江苏省南京市励志高级中学2024-2025学年高一下学期第一次（2月）调研考试数学试卷（解析版）

第页，共页第13页，共13页南京市励志高级中学2024—2025高一第二学期第一次调研考试数学试卷（时间：120分钟满分：150分）考生注意1.本试卷分选择题和非选择题两部分.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷､草稿纸上作答无效.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合交集定义即可求得结果.【详解】令分别等于1，2，3，4，解得分别等于-1，0，1，2，则，所以.故选：B2.计算（）A. B. C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根据对数运算法则即可得到答案.【详解】.故选：B.3.下列说法中，正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则与不是共线向量【答案】C【解析】【分析】根据向量的模与向量的定义可判断AB的正误，根据共线向量的定义可判断CD的正误.【详解】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故A错误.对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误.对于C，若，则必定共线，故，故C成立.对于D，当时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，故与可以为共线向量，故D错误.故选：4.已知向量，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示可得出关于的等式，解之即可.【详解】因为向量，，，则，解得.故选：C.5.已知向量，，则（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】【分析】首先求出的坐标，即可得解；【详解】解：因为，所以，所以，故选：A.6.给出下列命题，正确的有（）A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B.已知为实数，若，则与共线C.的充要条件是且D.若是不共线的四点，且，则四边形为平行四边形【答案】D【解析】【分析】根据相等向量的概念即可判断A，举反例即可反驳BC，根据相等向量的含义即可判断D.【详解】对A，向量相等只需满足方向相同且模相等即可，故A错误；对B，若时，此时与可以不共线，故B错误；对C，、为相反向量时，也满足且，但此时，故C错误；对D，若是不共线的四点，且，则，则四边形为平行四边形，故D正确.故选：D.7.如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可.【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误，对于B，因为，故B错误，对于C，因为E是的中点，所以，故C错误对于D，因为，所以，故D正确.故选：D8.已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出定点的坐标，将点的坐标代入直线方程，可得出、所满足的关系式，再利用基本不等式可求得的最小值.【详解】对于函数且，由，可得，此时，，即点，将点的坐标代入直线方程可得，可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：B.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】CD【解析】【分析】先求得不等式的解集，根据题意，求得，结合选项，即可求解.【详解】由不等式，可得，因为“”是“”的充分不必要条件，所以.结合选项，选项C、D满足题意.故选：CD.10.若向量，则（）A. B.C.在上的投影向量为 D.与的夹角为【答案】BC【解析】【分析】用坐标表示出向量，用模长公式求出模长即可判断A选项；用向量坐标求向量的数量积判断B选项；由向量的投影向量的公式判断C选项；由坐标求出模长和向量的数量积，求出向量的夹角判断D选项.【详解】由题，所以，故A错；又，故B正确；，所以在上的投影向量为：，故C正确；因为，又，所以，故D错误.故选：BC.11.下列说法正确的是（）A.在中，若，则是的中点B.已知，，是平面内任意三点，则C.若，，，是同一平面上的四个点，若，则，，三点共线D.若，则为的外心【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】在中，若，则是的中点，故A正确；由三角形法则可知，，故B正确；由可得，，所以，则，，三点共线，故C正确；若，则，由平面向量的平行四边形法则可知，当为中点时，有，所以，所以为的重心，故D错误.故选：ABC.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为______．【答案】【解析】【分析】利用向量的模和向量的数量积的定义，求向量夹角的余弦值.【详解】因为，所以，因为，所以，则向量，夹角的余弦值为故答案为：.13.函数的零点个数为__________.【答案】2【解析】【分析】根据函数零点个数与其对应方程根、函数图象的交点个数之间的关系，结合函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解.【详解】函数的定义域为，由得，函数的零点即方程的根，作函数和的图象，如图，由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点．故答案为：.14.正方形的边长为为边的中点，为边上一点，且，则__________.【答案】##2.5【解析】【分析】利用勾股定理得到，然后根据数量积的几何意义得到在上的投影的数量等于，从而得到，然后利用三角函数得到，最后利用勾股定理计算即可.详解】正方形的边长为2，点为边的中点，，，在上的投影的数量为.所以，所以，所以，所以，所以，所以，.故答案为：.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值，利用平面向量的模长公式可求得的值；（2）求出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可求得实数的值.【详解】（1），则，所以，，因此，；（2），因为，则，因此，.16.已知向量.（1）若向量与共线，求实数的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值；（2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不共线，从而可得不等式组求解即可.【小问1详解】由题意可得，，若向量与共线，可得，解得.【小问2详解】若向量与的夹角为锐角可得a·⇀b→>0,且与不共线，即可得2k+1+2解得且，即实数的取值范围为k|k>−5817.如图，已知点O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（4，3），点B的坐标为（－1，6），作，垂足为点D．（1）求，，；（2）求；（3）求．【答案】（1），，；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用向量坐标模长公式进行求解；（2）利用向量坐标夹角公式求解；（3）根据第二问求出OD，再使用勾股定理求出BD，求出面积.【小问1详解】，，由于，所以；【小问2详解】，故；【小问3详解】由（2）得：，所以，由勾股定理得：，所以.18.已知是定义在上的奇函数.（1）求的解析式；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）解关于的不等式：.【答案】（1）（2）单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由题意，由此即可得解.（2）由定义法证之即可.（3）结合奇函数的单调性即可求.【小问1详解】因为定义在区间上的函数为奇函数，则，经验证满足题意，则.则.【小问2详解】由（1）知，在上单调递增，证明如下：设，则，其中，，所以，即，故函数在上单调递增.【小问3详解】奇函数，不等式化为，在上是增函数，，解得，故不等式的解集为.19.已知函数，．（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值；（3）求不等式的解集．【答案】（1）；单调递