2025版高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布10.4古典概型教学案苏教版

PAGE1-第四节古典概型[最新考纲]1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事务所包含的基本领件数及事务发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率．1．基本领件的特点(1)任何两个基本领件是互斥的．(2)任何事务(除不行能事务)都可以表示成基本领件的和．2．古典概型的特点3．古典概型的概率计算公式：P(A)＝eq\f(A包含的基本领件的个数,基本领件的总数).一、思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机模拟方法是以事务发生的频率估计概率． ()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事务是等可能事务． ()(3)概率为0的事务肯定是不行能事务． ()(4)从市场上出售的标准为500±5g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型． ()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)D[一枚硬币连掷2次可能出现(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四种状况，只有一次出现正面的状况有两种，故P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).]2．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下的2种颜色的花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花种在同一花坛的概率是()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(5,6)C[把这4种颜色的花种在两个花坛中的全部状况为(红，黄)，(白，紫)；(红，白)，(黄，紫)；(红，紫)，(黄，白)；(黄，白)，(红，紫)；(黄，紫)，(红，白)；(白，紫)，(红，黄)，共有6种，其中红色和紫色的花种在同一花坛的状况有2种，所以红色和紫色的花种在同一花坛的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，故选C.]3．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为()A.eq\f(2,5) B.eq\f(4,15)C.eq\f(3,5) D.eq\f(2,3)A[从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).]4．同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为．eq\f(5,6)[掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P＝1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6).]考点1简洁的古典概型计算古典概型事务的概率可分3步(1)计算基本领件总个数n；(2)计算事务A所包含的基本领件的个数m；(3)代入公式求出概率P.提示：解题时可依据须要敏捷选择列举法、列表法或树形图法．(1)甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是()A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,5)(2)(2024·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的概率为()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)(3)(2024·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的改变．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“－－”，如图就是一重卦．在全部重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.eq\f(5,16) B.eq\f(11,32)C.eq\f(21,32) D.eq\f(11,16)(1)D(2)D(3)A[(1)用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元．乙、丙、丁三人抢完6元钱的全部不同的可能结果有10种，分别为(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．乙获得“手气最佳”的全部不同的可能结果有4种，分别为(4,1,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．依据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).(2)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的状况如图：基本领件总数为25，第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的事务数为10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故选D.(3)由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在全部重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为Ceq\o\al(3,6)＝eq\f(6×5×4,6)＝20.依据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝eq\f(20,64)＝eq\f(5,16).故选A.]古典概型中基本领件个数的探求方法(1)枚举法：适合于给定的基本领件个数较少且易一一列举出的问题．(2)树状图法：适合于较为困难的问题，留意在确定基本领件时(x，y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．(3)排列组合法：在求一些较困难的基本领件个数时，可利用排列或组合的学问．[老师备选例题]1．设平面对量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，记“a⊥(a－b)”为事务A，则事务A发生的概率为()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)A[有序数对(m，n)的全部可能结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．由a⊥(a－b)，得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1,2,3,4}，故事务A包含的基本领件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以所求的概率P(A)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).]2．用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，若用a1，a2，a3，a4，a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a1＜a2＜a3＞a4＞a5特征的五位数的概率为．eq\f(1,20)[1,2,3,4,5可组成Aeq\o\al(5,5)＝120个不同的五位数，其中满意题目条件的五位数中，最大的5必需排在中间，左、右各两个数字只要选出，则排列位置就随之而定，满意条件的五位数有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝6个，故出现a1＜a2＜a3＞a4＞a5特征的五位数的概率为eq\f(6,120)＝eq\f(1,20).]1.(2024·武汉模拟)将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为()A.eq\f(3,10) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,20) D.eq\f(1,4)C[将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球有Ceq\o\al(3,6)种放法，甲盒中恰好有3个小球有Ceq\o\al(2,3)种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20).故选C.]2．已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是()A.eq\f(5,12) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)A[∵a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，∴基本领件总数n＝3×4＝12.函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数，①当a＝0时，f(x)＝－2bx，符合条件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1；②当a≠0时，须要满意eq\f(b,a)≤1，符合条件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4种．∴函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是P＝eq\f(5,12).]考点2古典概型与统计的综合求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的学问转化为事务，然后利用古典概型的有关学问解决，其解题流程为：(2024·天津高考)2024年，我国施行个人所得税专项附加扣除方法，涉及子女教化、接着教化、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采纳分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受状况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受状况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．员工项目ABCDEF子女教化○○×○×○接着教化××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○(ⅰ)试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；(ⅱ)设M为事务“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事务M发生的概率．[解](1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采纳分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．(2)(ⅰ)从已知的6人中随机抽取2人的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．(ⅱ)由表格知，符合题意的全部可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．所以，事务M发生的概率P(M)＝eq\f(11,15).有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是干脆描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，精确从题中提炼信息是解题的关键．[老师备选例题]某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)依据茎叶图计算样本数据的平均数；(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，依据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率．[解](1)由题意知，样本数据的平均数eq\x\to(x)＝eq\f(4＋6＋12＋12＋18＋20,6)＝12.(2)样本中优秀服务网点有2个，概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×eq\f(1,3)＝30(个)．(3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能状况有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15种，记“恰有1个是优秀服务网点”为事务M，则事务M包含的可能状况有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8种，故所求概率P(M)＝eq\f(8,15).移动公司拟在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行实惠，实惠方案如下：选择套餐1的客户可获得实惠200元，选择套餐2的客户可获得实惠500元，选择套餐3的客户可获得实惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．(1)求从中任选1人获得实惠金额不低于300元的概率；(2)若采纳分层抽样的方式从参与活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等实惠金额的概率．[解](1)设事务A为“从中任选1人获得实惠金额不低于300元”，则P(A)＝eq\f(150＋100,50＋150＋100)＝eq\f(