2024年福建莆田中考数学试题及答案1

2024年福建莆田中考数学试题及答案

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的.

1.下列实数中，无理数是（）

A.-3B.0C.1D.石

2.据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，，全球PCT（《专利

合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来

源国.数据69610用科学记数法表示为（）

A.6961x10B.696.1xIO2C.6.961xlO4D.0.6961xlO5

3.如图星由长方体和圆柠组成的几何体，其俯视图是（）

主视方向

D.

4.在同一平面内，将直尺、含30。角的三角尺和木工角尺（CO_LOE）按如图方式摆放,

若A8"C。，则Z1的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

5.下列运算正确的是（)

A.小/=/B.a44-«2=a2C.（/）=a5D.2a2-a2=2

6.哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈

景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数2,3,5中，随机选取两个不

同的数，其和是偶数的概率是（）

A.-B.-C.JD.\

4323

7.如图，已知点A3在上，ZAOB=72°,直线MN与相切，切点为C,且C为A8

8.今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消

费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%,求去年第•季度社会消费品零售总

额.若将去年第一季度社会消费品零但总额设为K亿元，则符合题意的方程是（）

A.(l+4.7%)x=120327B.(l-4.7%)x=120327

xx

C.=1203271).=120327

1+4.7%1-4.7%

9.小明用两个全等的等腰三角形设计了一个''蝴蝶"的平面图案.如图，其中AOW与

都是等腰三角形，且它们关于直线/对称，点、E,尸分别是底边AB,C。的中点,

OE1OF.下列推断错误的是（）

A.OB1ODB.NBOC=ZAOB

C.OE=OFI).ZI3OC+ZAOD=]S00

10.已知二次函数），=/-2m-+4（"0）的图象经过唱司，8（3“），2）两点，则下列判断

正确的是（）

A.可以找到一个实数。，使得B.无论实数〃取什么值，都有

C.可以找到一个实数。，使得当<。D.无论实数“取什么值，都有y2Vo

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.

11.因式分解：/+产.

12.不等式3x-2<l的解集是.

13.学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成

绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是.（单位：分）

14.如图，正方形A8C。的面积为4,点E,F,G,，分别为边44,BC,CD,AO的

中点，则四边形ER7”的面积为.

15.如图，在平面直角坐标系火力中，反比例函数y二七的图象与，。交于A3两点，且点A3

X

都在第一象限.若A（l,2）,则点4的坐标为.

16.无动力帆船是借助风力前行的.下图是帆船借助风力航行的平面示意图，己知帆船航行

方向与风向所在直线的夹角NTD4为70。，帆与航行方向的夹角NPQQ为30。，风对帆的作

用力”为400N.根据物理知识，产可以分解为两个力6与尸2,其中与帆平行的力冗不起

作用，与帆垂直的力6仪可以分解为两个力£与人，£与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；

力与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大

小，据此，建立数学模型；F^AD-400,则人=。。=.（单位；N）（参考数据；

sin40°=0.64,cos40°=0.77）

航行方向

帆

6

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.计算：

18.如图，在菱形ABCO中，点E、尸分别在BC、C。边上，求证：BE=DF.

20.已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校.在一次普通高中学业水平考试中，A

地甲类学校有考生30（）0人，数学平均分为90分：乙类学校有考生2000人，数学平均分为

80分.

(1)求A地考生的数学平均分：

(2)若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B

地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明：若不能，请举例说明.

21.如图，已知二次函数y=V+法+c的图象与x轴交于48两点，与)，轴交于点C,其中

A(-2,0)((0,-2).

(D求二次函数的表达式；

(2)若P是二次函数图象上的一点，且点尸在第二象限，线段PC交汇轴于点的面

积是△C£>8的面积的2倍，求点P的坐标.

22.如图，已知直线乙

_______________________________b

_________________/2

(1)在44所在的平面内求作直线/，使得/A且/与乙间的距离恰好等于/与//瓦的距

离；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

⑵在⑴的条件下,若4与A间的距离为2,点分别在为12上,且.ABC为等腰直

角三角形，求/4C的面积.

bc

23.已知实数b,c,m,n满足3m+n=—,mn=-.

(1)求证：。-⑵c为非负数;

⑵若以“C均为奇数，〃。是否可以都为整数？说明你的理由.

24.在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸48CO,要求大家利用它制作一个

底面为正方形的礼品盒.小明按照图2的方式裁剪(其中4£=冏)，恰好得到纸盒的展开

图，并利用该展开图折成•个礼品盒，如图3所示.

AD

B

图

1

图

2图

3

(1)直接写出当的值;

AB

(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示,

那么应选择的纸盒展开图图样是()

A.B.

C.D.

⑶

卡纸型号型号I型号II型号in

规格（单位：cm）30x4020x8080x80

单价（单位：元）3520

现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整£尸的比例，制作棱长为10cm

的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型

号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒,

其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用.

（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案：②没有用

到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数最及总费用直接填在答题卡

的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卜纸的总费用”给分，总费用

最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）

f-8一d

30

20

L上

型号।型号II

j--80---------------—J

型号川

25.如图，在中，ZBAC=90°,AB=ACf以A8为直径的：。交8C于点。，AE±OC,

垂足为旦3石的延长线交A。于点尸.

⑴求益的值；

(2)求证：AAEBS^BEC；

(3)求证：A。与所互相平分.

1.1)

【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，

有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无

理数，由此即可判定选择项.

本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：乃,2不等；开方开不尽的

数；以及像0.1010010001....,等数.

【详解】根据无理数的定义可得：无理数是逐

故选：D.

2.C

【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为axlO”的形式，其中

为整数，确定〃的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝

对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，〃是止数；当原数的绝对值＜1时，n

是负数.

本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键.

【详解】69610=6.961xl04

故选：C.

3.C

【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案.

【详解】解：这个立体图形的俯视图是•个圆形，圆形内部中间是一个长方形.

故选：C.

4.A

【分析】本题考查了平行线的性质，由ABCD,可得/。。3=60。，即可求解.

【详解】VABCD,

zc™=60°,

:CDS.DE,则ZCDE=90°,

JZl=180°-ZCDB-ZCDE=30°,

故选：A.

5.B

【分析】本题考查了同底数幕的乘法，同底数塞的除法，幕的乘方，合并同类项，解题的关

键是掌握同底数幕的乘法，同底数冢的除法，暴的乘方，合并同类项运算法则.

利用同底数塞的乘法，同底数基的除法，塞的乘方，合并同类项计算后判断正误.

【详解】解・：A选项错误；

/+/=/，B选项正确;

(/)2=/,C选项错误；

2a2-a2=a2,D选项错误;

故选:B.

6.B

【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，求和后利用概率公式计

算即可.

和57587«

由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是

21

6=3,

故选：B

7.A

【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据。为荒的中

点，三角形内角和可求出/。。4=：'(180。-36。)=72。，再根据切线的性质即可求解.

【详解】VZAOB=72°,C为4B的中点，

工ZAOC=36°

*：OA=OC

・•・ZOCA=1x(180°-36°)=72°

•・•直线MN与O相切,

・•・ZOCM=90°,

・•・ZACM=40cM-ZOCA=18°

故选：A.

8.A

【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找出等量关系，根据今

年第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%,列出方程即可.

【详解】解：将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，根据题意得：

(14-4.7%)x=120327,

故选：A.

9.B

【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；

A.由对称的性质得NAO8=NDOC,由等腰三角形的性质得NBOE=g/AOB,

NDOF=L/DOC,即可判断；

2

B.N80C不一定等于NA08,即可判断；

C.由对称的性质得，OA的ODC,由全等三角形的性质即可判断；

D.过。作GMJLOH,可得/GOD=/BOH,由对称性质得=/CO"同理可证

ZAOM=/BOH,即可■判断；

掌握轴对称的性质是解题的关键.

【详解】解：A.OEYOF,

/BOE+NBOF=，)。,

由对称得乙M)B=/DOC、

••,点E,〃分别是底边相，8的中点，0/W与一。£心都是等腰三角形，

;.NBOE=L/AOB,ZDOF=-ZDOC,

22

:"BOF+/DOF=90。,

:.OBLOD,结论正确，故不符合题意；

B.NBOC不一定等于NAO3,结论错误，故符合题意；

C.由对称得一OA四;ODC,

•・•点E,尸分别是底边AB,CO的中点，

:.OE=OF,结论正确，故不符合题意;

过。作GM_LO〃，

;.NGOD+NDOH=90°,

/BOH+/DOH=90。,

:"GOD=/BOH,由对称得NBOH=NCOH,

:"GOD=/COH,

同理njilhZAOM=/BOH,

/.ZAOD^ZBOC=ZAOD+ZAOM+ZDOG=180°,结论正确，故不符合题意；

故选：B.

10.C

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为

X=-年=。，顶点坐标为再分情况讨论，当。>0时，当〃时，,，当的

大小情况，即可解题.

【详解】解：■.•二次函数解析式为丁=/一加工+々（4工0）,

・•・二次函数开口向上，且对称轴为x=-年=〃，顶点义标为伍。-/）,

1

当工=:时，yi=---a'-\-a=a-—a,

244

当〃>o时,o<q<〃，

2

2

/.a>y}>a-a,

当a<。时，

2

1

/.a-a<yx<a,

故A、B错误，不符合题意；

当。>。时，。<a<2a<3。,

由二次函数对称性可知，y2>a>o,

当〃vO时，3a<2a<a<0,由二次函数对称性可知，y2>«,不一定大于0,

故C正确符合题意；D错误，不符合题意；

故选：C.

11.x(x+l)

【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则

把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分

解因式.因此，直接提取公因式X即可.

【详解】解：W+.E=X(X+1)

12.x<l

【分析】本题考查的是解一兀一次不等式，通过移项，未知数系数化为1,求解即可解.

【详解】解：3x-2<l,

3.r<3,

x<\,

故答案为：X<].

13.90

【分析】本题考查了中位数的知识，解题的关键是了解中位数的求法，难度不大.

根据中位数的定义(数据个数为偶数时，排序后，位于中间位置的数为中位数)，结合图中

的数据进行计算即可：

【详解】解：•・•共有12个数，

・•・中位数是第6和7个数的平均数，

，中位数是(90+90)+2=90；

故答案为：90.

14.2

【分析】本题考查正方形性质，线段中点的性质，根据正方形性质和线段中点的性质得到

HD=DG=1,进而得到SRH，同理可得S.E=Sh8=ScGF=g，最后利用四边形EFG”

的面枳=正方形ABCD的面积-4个小三角形面积求解，即可解题.

【详解】解：「正方形ABCO的面积为4,

AB=BC=CD=AD=2,?D90?,

.点、E,F,G,H分别为边A/3,BC,CD,AO的中点，

：.HD=DG=\,

・••S0GH=gxlxl=g,

同理可得SA〃E=SEFB=SCG/=g，

四边形七斤G”的面积为4_!_:_2_:=2.

2222

故答案为：2.

15.(2J)

【分析】本题考杳了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据A(L2)

得出女=2,设网〃，⑼，则〃用=%=2,结合完全平方公式的变形与应用得出

2

/77+_=3,"，-3m+2=(，"l)(m-2)=0,结合A(l,2),则3(2,1),即可作答.

【详解】解：如图：连接。4,OB

2=—>k=2

1

设4（〃，/”）,则nnt=k=2

•:OB=OA=122+f=后

m~+n1=（-75）=5

2

则（/〃+="J+n+2mn=5+4=9

•・•点6在第一象限

/.m+n=3

2

把=k=2代入得〃iH—=3,nr-3m+2=(/?/-1)(/??-2)=0

n\

=1,m,-2

经检验：，叫=1，〃4=2都是原方程的解

•・,A(l,2)

・•・8(2,1)

故答案为：(2,1)

16.128

【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出&DQ=40。，Nl=ZPDQ=30。，由A3//QD

得到ZBAD=ZADQ=40。，求出E=8。=AO•sin/BAD=256,求出/BDC=9O0-Z1=60。

在Rt.38中，根据人=CO=8/>cosN8QC即可求出答案.

【详解】解：如图,

;帆船航行方向与风向所在直线的夹角ZPD4为70。，帆与航行方向的夹角/尸。。为30。,

・•.ZADQ=NPDA-NPD。=70°-30°=40°,Zl=/PDQ=30°,

AB〃QD,

NKAO=4DQ=40。，

在RtA>43。中，F=AD=4OO,?ABD90?,

.・.E=BD=ADsinZBAD=400xsin400=400x0.64=256,

由题意可知，BD工DQ,

：.Z^Z9C+Z1=9O°,

・•・Z/?DC=90°-Zl=60°

在Kt-BCD中，6。=256./BCD=90°,

f2=CD=BDcosZ.BDC=256xcos60°=256xg=128,

故答案为：128

17.4

【分析】本题考查零指数录、绝对值、算术平方根等基础知识，熟练掌握运算法则是解题的

关键.

根据零指数累、绝对值、算术平方根分别计算即可；

【详解】解：原式=1+5-2=4.

18.见解析

【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性

质是解答的关键.根据菱形的性质证得=NB=ND,再根据全等三角形的判定证

明A4«£^AADF(AAS)即司二

【详解】证明：四边形A8CZ)是菱形，

AB=AD，=N。，

ZAEB=ZAFD,

：..ABE^.ADF(AAS),

.\BE=DF.

19.x=l().

【分析】本题考杳解分式方程，掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求

解，即可解题.

方程两边都乘(x+2)(x—2),得3(x—2)+(x+2)(x—2)=x(x+2).

去括号得：3x-6+x2-4=x2+2x,

解得x=10.

经检验，x=10是原方程的根.

20.(1)86；

⑵不能，举例见解析.

【分析】本小题考查加权平均数等基础知识,

（1）根据平均数的概念求解即可;

（2）根据平均数的意义求解即可.

【详解】（1）由题意，得A地考生的数学平均分为总X（90X3000+8（）X2000）=86.

（2）不能.

举例如下：如B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，则B地考生的数学平

均分为

-^―x（94x1000+82x30€i0）=85.

4000'7

因为85＜86,

所以不能判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高.

21.（1）y=x2+x-2

（2）（3,4）

【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方

程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等.

（1）根据待定系数法求解即可；

（2）设P（皿〃），因为点P在第二象限，所以相依题意，得学四=2,即可得

出W=2,求出〃=2CO=4,由＞+加一2=4,求出加,即可求出点尸的坐标.

【详解】（1）解：将4（一2,0）,。（0,-2）代入丁=/+笈+＜?,

4-2b+c=0

b=\

解得

c=-2

所以，二次函数的表达式为y=f+x-2.

（2）设尸（祇〃），因为点P在第二象限,所以加＜0,〃＞（）.

q-BD-n

依题意，得产生=2,即f------=2,所以4=2.

'△CDB-BDCOCO

2

由己知，得C0=2,

所以〃=2CO=4.

由由+m—2=4，

解得见=-3,〃?2=2(舍去)，

所以点P坐标为(-3,4).

22.(1)见解析；

(2)。的面积为1或

【分析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨

论思想：

(1)先作出与，2的垂线，再作出夹在44间垂线段的垂宜平分线即可；

(2)分N3AC=9()o,A8=AC；ZABC=9()0,BA=BC；4c4=90。,04=C8三种情况，结

合三角形面积公式求解即可

【详解】(1)解：如图，

———

、/b

x

直线/就是所求作的直线.

(2)①当/84。=90。,48=4。0寸，

/4k，直线，与4间的距离为2,且/与4间的距离等于/与，2间的距离，根据图形的对

称性可知：BC=2,

/.=AC=&，

S八AM=—48♦AC=1.

②当ZABC=90。,RA=AC时，

分别过点A。作直线4的垂线，垂足为M,N,

ZAMB=ZBNC=90°.

/卜；k直线，与。间的距离为2,且/与4间的距离等于/与吊间的距离,

:.CN=ZAM=\.

ZMAI3+ZABM=90°,/NBC+ZABM=90。,

:"MAB=/NBC,:.AAM侬ABNC,

:.BM=CN=2.

在Rla/WM中，由勾股定理得48'A"+8/，

；.AB=6

综上所述，”8C的面积为1或g.

23.(1)证明见解析；

(2)小〃不可能都为整数,理由见解析.

【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理

能力、创新意识等，以及淙合应用所学知识分析、解决问题的能力.

(1)根据题意得出〃=。(3帆+〃)i=即〃7,进而计算从-12讹，根据非负数的性质，即可求

解；

(2)分情况讨论，①〃?，〃都为奇数：②〃?，〃为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶

数的性质结合己知条件分析即可.

I)Q

【详解】(1)解：因为3/%+〃=一,加〃=一，

aa

所以Z7=〃(3〃?+〃),c=amn.

则tr-12ac=[a(3m+H)]2-1202mH

=a2(9m2+6mn+叫一12a2mn

=(I2(9〃P-(y/fin+/)

=〃2(3〃L〃)2.

因为是实数，所以/(3〃?-〃)220,

所以6-12讹为非负数.

(2)〃乙〃不可能都为整数.

理由如下：若，〃，〃都为整数，其可能情况有：①〃?，〃都为奇数；②〃?，〃为整数，且其中至少

有一个为偶数.

①当〃?,〃都为奇数时，则3/〃+〃必为偶数.

又3/〃+〃=2,所以。=“3〃z+〃).

因为〃为奇数，所以。(3心+〃)必为偶数，这与〃为奇数矛盾.

②当〃?，〃为整数，且其中至少有一个为偶数时，则〃〃，必为偶数.

又因为=-,所以c=amn.

a

因为〃为奇数，所以。加〃必为偶数，这与。为奇数矛盾.

综上所述，〃?，〃不可能都为整数.

24.(1)2；

(2)C：

(3)见解析.

【分析1本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知

识，掌握相关知识是解题的关键.

(1)由折叠和题意可知，GH=AE+FB,AH=DH,四边形七/WM是正方形，得到

EM=EF,S|JAG=EF,即可求解；

(2)根据几何体的展开图即可求解；

(3)由题意可得，每张型号HI卡纸可制作1()个正方体，每张型号II卡纸可制作2个王方

体，每张型号I卡纸可制作1个正方体，即可求解.

上述图形折叠后变成:

由折叠和题意可知，GH=AE+FB,AH=DH,

•・•四边形EFNM是正方形，

：・EM=EF,即AG=E",

：.GH+AG=AE+FB+EFfB|JAH=AB,

AH=DH,

ADAH+DHr

••==2,

ABAB

••・嘤的值为：2.

AB

(2)解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应

面上，而对应面上的字中旬相隔一个几何图形，且字体相反，

AC选项符合题意，

故选：C.

(3)解:

卡纸型号型号I型号H型号HI

需卡纸的数量（单位：张）132

所用卡纸总费用（单位：元）58

根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为5cm,则要制作一个边长为10cm的正方体的展开

图形为：

••・型号山卡纸,每张卡纸可制作10个正方体，如图:

型号II卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图:

型号I卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图:

・•・可选择型号in卡纸2张，型号H卡纸3张，型号I卡线1张，则

10x2+2x3+1x1=27（个），

・•・所用卡纸总费用为：

20x2+5x3+3x1=58（元）.

25.⑴g

（2）证明见解析

（3）证明见解析

A

【分析】（1）先证得4C=2AO,再在RZAOC中，tanZAOC=—=2.在RiZXAOE中,

AO

ATAI?

tanZ.OC=-,W-=2,再证得结果;

（2）过点8作交EO延长线于点用，先证明"lOETaB。“，可得

AE=BM,OE=OM,再证得/班£=/。4£,再由相似三角形的判定可得结论；

（3）如图，连接。/，由（2）/XAEBs/xBEC,可得

生二段二桨二架,NEA0=NE8。，从而得出aAOEs-BDE,从而得出

BEBC2BDBD

NBED=ZAEO=900,得出=再上平行线判定得出A〃〃OE,再证得

AE//FD,从而得出四边形A£Ob是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果.

【详解】（1）•.AB=AC,且是。的直径，

AC=2AO.

VZBAC=9O°,

・•・在RtsAOC中，lan/4OC=E=2.

AO

AE1OC,

Ap

・•・在RtZ\40E中，tanZ^OC=—.

OE

OE\

,_____-—•

■AE2,

(2)过点8作8W〃AE.交EO延长线于点M.

忆

KW4AE==ZABM,AAEO=ZBMO=90°.

AO=BO,

:2OEQ4BOM,

/.AE=BM,OE=OM.

OE1

•=—9

AE2

:.BM=2OE=EM,

:"MEB=/MBE=45。,

ZAEB=ZAEO+ZMEB=135°,ZBEC=180°-ZME^=135°,

ZAEB=/BEC.

ZA4=AC,N3AC=90。，

.•.ZABM=NCBE,

/BAE=NCBE,

;./^AEBs/\BEC.

(3)如图，连接DE,DP.

C

生「

。的直径,

/./ADB=ZAFB=90°,AB=2AO.

48=AC,N8AC=90°,

/.BC=2BD,NDAB=45。,

由(2)知，AAEBs/\BEC,

AE=AB=2AO=AO^EAO=ZEB

BEBC2BDBD

:./\AOEs4BDE,

"BED=/AEO=9()o.

/.ZDEF=90°.

：.ZAFB=ZDEF,

：.AF//DE.

由（2）知，N4£B=135°,

ZA£F=180°-ZAEB=45°.

•・・NOM=NDA8=45。，

:.ADFB=ZAEF,

:.AE//FD,

・•・四边形AEZ）尸是平行四边形，

.•.AO与£尸互相平分.

【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的

判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、

圆的基本性质等基础知识，考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，考查化归与

转化思想等.

2024年福建莆田中考数学试题及答案

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的.

1.下列实数中，无理数是（）

A.-3B.0C.1D.石

2.据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，，全球PCT（《专利

合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来

源国.数据69610用科学记数法表示为（）

A.6961x10B.696.1xIO2C.6.961xlO4D.0.6961xlO5

3.如图星由长方体和圆柠组成的几何体，其俯视图是（）

4.在同一平面内，将直尺、含30。角的三角尺和木工角尺（CO_LOE）按如图方式摆放,

A.30°B.45°C.60°D.75°

5.下列运算正确的是（

A.a,aD.2a2-a2=2

6.哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈

景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数2,3,5中，随机选取两个不

同的数，其和是偶数的概率是（）

A.-B.-C.JD.\

4323

7.如图，已知点A3在上，ZAOB=72°,直线MN与相切，切点为C,且C为AB

的中点，则NACM等于（）

A.18°B.30°C.36°D.72°

8.今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消

费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%,求去年第•季度社会消费品零售总

额.若将去年第一季度社会消费品零但总额设为K亿元，则符合题意的方程是（）

(l+4.7%)x=120327B.(l-4.7%)x=120327

9.小明用两个全等的等腰三角形设计了一个''蝴蝶"的平面图案.如图，其中AOW与

OOC都是等腰三角形，且它们关于直线/对称，点E,尸分别是底边AB,C。的中点,

OELOF.下列推断错误的是（）

A.OBLODB.NBOC=ZAOB

C.OE=OFI).Z«OC+ZAOD=180°

10.已知二次函数），=/-2m-+心工0）的图象经过唱司，8（3“），2）两点，则下列判断

正确的是（）

A.可以找到一个实数。，使得B.无论实数“取什么值，都有

C.可以找到一个实数。，使得为<。D.无论实数“取什么值，都有y2Vo

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.

11.因式分解：/+产.

12.不等式3x-2<l的解集是.

13.学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成

绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是.（单位：分）

14.如图，正方形A8C。的面积为4,点E,F,G,，分别为边44,BC,CD,AO的

中点，则四边形ER7”的面积为.

15.如图，在平面直角坐标系火力中，反比例函数y二七的图象与，。交于A3两点，且点A3

X

都在第一象限.若A（l,2）,则点4的坐标为.

16.无动力帆船是借助风力前行的.下图是帆船借助风力航行的平面示意图，己知帆船航行

方向与风向所在直线的夹角NTD4为70。，帆与航行方向的夹角NPQQ为30。，风对帆的作

用力”为400N.根据物理知识，产可以分解为两个力6与尸2,其中与帆平行的力冗不起

作用，与帆垂直的力K仪可以分解为两个力£与人/与航行方向垂直，被舵的阻力抵消;

A与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大

小，据此，建立数学模型；F-4D-400,则人=。。=.（单位；N）（参考数据;

sin40°=0.64,cos40°=0.77)

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.计算：

18.如图，在菱形ABCD中，点E、尸分别在BC、CO边上，=求证：BE=DF.

3x

以解方程：一^=工

20.已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校.在一次普通高中学业水平考试中，A

地甲类学校有考生30（）0人，数学平均分为90分：乙类学校有考生2000人，数学平均分为

8()分.

(1)求A地考生的数学平均分；

(2)若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B

地考生数学平均分•定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明：若不能，请举例说明.

21.如图，已知二次函数y=F+法+c的图象与x轴交于48两点，与)，轴交于点C,其中

A(-2,0)((0,-2).

(D求二次函数的表达式；

(2)若P是二次函数图象上的一点，且点尸在第二象限，线段PC交汇轴于点的面

积是△C£>8的面积的2倍，求点P的坐标.

22.如图，已知直线乙

_______________________________b

_________________/2

(1)在44所在的平面内求作直线/，使得/A且/与乙间的距离恰好等于/与//瓦的距

离；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

⑵在⑴的条件下,若4与A间的距离为2,点分别在为12上,且.ABC为等腰直

角三角形，求/4C的面积.

bc

23.已知实数b,c,m,n满足3m+n=—,mn=-.

(1)求证：。-⑵c为非负数;

(2)若a,均为奇数，〃?，〃是否可以都为整数？说明你的理由.

24.在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸48CO,要求大家利用它制作一个

底面为正方形的礼品盒.小明按照图2的方式裁剪(其中4£=冏)，恰好得到纸盒的展开

图，并利用该展开图折成•个礼品盒，如图3所示.

图

1

图

2图

3

(1)直接写出当的值；

AB

(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，

那么应选择的纸盒展开图图样是()

⑶

卡纸型号型号I型号II型号IH

规格（单位：cm）30x4020x8080x80

单价（单位：元）3520

现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整£尸的比例，制作棱长为10cm

的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型

号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒,

其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用.

（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案：②没有用

到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数最及总费用直接填在答题卡

的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卜纸的总费用”给分，总费用

最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）

f-8一d

30

20

L上

型号।型号II

j--80---------------—J

型号川

25.如图，在中，ZBAC=90°,AB=ACf以A8为直径的：。交8C于点。，AE±OC,

垂足为旦3石的延长线交A。于点尸.

(2)求证：/^AEBs^BEC;

(3)求证：A。与所互相平分.

1.1)

【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，

有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无

理数，由此即可判定选择项.

本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：乃,2不等；开方开不尽的

数；以及像0.1010010001....,等数.

【详解】根据无理数的定义可得：无理数是逐

故选：D.

2.C

【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为axlO”的形式，其中

为整数，确定〃的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝

对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，〃是止数；当原数的绝对值＜1时，n

是负数.

本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键.

【详解】69610=6.961xl04

故选：C.

3.C

【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案.

【详解】解：这个立体图形的俯视图是•个圆形，圆形内部中间是一个长方形.

故选：C.

4.A

【分析】本题考查了平行线的性质，由ABCD,可得/。。3=60。，即可求解.

【详解】VABCD,

zc™=60°,

:CDS.DE,则ZCDE=90°,

JZl=180°-ZCDB-ZCDE=30°,

故选：A.

5.B

【分析】本题考查了同底数幕的乘法，同底数塞的除法，幕的乘方，合并同类项，解题的关

键是掌握同底数幕的乘法，同底数冢的除法，暴的乘方，合并同类项运算法则.

利用同底数塞的乘法，同底数基的除法，塞的乘方，合并同类项计算后判断正误.

【详解】解・：A选项错误；

/+/=/，B选项正确;

(/)2=/,C选项错误；

2a2-a2=a2,D选项错误;

故选:B.

6.B

【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，求和后利用概率公式计

算即可.

和57587«

由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是

21

6=3,

故选：B

7.A

【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据。为荒的中

点，三角形内角和可求出/。。4=：'(180。-36。)=72。，再根据切线的性质即可求解.

【详解】VZAOB=72°,C为4B的中点，

工ZAOC=36°

*：OA=OC

・•・ZOCA=1x(180°-36°)=72°

•・•直线MN与O相切,

・•・ZOCM=90°,

・•・ZACM=40cM-ZOCA=18°

故选：A.

8.A

【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找出等量关系，根据今

年第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%,列出方程即可.

【详解】解：将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，根据题意得：

(14-4.7%)x=120327,

故选：A.

9.B

【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；

A.由对称的性质得NAO8=NDOC,由等腰三角形的性质得NBOE=g/AOB,

NDOF=L/DOC,即可判断；

2

B.N80C不一定等于NA08,即可判断；

C.由对称的性质得，OA的ODC,由全等三角形的性质即可判断；

D.过。作GMJLOH,可得/GOD=/BOH,由对称性质得=/CO"同理可证

ZAOM=/BOH,即可■判断；

掌握轴对称的性质是解题的关键.

【详解】解：A.OEYOF,

/BOE+NBOF=，)。,

由对称得乙M)B=/DOC、

••,点E,〃分别是底边相，8的中点，0/W与一。£心都是等腰三角形，

;.NBOE=L/AOB,ZDOF=-ZDOC,

22

:"BOF+/DOF=90。,

:.OBLOD,结论正确，故不符合题意；

B.NBOC不一定等于NAO3,结论错误，故符合题意；

C.由对称得一OA四;ODC,

•・•点E,尸分别是底边AB,CO的中点，

:.OE=OF,结论正确，故不符合题意;

过。作GM_LO〃，

;.NGOD+NDOH=90°,

/BOH+/DOH=90。,

:"GOD=/BOH,由对称得NBOH=NCOH,

:"GOD=/COH,