2）求的值.20.某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，．（1）求的值；（2）测得，观光通道每米造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？21.已知.（1）用a表示的值；（2）用a表示的值；（3）用反证法证明：是无理数.

上海市青浦高级中学2024学年第二学期3月质量检测高一数学试卷考试时间：90分钟满分：100分一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）1.函数的最小正周期是___________．【答案】【解析】【详解】的最小正周期是，故答案为：2.已知扇形的圆心角是2，半径为2，则扇形的面积为__________.【答案】4【解析】【分析】利用扇形面积公式求解即可.【详解】由题意可知，扇形的圆心角是，半径，则弧长，所以.故答案为：43.已知锐角满足，则__________.【答案】【解析】【分析】应用和角正切公式求值即可.【详解】由.故答案为：4.化简：__________.【答案】【解析】【分析】应用诱导公式化简即可.【详解】.故答案为：5.在△ABC中，若，，，则__________.（用角度表示，精确到小数点后1位）【答案】【解析】【分析】应用正弦定理解三角形即可得.【详解】由正弦定理有，则.故答案为：6.已知，且，则______.【答案】【解析】【分析】由题意，求出，进而根据角的范围判断出的符号，最后得到答案.【详解】由题意，，因为，所以，则，所以.故答案为：.7.不等式的解集是__________.【答案】【解析】【分析】由已知有，结合余弦函数的性质解不等式求解集.【详解】由，即，可得，所以解集为.故答案为：8.已知，则__________.【答案】##0.4【解析】【分析】根据给定条件，利用齐次式法计算得解.详解】由，得.故答案为：9.将点绕着原点顺时针旋转45°得到，则的坐标是__________.【答案】【解析】【分析】令，则，结合已知及和角正余弦公式求的坐标.详解】令，则，所以，由，，所以.故答案为：.10.函数的最大值为__________.【答案】2【解析】【分析】根据二次函数、余弦函数的性质求函数的最大值.【详解】令，则，显然，，而时，，所以时，函数最大值为2.故答案为：211.已知，则__________.【答案】1【解析】【分析】根据正弦函数的性质有，结合已知有且，再应用诱导公式求目标函数值.【详解】由，而，所以，故且，所以，所以.故答案为：112.计算：__________.（填近似值不得分）【答案】【解析】【分析】令，则，应用三角恒等变换可得，即可求函数值.【详解】令，则，故，由，而，所以，可得，故（负值舍），所以.故答案为：二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13.是第四象限角，,，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系，得到，求解，再根据题意，即可得出结果.【详解】因为，由同角三角函数基本关系可得：，解得：，又是第四象限角，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查已知正切求正弦，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.14.在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.无法判断【答案】A【解析】【分析】应用正弦边角关系及差角正弦公式可得，即可得.【详解】由题设及正弦边角关系有，即，由，故，即三角形为等腰三角形.故选：A15.某参考书中有这样一道题：“△ABC中，与是方程的两积，对”.对于这道题目，评价最恰当的是（）A.这道题将三角与一元二次方程相结合，考察了韦达定理的应用，是一道好题B.这道题先求出的值，再利用诱导公式求得的值，是一道好题C.通过计算，可得D.这道题数据有误，是一道错题【答案】D【解析】【分析】由题设有，，则一个钝角一个为锐角，结合和角正切公式求，即可得.【详解】由题设，则，，则一个为钝角一个为锐角，又，则，所以是一个钝角，而在三角形中不可能存在两个钝角，所以该题数据有误，为错题.故选：D16.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.与的定义域都是B.为奇函数，为偶函数C.的值域为，的值域为D.与都不是周期函数【答案】C【解析】【分析】根据复合函数的性质结合三角函数的性质分别进行判断即可．【详解】．与的定义域都是，故错误，．，则是偶函数，故错误，．，，的值域为，，的值域，，故正确，．则是周期函数，故错误，故选．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，结合复合函数性质之间的关系，利用三角函数的单调性，奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键．三、解答题（本大题共有6题，满分62分）17.（1）已知，，求的值；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知及平方关系有且，结合二倍角余弦公式列方程求；（2）应用二倍角正余弦公式化简，即可证.【详解】（1）由，，则且，由（负值舍）.（2），得证.18.已知函数.（1）求函数的最大值及x的取值；（2）求函数的单调增区间.【答案】（1）时，；（2）单调增区间为.【解析】【分析】（1）应用二倍角正余弦公式化简函数式，结合正弦函数的性质求最大值，并确定对应自变量取值；（2）由正弦函数的性质及整体法求单调增区间.【小问1详解】由，当，即时，.【小问2详解】令，则，所以函数单调递增区间为.19.已知均为锐角，且.（1）求的值：（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1），然后根据两角差的余弦公式展开，结合题目条件，分别算出每个量即可；（2）结合（1）的结果，求出，然后利用正切的两角差，二倍角公式计算.【小问1详解】因为为锐角.且，所以，因为，且，所以所以【小问2详解】，是锐角，则，于是，所以所以.20.某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，．（1）求的值；（2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？【答案】（1）（2）预算资金够用【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理，由求解；（2）在中，利用余弦定理求得CD，在中，由，，求得AC，然后在中，利用余弦定理求得AB即可.【小问1详解】解：由，得，则，在中，由正弦定理得，即，所以．【小问2详解】在中，由余弦定理得，整理得，解得（舍去）．在中，，所以，又，解得．在中，，所以．由于观光通道每米的造价为2000元，所以总造价低于元，故预算资金够用．21.已知.（1）用a表示的值；（2）用a表示的值；（3）用反证法证明：是无理数.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.