广西崇左市广西大学附属中学2024-2025学年高二下学期插班生开学考试 数学B卷（含解析）

2025年崇左市广西大学附属中学高二年级下学期插班生考试数学B卷形式：闭卷；考试时间：60分钟；分值：100分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（每题只有一个正确答案，共7小题，每题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1.直线倾斜角是（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】A【解析】【分析】根据倾斜角与斜率之间的关系运算求解.【详解】因为的斜率，所以其倾斜角为30°.故选：A.2.已知直线，若，则（）A.或 B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验.【详解】因为，，所以，所以，解得或，当时，，，直线重合，不满足要求，当时，，，直线平行，满足要求，故选：B.3.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程，结合渐近线方程，可得答案.【详解】由方程，则，所以渐近线.故选：C.4.如图，是的重心，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据是的重心，可知，再根据向量加法、减法法则即可求解.【详解】∵是的重心，∴.，.故选：D.5.直线被圆所截得的弦长为（）A. B. C.5 D.10【答案】B【解析】【分析】判断出圆心在直线上即可求解.【详解】圆即，故圆心为，显然圆心在直线上，故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为.故选:B．6.记等差数列的前n项和为.若，，则（）A.49 B.63 C.70 D.126【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的项的“等和性”得到，再运用等差数列的前n项和公式计算即得.【详解】因是等差数列，故，于是故选：B7.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆C相交P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，由椭圆定义及，结合勾股定理求参数m，进而由勾股定理构造椭圆参数的齐次方程求离心率.【详解】设，椭圆的焦距为，则，由，有，解得，所以，故得：．故选：B.二、多选题（本题共2小题，共12分，在所给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，两个答案对一个得3分，三个答案对一个得2分，有选错的得0分）8.已知向量，，则下列正确的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算判断作答.【详解】向量，，则，A正确；显然，B正确；由数量积的定义得，C错误；显然，则，即有，D错误.故选：AB9.已知曲线C的方程为（且），则下列结论正确的是（）A.当时，曲线C是焦距为4的双曲线B.当时，曲线C是离心率为的椭圆C.曲线C可能是一个圆D.当时，曲线C是渐近线方程为的双曲线【答案】AD【解析】【分析】根据给定方程，逐一利用各个选项中的条件，再列式计算并判断作答.【详解】对于A，当时，曲线C的方程为，表示双曲线，且，即焦距为4，A正确；对于B，当时，曲线C的方程为，表示椭圆，离心率，B错误；对于C，令，得，，该方程无解，则曲线C不可能是一个圆，C错误；对于D，当时，曲线C的方程为，表示双曲线，渐近线方程为，即，D正确.故选：AD三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分.）10.两条平行直线与之间的距离为__________．【答案】【解析】【分析】根据两直线平行可求得，由平行直线间距离公式可求得结果.【详解】，，解得：，，即，之间的距离.故答案为：.11.已知数列的前项和，，则_________.【答案】【解析】【分析】根据求出，再根据对数的运算性质计算可得.【详解】因为数列的前项和，所以，所以故答案为：四、解答题（本题共3小题，共43分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）12.（1）等差数列中，公差，且满足，．求数列的通项公式；（2）等比数列中，，．求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）方法一：由所给条件得到关于、方程组，解得即可求出通项公式；方法二：根据下标和性质得到，从而求、，即可求出公差，即可得解；（2）设的公比为，则，根据求出，即可得解.【详解】（1）方法一：由已知可得a1+da；方法二：由为等差数列得，又，故可以看作方程的两根，由得，，故，；（2）设的公比为，由题设得，又，所以，解得（舍去），或，故或．13.已知定点，定直线l：，动圆M过点F，且与直线l相切，记动圆的圆心M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）若过点F的直线与C交于不同的两点A，B，且，求直线AB的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，利用抛物线的定义求解；（2）设直线方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理，由求解.【小问1详解】由题意得：等于点到直线的距离，即点M的轨迹是以为焦点，以l：为准线的抛物线，则，解得，所以抛物线的方程为；小问2详解】当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，当时，，此时，不合题意，舍去；则直线l的斜率存在，设直线方程为，，与抛物线方程联立，消去得，因为焦点在抛物线内部，且直线斜率存在，并且不为0，则该直线与抛物线必有两交点，由韦达定理得，所以弦长：，解得，即，所以直线l的方程为：.14.如图，四棱锥的底面是平行四边形，是边长为2的正三角形，平面平面为棱的中点．（1）证明：平面．（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理，结合勾股定理的逆定理、面面垂直的性质定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式