人教版七年级数学下册第3课时调配问题与行程问题教学设计

第3课时调配问题与行程问题教学目标课题第3课时调配问题与行程问题授课人素养目标1.会用列表的方式分析问题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组．2．进一步经历用二元一次方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．3．培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值.教学重点用列表的方式分析题目中各个量的关系．教学难点借助列表的方式分析问题中所蕴含的数量关系.教学活动教学步骤师生活动活动一：旧知回顾，新课导入【设计意图】以经济问题为例，列出二元一次方程，进而引入新课.【回顾导入】填一填：(1)某工厂去年的总产值是x万元，今年的总产值比去年增加了20%，则今年的总产值是(1＋20%)x万元；(2)若该厂去年的总支出是y万元，今年的总支出比去年减少了10%，则今年的总支出是(1－10%)y万元；(3)若该厂今年的利润比去年增加了50%，则结合(1)(2)可列方程为(1＋20%)x－(1－10%)y＝(1＋50%)(x－y)．在上册我们已经学习了用一元一次方程解决销售问题，本节课我们将探究学习如何用二元一次方程组解决实际销售问题．【教学建议】教师引导学生回顾销售利润相关公式，将填空补充完整，引入本节课对销售问题的探究．活动二：问题引入，自主探究【设计意图】以教材探究题为例，引入销售问题，运用间接设元法解决实际问题．探究点调配问题例1(教材P103探究3)如图，丝路纺织厂与A，B两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地．已知长绒棉的进价为3.08万元/t，纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为0.5元/(t·km)，铁路运价为0.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费5200元，铁路运费16640元．那么这批纺织面料的销售额比原料费(原料费只计长绒棉的价格)与运输费的和多多少元？我们通过问题串的形式一起来探究下：问题1本题最终要解决的问题是什么？纺织面料的销售额－(原料费＋运输费)＝？，即求这批纺织面料的净利润．问题2销售额、原料费、运输费各是多少？它们与哪些量有关？是什么关系？销售额和原料费无法直接求出，运输费为(5200＋16640)元．①销售额＝产品数量×产品单价，②原料费＝原料数量×原料单价，③运输费＝运价×货物质量×路程．上述相等关系中，产品数量和原料数量为未知量．问题3我们设购买xt长绒棉，制成yt纺织面料．请根据题中数量关系填写下表：问题4根据上表中运费之间的关系，列出方程组，求出未知数的值.根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5（10x＋20y）＝5200，,0.2（120x＋110y）＝16640.))整理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝1040，,12x＋11y＝8320.))解这个方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝400，,y＝320.))问题5求这个实际问题的最终答案.42500×320－30800×400－5200－16640＝1258160(元).因此，这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多1258160元.【对应训练】1.教材P104练习第1，2题.2.如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的路程是到A地路程的2倍．该食品厂从A地收购一批食材运回食品厂，全部加工成食品(制作过程中有损耗)运到B地销售，两次运输(第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地)共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/(t·km)，铁路运费为1元/(t·km).(1)这家食品厂到A，B两地的路程分别是多少千米？(2)若这家食品厂此次收购的食材每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，则这批食品每吨的售价应为多少元？(利润＝总售价－总成本－总运费)解：(1)设这家食品厂到A地的路程是xkm，到B地的路程是ykm.根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝20＋100＋30，,y＝2x.))解这个方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝100.))答：这家食品厂到A地的路程是50km，到B地的路程是100km.(2)食品厂到A地的铁路路程为50－20＝30(km)，食品厂到B地的铁路路程为100－30＝70(km).设这家食品厂此次收购食材mt，销售食品nt．根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1.5×（20m＋30n）＝15600，,1×（30m＋70n）＝20600.))解这个方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝220，,n＝200.))这批食品每吨的售价应为(863800＋15600＋20600＋220×5000)÷200＝10000(元)．答：要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，则这批食品每吨的售价应为10000元.【教学建议】教师带领学生共同完成问题1～3，分析出题中各个量之间的相等关系并用含未知数的式子表示出关键量，之后由学生独立完成问题4和5.注意强调：当直接将所求的结果当作未知数无法列出方程时，可把关键量设为间接未知数列方程组求解，再求得问题的答案．对于数量关系比较复杂的应用题，可采用列表法进行分析，进而列出方程．活动三：知识延伸，举一反三【设计意图】以实际问题为例，引入行程问题.例2小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.小华家离学校多远？问题1请分析小华从家到学校和从学校到家的路况．如图，小华家到学校的路程分为两段：平路与坡路．小华从家到学校的路况是先走平路再走下坡路；小华从学校到家的路况是先走上坡路再走平路．问题2为什么题干中从家到学校和从学校到家所花费的时间不一样？因为去学校时的坡路是下坡，回家时的坡路是上坡，坡路的路程固定，但下坡和上坡的速度不一样，所以花费的时间也不一样，故往返花费的时间不一样.问题3该问题应如何设元？设小华家到学校平路长xm，坡路长ym.问题4请找出题中的相等关系，并用含x，y的等式表示出来.①往：走平路的时间＋走下坡的时间＝10min，即eq\f(x,60)＋eq\f(y,80)＝10；②返：走上坡的时间＋走平路的时间＝15min，即eq\f(y,40)＋eq\f(x,60)＝15.问题5请写出完整的解答过程.解：设小华家到学校平路长xm，坡路长ym．根据相等关系，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,60)＋\f(y,80)＝10，,\f(y,40)＋\f(x,60)＝15.))解这个方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝300，,y＝400.))小华家到学校的路程为300＋400＝700(m).答：小华家离学校700m远.【对应训练】教材P104练习第3题.【教学建议】学生独立思考作答，教师统一答案．本题的重点在于分析出往程的下坡在返程会变成上坡，结合对应的速度即可表示出相应路段所花费的时间，进而由相等关系构建出方程组．虽然往返时，上下坡会发生转换，但对应路段的路程始终是不变的．活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子(或“随堂作业”册子)相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：在用二元一次方程组解决实际问题时，你会怎样设定未知数？可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系？【作业布置】1.教材P105习题8.3第2，7，8题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计调配问题与行程问题教学反思本节课，教师由浅入深层层设问，将复杂问题分解为几个简单问题．学生通过独立思考和合作学习，在和谐的氛围中学习并掌握了销售问题与行程问题的解决方法，进一步总结出列方程组解应用题的步骤和方法.解题大招销售问题与行程问题1．销售问题：理解公式、选好公式是关键．如：(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)利润率＝eq\f(售价－进价,进价)×100%；(3)利润＝成本(进价)×利润率；(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率．注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损．打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售，例如：打八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十销售．例如，像下面这道题，我们可以结合上面的基本关系式，进行分析列表，然后列相应的二元一次方程组．例1某商场购进甲、乙两种商品后，加价40%作为销售价．一段时间后，商场搞优惠促销活动，决定将甲、乙两种商品分别以七折和九折销售．某顾客购买甲、乙两种商品各一件，共付款399元，这两件商品原销售价之和为490元．这两种商品每件的进价分别为多少元？分析：列表分析如下：类型进价标价售价甲x(1＋40%)x70%×(1＋40%)x乙y(1＋40%)y90%×(1＋40%)y合计490399解法一：设甲、乙两种商品每件的进价分别为x元、y元．根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1＋40%）x＋（1＋40%）y＝490，,70%×（1＋40%）x＋90%×（1＋40%）y＝399.))解这个方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝150，,y＝200.))答：甲、乙两种商品每件的进价分别为150元、200元．解法二：设甲、乙两种商品每件的原销售价分别为x元、y元．根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝490，,70%x＋90%y＝399，))解这个方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝210，,y＝280.))所以甲种商品的进价为210÷(1＋40%)＝150(元)，乙种商品的进价为280÷(1＋40%)＝200(元)．答：甲、乙两种商品每件的进价分别为150元、200元．2．行程问题：基本数量关系：路程＝速度×时间，另外还有几个常见类型的相等关系．如：行程问题eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(相遇：路程和＝甲路程＋乙路程,追及：快者走的路程＝慢者走的路程＋两者间的距离,流水行船\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(顺水速度＝静水速度＋水流速度,逆水速度＝静水速度－水流速度,水流速度＝\f(1,2)（顺水速度－逆水速度）)),火车过桥\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(开始上桥到完全过桥：车速×过桥时间＝桥长＋车长,完全在桥上：车速×过桥时间＝桥长－车长))))注意：(1)用未知数表示出路程后，建立相等关系可以看作线段加减；(2)单位要统一；(3)相遇、追及问题题干中若遇到“两人相距多少千米”，要多思考一下是否分相遇前和相遇后两种情况；(4)飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似．下面这个例子是“相遇＋追及”的典型问题．例2甲、乙两地相距160km，一辆汽车和一辆摩托车同时由甲、乙两地相向而行，eq\f(4,3)h后相遇，相遇后，摩托车继续前进，汽车在相遇处停留1h后调转车头原速返回，行驶eq\f(1,2)h后追上摩托车．此时，汽车、摩托车分别行驶了多少千米？(汽车和摩托车的速度均保持不变)分析：相遇及追及问题中常用的相等关系：基本关系：路程＝速度×时间．相向相遇问题：两者的路程和等于初始时两者间的距离．同向追及问题：两者的路程差等于初始时两者间的距离．画线段示意图寻找相等关系：

相等关系相向而行汽车eq\f(4,3)h的行驶路程＋摩托车eq\f(4,3)h行驶的路程＝160km同向而行汽车eq\f(1,2)h行驶的路程＝摩托车(1＋eq\f(1,2))h行驶的路程解：设汽车行驶的速度为xkm/h，摩托车行驶的速度为ykm/h.根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)x＋\f(4,3)y＝160，,\f(1,2)x＝（1＋\f(1,2)）y.))解这个方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝90，,y＝30.))90×(eq\f(4,3)＋eq\f(1,2))＝165(km)，30×(eq\f(4,3)＋1＋eq\f(1,2))＝85(km)．答：汽车行驶了165km，摩托车行驶了85km.培优点会车问题与打折销售问题例1客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长450m，货车长600m．如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需21s；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需1min45s，求两车的速度．解：设客车