云南省保山市腾冲市第八中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

腾冲市第八中学2024—2025学年下学期高二第一次月考数学试题（考试时间：120分钟：满分：150分）注意事项：1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡相应位置，在试题卷､草稿纸上作答无效．选择题作答必须用2B铅笔填涂．2．考试结束后，请将答题卡交给监考教师．一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知由样本数据组成一个样本，可得到回归直线方程为，且，则样本点的残差为（

）A．0.3 B．-0.3 C．1.3 D．-1.32．某校为了丰富课后服务活动，提高学校办学水平和教育质量，开设近20门选修课供学生自愿选择.甲、乙2名同学都对其中的合唱、足球、篮球、机器人课程感兴趣，若这2名同学从这4门课程中各自任选一门课程参加，则不同的选法有（

）A．4种 B．6种 C．8种 D．16种3．设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（

）A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.74．甲、乙、丙等6人相约到电影院看电影，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须相邻，则不同的坐法共有（

）A．120种 B．240种 C．360种 D．720种5．的内角的对边分别为，，则A． B． C．2 D．6．为促进消费，某商场推出抽奖游戏：甲、乙两袋中装有大小、材质均相同的球，其中甲袋中为4个黑球和6个白球，乙袋中为3个黑球和5个白球.顾客要从甲袋中随机取出1个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出1个球，若从乙袋中取出的球是黑球，则获得100元消费券，否则获得50元消费券.则顾客获得100元消费券的概率为（

）A． B． C． D．7．一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球，若不放回地依次任取两个球，设事件为“第一次取出白球”，事件为“第二次取出黑球”，则在发生的条件下发生的概率为（

）A． B． C． D．8．已知等差数列满足，则（）A． B．1 C．0 D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．下列结论不正确的是（

）A．男人、女人中患色盲的频率分别为0.038，0.006B．男、女患色盲的概率分别为，C．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲与性别是有关的D．不能说明患色盲与性别是否有关10．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论正确的是（

）

A．该正方体的外接球体积为B．底面半径为，高为的圆锥体能够被整体放入该正方体C．三棱锥的体积为定值D．当与重合时，异面直线与所成的角为11．已知为随机事件，，则下列结论正确的有（

）A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则C．若相互独立，则 D．若，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数是.13．过三点的圆的标准方程是.14．同时抛掷5枚均匀的硬币160次，设5枚硬币正好出现1枚正面向上，4枚反面向上的次数为，则的数学期望是.四､解答题：本题共5小题，共77分､解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15．新冠疫情下，为了应对新冠病毒极强的传染性，每个人出门做好口罩防护工作刻不容缓．某口罩加工厂加工口罩由三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级(表示最低过滤效率为99.97%)；工序的加工质量层次为高，工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级(表示最低过滤效率为99%)；其余均为95级(表示最低过滤效率为95%)．表①:表示三道工序加工质量层次为高的概率；表②:表示加工一个口罩的利润．表①

工序概率表②口罩等级100等级99等级95等级利润/元(1)表示一个口罩的利润，求的分布列和数学期望；(2)由于工厂中工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对工序进行升级．在升级过程中，每个口罩检测成本增加了()元时，相应的工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了;试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，则与应该满足怎样的关系?16．如图是我国2010年至2018年总量（单位：万亿元）的折线图．注：年份代码1~9分别对应年份2010~2018．(1)由折线图看出，可用一元线性回归模型拟合y与年份代码t的关系，请用相关系数加以说明（精确到0.001）；(2)建立y关于t的经验回归方程（系数精确到0.01），并据此预测2022年我国总量．参考数据：，参考公式：相关系数经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为17．如图，在四棱台中，平面．底面是平行四边形，，，连接、，设交点为，连接．

(1)证明：；(2)若，且二面角大小为60°，求三棱锥外接球的表面积．18．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点(1)求椭圆E的方程；(2)求的角平分线所在直线的方程；(3)在椭圆E上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．19．已知，函数，.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：存在唯一的极值点；(3)若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围.参考答案题号12345678910答案ADCBCBDCABDBC题号11答案BCD1．A【分析】先将中心代入回归方程求出，将代入回归方程求得，结合残差的定义即可求解.【详解】由题意知，将点代入，得，所以，将代入，解得，所以样本点的残差为.故选：A2．D【分析】根据题意甲乙两人均有4种选课方法，应用分步乘法即可得结果.【详解】由题设，甲乙两人均有4种选课方法，所以2名同学从这4门课程中各自任选一门课程参加的方法有种.故选：D3．C【分析】根据两点分布概率性质可得解.【详解】随机变量服从两点分布，，根据两点分布概率性质可知：，解得.故选：C.4．B【分析】利用相邻问题捆绑法计算即可.【详解】由题意可知不同的坐法有.故选：B5．C【分析】根据三角形面积公式以及正弦定理即可联立方程求解.【详解】由题意得，解得，故选:C．6．B【分析】根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式求出概率，再利用全概率公式计算即得.【详解】记顾客获得100元消费券的事件为，从甲袋中取出黑球的事件为，则，，，所以.故选：B7．D【分析】先求各事件概率再利用条件概率公式求解即可.【详解】设事件为“第一次取出白球”，事件为“第二次取出黑球”，，，第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率为：.故选：D.8．C【分析】根据等差数列的通项公式求解即可.【详解】由可得：，所以，故选：C9．ABD【分析】根据题设中的数据，可判定A不正确；根据频率与概率的关系，可判断B不正确，结合概率的大小关系和独立性检验，可判定C正确，D不正确.【详解】对于A中，男人、女人中患色盲的频率分别为，，故A不正确；对于B中，，分别为男人、女人中患色盲的频率，并不是男、女患色盲的概率，故B不正确；对于C、D中，由男人中患色盲的比例为，女人中患色盲的比例为，可得，又由，所以患色盲与性别是有关的，故C正确，D不正确．故选：ABD．10．BC【分析】根据正方体的性质，求得外接球的半径，结合球的体积公式，可判定A不正确；根据几何体的结构特征，可判定B正确；由正方体性质，证得平面，结合题意公式，求得，可判定C正确；当与重合时，与上底面中心重合，把异面直线所成的角转化为直线与所成的角，在中，求得，可判定D错误.【详解】记该正方体的外接球半径为，可得，解得，所以外接球体积为，所以A不正确；将该圆锥的顶点放在正方体上表面中心，底面圆为正方体下表面内切圆时，恰好可以放得下底面半径为，高为的圆锥体，所以B正确；如图（1）所示，由正方体性质，可得是矩形，且，连接交于点，因为正方形，可得，又由平面，且平面，所以，因为，且平面，所以平面，所以是点到平面的距离，且，所以（定值）所以C正确；

如图（2）所示，当与重合时，与上底面中心重合，连接与交于点，连接，可得，所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，在中，因为，由余弦定理得，所以D错误.故选：BC.

11．BCD【分析】根据互斥事件性质可求得A错误，B正确，再由相互独立事件性质可得C正确，利用对立事件及条件概率公式可得D正确.【详解】对于A，若为互斥事件，则，即可得A错误；对于B，由可得，又为互斥事件，则，又，即B正确；对于C，若相互独立，则,所以，即C正确；对于D，若，所以；可得，所以，即D正确.故选：BCD12．6【分析】利用二项展开式的通项公式可求系数为有理数的项的个数.【详解】二项展开式的通项公式为，第项的系数为，当即时，系数为有理数，这样的项的个数为6，故答案为：613．【分析】首先设出圆的标准方程，再代入3点，即可求解.【详解】设圆的标准方程为，得，得，所以圆的标准方程是.故答案为：14．【详解】试题分析：因抛掷一次，出现一次正面向上，次正面向下的概率为，且枚硬币出现一次正面向上，次正面向下的概率都相同，而且各次试验中事件是相互独立，所以服从二项分布，故其数学期望.考点：二项分布及运用．【易错点晴】本题以同时抛掷枚硬币的实验为背景，考查的是随机变量的概率分布中的二项分布的概率和数学期望的求法问题.解答时要先确定该分布为二项分布，然后再选择运用二项分布的数学期望的计算公式进行求解.解答本题的难点是如何该事件的概率符合二项分布.本题在解答时借助题设中的条件求出的出现一次正面向上，次正面向下的概率为，再结合各次试验的过程中概率是独立的且概率相同.从而确定该事件的概率分布服从二项分布，进而运用公式求出数学期望是.15．(1)分布列见解析，(2)()【分析】（1）由题意可知：的可能取值为，，，分别求出100等级，99等级，95等级的概率，列分布列计算数学期望即可；（2）改良后一件产品的利润的可能取值为，，，分别求出改良后100等级，99等级，95等级的概率，求出数学期望与比较即可.【详解】（1）的可能取值为，，，；；；所以的分布列为（2）设升级后一件产品的利润为，则的可能取值为，，；；；所以，由得，解得，所以与满足的关系为().16．(1)答案见详解；(2)，110.69万亿元．【分析】（1）根据公式求出相关系数从而判断y与t的线性相关关系；（2）根据公式求得经验回归方程，将代入方程即可求得结果．【详解】（1）由题得，

．说明y与t的线性相关关系很强，可用一元线性回归模型拟合．（2），由可得．，所以y关于t的经验回归方程将代入得．所以预测2022年我国总量为110.69万亿元．17．(1)证明过程见解析(2)【分析】（1）作出辅助线，得到，故平面，得到，结合⊥，得到线面垂直，证明出结论；（2）在（1）的基础上，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，根据二面角的大小列出方程，求出，进而作出辅助线，得到外接球球心，列出方程，求出外接球半径，得到外接球表面积.【详解】（1）连接，因为底面是平行四边形，，，所以为等边三角形，底面为菱形，则上底面也为菱形，又，故，又四点共面，故，因为，所以，故四边形为平行四边形，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，

因为为等边三角形，为中点，故⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以；（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，故，设，，设平面的法向量为，则，令得，，故，平面的法向量为，故，二面角大小为60°，即，解得，

取的中点，由于⊥，故三棱锥外接球的球心在平面的投影为，连接，过点作平行，交于，设，则，，又，由勾股定理得，，故，解得，故三棱锥外接球的半径为，故三棱锥外接球表面积为.18．(1)(2)(3)不存在，理由见解析【分析】（1）根据椭圆经过的点的坐标以及离心率解方程组可求得椭圆E的方程；（2）思路一：利用角平分线上的点的性质，由点到直线距离公式整理可得结论；思路二：求得椭圆在点处的切线方程，再由椭圆的光学性质可得平分线所在直线方程；（3）思路一：假设存在关于直线对称的相异的两点，联立直线与椭圆方程可得线段中点与点A重合，假设不成立；思路二：利用点差法求出，联立直线方程可得点与点A重合，不合题意，可得结论.【详解】（1）椭圆E经过点，可得，解得，因此可得椭圆E的方程为；（2）由（1）可知，，思路一：由题意可知，，如下图所示：设角平分线上任意一点为，则得或又易知其斜率为正，∴的角平分线所在直线为思路二：椭圆在点处的切线方程为，根据椭圆的光学性质，的角平分线所在直线的斜率为，所以的角平分线所在直线，即（3）思路一：假设存在关于直线对称的相异两点，设，联立可得，∴线段中点为在的角平分线上，即，解得；因此与点A重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线对称的相异两点，线段中点，由点差法可得，即；∴，因此，联立可得与点A重合，舍去，故不存