2025年中考数学总复习《图形的旋转》专项检测卷附答案

第第页2025年中考数学总复习《图形的旋转》专项检测卷附答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．（2024秋•徐水区期末）如图，格点三角形甲逆时针旋转90°后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q2．（2024秋•徐水区期末）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（2024秋•楚雄州期末）下列图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．（2025•西安校级二模）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．如意纹 B．冰裂纹 C．盘长纹 D．风车纹5．（2024秋•朝阳区期末）如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（）A．点A B．点B C．点C D．点D6．（2024秋•香河县期末）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，∠B＝45°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，CD的长为（）A．2 B．4−2 C．4 D．7．（2024秋•河西区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D在BC上，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE，DE，则下列结论一定正确的是（）A．∠EBC＝∠BAC B．AD＝AC C．∠AEB＝∠ABE D．BA＝BE8．（2024秋•沙坪坝区校级期末）在△ABC中，∠ACB＝120°，∠A＝m°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′．如图，在△ABC旋转过程中，连接CC′，交AB于点D，当CC'∥A′B时，∠BDC为（）A．m° B．60°+2m° C．60°﹣m° D．120°﹣2m°9．（2025•鹿城区校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，设AC＝x，BC＝y，且x+y是定值．点D是AC上一点，点E为AB中点，连接CE，将线段CE沿绕点E顺时针旋转90°，得到线段EF交AC于点G，若点A关于直线DE的对称点恰为点F，则下列线段长为定值的是（）A．AD B．CD C．CG D．DE10．（2024秋•临淄区期末）如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（）A．点A B．点B C．点C D．点D二．填空题（共5小题）11．（2024秋•白碱滩区期末）在平面直角坐标系中，点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，则a＝，b＝．12．（2024秋•霸州市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B（0，3），连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC1，连接OC1，再将AC1绕点A顺时针旋转90°得到AC2，连接OC2，…，绕点A连续旋转24次得到线段AC24，那么线段OC24的长度为．13．（2024秋•田阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC=3，将△ABC绕点顶C顺时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是14．（2024秋•白碱滩区期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A(32，0)，B（0，2），则点B202315．（2024秋•武威期末）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得△A′B′C，连接AB′，若∠A′B′A＝25°，则∠B的大小为.三．解答题（共5小题）16．（2024秋•徐水区期末）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上（1）以O为原点建立平面直角坐标系，若点A的坐标为（﹣1，3），则点B的坐标为；（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△A1B1O，并求线段AB扫过的面积．17．（2024秋•澄迈县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，把Rt△ABC绕着B点逆时针旋转，得到Rt△DBE，点E在AB上．（1）则以下线段的数量关系为：BDAB，DEAC，BEBC（填“＞”，“＜”或“＝”）；（2）若∠BDA＝70°，求∠BAC的度数；（3）若BC＝8，AC＝6，求△ABD中AD边上的高．18．（2024秋•白碱滩区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，0），C（4，4）．（1）按下列要求作图：①将△ABC向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A2B1C2．（2）求点C1在旋转过程中所经过的路径长．（结果保留π）19．（2024秋•巩义市期末）已知△ACD中，AC＝AD，∠CAD＝α，∠PAC＝30°，将点C关于直线AP对称，得到点B，连接BA．（1）连接BD，①依题意，在图1中补全图形；②若α＝80°，则∠BDC的度数为；③当α的度数发生变化时，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE．若α＝90°．求证：CE⊥ED．20．（2024秋•邗江区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，P、Q为平面内不重合的两个点，其中P（x1，y1），Q（x2，y2），若有2（x1﹣y1）＝x2﹣y2，则称点Q为点P的“两倍差点”．（1）在点A（0，2）、B（3，﹣1）、C(2+1，2−1)、D（1，﹣1）中，点（2）已知点M的坐标为（﹣1，2）：①若点N是直线y＝2x+3上一点，且点M是点N的“两倍差点”；求点N的坐标；②若点H的坐标为（2，0），点T是点M的“两倍差点”，当线段HT距离最小时，点T的坐标为；（3）若将直线y=−12x+32在y轴左侧的图象沿x轴翻折，其余图象保持不变，所形成的新的图象记为图形W，若图形W上恰好有点P参考答案与试题解析题号12345678910答案ABADCDABBB一．选择题（共10小题）1．（2024秋•徐水区期末）如图，格点三角形甲逆时针旋转90°后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】A【分析】根据旋转的性质，先找到旋转前后的对应点，再连线作线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是旋转中心．【解答】解：如图，由旋转性质可知点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，∴旋转中心在AE的垂直平分线上，也在BF的垂直平分线上，分别作AE的垂直平分线和BF的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为M点，即旋转中心为M点．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握该知识点是关键．2．（2024秋•徐水区期末）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；应用意识．【答案】B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项分析判断如下：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；B、是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（2024秋•楚雄州期末）下列图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形．【专题】平移、旋转与对称；应用意识．【答案】A【分析】把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐一判断即可．【解答】解：根据中心对称图形的性质逐项分析判断如下：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的性质是关键．4．（2025•西安校级二模）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．如意纹 B．冰裂纹 C．盘长纹 D．风车纹【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】D【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可．【解答】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意；B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则B不符合题意；C是轴对称图形，也是中心对称图形，则C不符合题意；D不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D符合题意；故选：D．【点评】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．5．（2024秋•朝阳区期末）如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【考点】旋转的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】观察图形可知，点C到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等，再根据勾股定理进行验证即可．【解答】解：如图，两个格点三角形分别为△ABP和△QRA，连接CA、CQ、CP、CB、CR，设正方形网格中的每个小正方形的边长均为1，由勾股定理得CA＝CP＝CQ=12+22=∵△ABP和△QRA的每一组对应顶点到点C的距离都相等，∴两个格点△ABP和△QRA的旋转中心是点C，故选：C．【点评】此题重点考查旋转的性质、勾股定理等知识，观察图形并且找出到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等的点是解题的关键．6．（2024秋•香河县期末）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，∠B＝45°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，CD的长为（）A．2 B．4−2 C．4 D．【考点】旋转的性质；勾股定理；等腰直角三角形．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】D【分析】根据旋转的性质结合∠B＝45°，推出△ABD是等腰直角三角形，即可推出结果．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴BD=2AB＝22又∵BC＝4，∴CD＝BC﹣BD＝4﹣22，故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．7．（2024秋•河西区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D在BC上，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE，DE，则下列结论一定正确的是（）A．∠EBC＝∠BAC B．AD＝AC C．∠AEB＝∠ABE D．BA＝BE【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】A【分析】证明△AEB≌△ADC（SAS），得出∠ABE＝∠C，可得出结论．【解答】解：∵将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠EAB+∠BAD＝∠BAD+∠DAC，∴∠EAB＝∠DAC，又∵AB＝AC，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴∠ABE＝∠C，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABE＝∠ABC＝∠C＝45°，∴∠EBC＝∠BAC＝90°，故选项A一定正确，由已知条件无法一定得出B、C、D正确，故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟记旋转的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．8．（2024秋•沙坪坝区校级期末）在△ABC中，∠ACB＝120°，∠A＝m°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′．如图，在△ABC旋转过程中，连接CC′，交AB于点D，当CC'∥A′B时，∠BDC为（）A．m° B．60°+2m° C．60°﹣m° D．120°﹣2m°【考点】旋转的性质；平行线的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】B【分析】由旋转的性质可得∠ABC＝∠A'BC'＝60°﹣m°，BC＝BC'，由平行线的性质可得∠A'BC'＝∠BC'C＝60°﹣m°，即可求解．【解答】解：∵∠ACB＝120°，∠A＝m°，∴∠ABC＝60°﹣m°，∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，∴∠ABC＝∠A'BC'＝60°﹣m°，BC＝BC'，∴∠BCC'＝∠BC'C，∵CC'∥A′B，∴∠A'BC'＝∠BC'C＝60°﹣m°，∴∠BC'C＝60°﹣m°，∴∠BDC＝180°﹣∠ABC﹣∠BC'C＝60°+2m°，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．9．（2025•鹿城区校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，设AC＝x，BC＝y，且x+y是定值．点D是AC上一点，点E为AB中点，连接CE，将线段CE沿绕点E顺时针旋转90°，得到线段EF交AC于点G，若点A关于直线DE的对称点恰为点F，则下列线段长为定值的是（）A．AD B．CD C．CG D．DE【考点】旋转的性质；直角三角形斜边上的中线；轴对称的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似．【答案】B【分析】连接AF，DF，DE，在AC上取点H，使得CH＝BC，连接BH，作EK⊥AC于K，先根据直角三角形斜边中线的性质以及旋转的性质确定△AEF为等腰三角形，根据三角形内角和定理以及外角的性质求出∠DAF＝45°，再根据对称的性质，求出∠EDC的度数，从而得到DE∥BH，再根据三角形中位线定理用x，y表示出AD，CD，DE，最后根据三角形中位线定理以及平行线分线段成比例用x，y表示出CG，根据x+y为定值即可判断哪条线段为定值．【解答】解：连接AF，DF，DE，在AC上取点H，使得CH＝BC，连接BH，作EK⊥AC于K，如图：∵∠ACB＝90°，E为AB中点，∴AE＝CE＝BE，由旋转的性质可知，EF＝CE，∠FEC＝90°，∴△AEF和△CEB为等腰三角形，∠AEF+∠BEC＝90°，设∠BAC＝α，则∠BEC＝2∠BAC＝2α，∴∠AEF＝90°﹣2α，∴∠EAF=12（180°﹣∠AEF）＝45°+∴∠DAF＝45°，由对称的性质可知，AD＝DF，∠ADE＝∠FDE，∴∠DFA＝∠DAF＝45°，∴∠ADF＝90°，∴DF⊥AC，又∵∠ADE+∠EDF+∠ADF＝360°，∴∠ADE＝∠FDE＝135°，∴∠EDC＝45°，∵CH＝BC，∠HCB＝90°，∴∠BHC＝45°，BH=2BC=2y，AH＝AC﹣BC＝x﹣∴DE∥BH，∵E是AB中点，∴DE是△AHB的中位线，∴DE=12BH=22y，AD∴DE和AD均不是定值，∴CD＝AC﹣AD=x+y∴CD为定值，∵EK⊥AC，∴DF∥EK∥BC，∴EK=12BC=12y，AK=∴DK＝AK﹣AD=12∵DGGK∴DG=y(x−y)∴CG＝CD﹣DG=x∴CG不是定值；综上所述，CD为定值．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例、三角形中位线定理以及对称和旋转的性质，通过三角形内角和定理以及直角三角形斜边中线的性质求出∠DAF是本题解题的关键．10．（2024秋•临淄区期末）如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称．【答案】B【分析】根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心．【解答】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点B为旋转中心．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单．二．填空题（共5小题）11．（2024秋•白碱滩区期末）在平面直角坐标系中，点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，则a＝2，b＝﹣1．【考点】关于原点对称的点的坐标．【专题】平移、旋转与对称；符号意识．【答案】2；﹣1．【分析】根据点P（x，y）关于原点对称的点的坐标为（﹣x，﹣y），据此即可求出a、b的值．【解答】解：由条件可知a＝2，b＝﹣1，故答案为：2，﹣1．【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标．熟练掌握点P（x，y）关于原点对称的点的坐标为（﹣x，﹣y）是关键．12．（2024秋•霸州市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B（0，3），连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC1，连接OC1，再将AC1绕点A顺时针旋转90°得到AC2，连接OC2，…，绕点A连续旋转24次得到线段AC24，那么线段OC24的长度为3．【考点】坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】3．【分析】根据旋转的性质，得到线段AB每旋转4次，回到初始位置，即可求出旋转24次线段AC24的位置，即可求解．【解答】解：根据旋转的性质得，线段AB每旋转4次，回到初始位置，∵24÷4＝6，∴线段AC24与线段AB重合，点C24与点B重合，∵点B（0，3），∴OB＝3，∴OC24＝OB＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，解题的关键是：熟练掌握旋转的性质．13．（2024秋•田阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC=3，将△ABC绕点顶C顺时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是7【考点】旋转的性质；勾股定理．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】7．【分析】根据直角三角形的性质可得∠ACB＝30°，因而可知∠BCM＝90°，然后利用勾股定理可得答案．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC=3∴AC＝2，∴∠ACB＝30°，∵△ABC绕点顶C顺时针旋转60°，得到△MNC，∴∠BCM＝90°，AC＝MC＝2，∴BM=B故答案为：7．【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转，直角三角形的性质，勾股定理，准确把握旋转的性质是解题的关键．14．（2024秋•白碱滩区期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A(32，0)，B（0，2），则点B2023【考点】坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．【专题】规律型；平移、旋转与对称；应用意识．【答案】（6070，0）．【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B1、B3…，由图象可知点B2021在x轴上OB1＝4，B1B3＝6，根据这个规律可以求得B2023的坐标．【解答】解：由图象可知点B2023在x轴上，∵OA=32，OB＝2，∠∴AB=O∴B1（4，0），B3（10，0），B5（16，0），…，∴OB1＝4，B1B3＝B3B5＝6，∵2023÷2＝1011•••3，∴1011×6＝6066，6066+4＝6070，∴B2023（6070，0）．故答案为（6070，0）．【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．15．（2024秋•武威期末）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得△A′B′C，连接AB′，若∠A′B′A＝25°，则∠B的大小为70°.【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】70°．【分析】根据旋转的性质可得AC＝BC，∠ACB＝90°，∠B＝∠CA'B'，进而得出∠AB′C＝45°，∠A′B′C＝20°，根据三角形的内角和即可求解．【解答】解：∵将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得△A′B′C，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∠B＝∠CA'B'，∴∠AB′C＝45°，∵∠A′B′A＝25°，∴∠A′B′C＝20°，∴∠B＝∠CA'B′＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键．三．解答题（共5小题）16．（2024秋•徐水区期末）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上（1）以O为原点建立平面直角坐标系，若点A的坐标为（﹣1，3），则点B的坐标为（﹣2，1）；（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△A1B1O，并求线段AB扫过的面积．【考点】作图﹣旋转变换；扇形面积的计算．【专题】作图题；运算能力．【答案】（1）（﹣2，1）；（2）图见解析，54【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，写出点B的坐标即可；（2）找到A、B绕点O顺时针旋转90°后的对应点A1、B1，顺次连接A1、B1、O即可得到△A1B1O，再求出线段AB扫过的面积．【解答】解：（1）如图，建立平面直角坐标系，点A的坐标为（﹣1，3），则点B的坐标为（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）；（2）如图所示，△A1B1O即为所作．OA=10，OB=∴S线段AB扫过的面积=S【点评】此题考查了点的坐标、旋转的作图和扇形面积公式．熟练掌握以上知识点是关键．17．（2024秋•澄迈县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，把Rt△ABC绕着B点逆时针旋转，得到Rt△DBE，点E在AB上．（1）则以下线段的数量关系为：BD＝AB，DE＝AC，BE＝BC（填“＞”，“＜”或“＝”）；（2）若∠BDA＝70°，求∠BAC的度数；（3）若BC＝8，AC＝6，求△ABD中AD边上的高．【考点】旋转的性质；全等三角形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】（1）＝，＝，＝；（2）50°；（3）310【分析】（1）由旋转的性质得△ACB≌△DEB，进而可得对应边相等；（2）由旋△ACB≌△DEB得BD＝BA，∠DBA＝∠ABC，据此可得∠BAD＝∠BDA＝70°，从而得∠ABC＝∠ABD＝40°，结合∠C＝90°可得答案；（3）先由勾股定理得AB＝10，再由△ACB≌△DEB得∠DEB＝∠C＝90°且BE＝BC＝8，DE＝AC＝6，从而得AE＝2，利用勾股定理得AD=210，设AD边上的高为h【解答】解：（1）由旋转得△ACB≌△DEB，∴BD＝AB，DE＝AC，BE＝BC，故答案为：＝，＝，＝；（2）由△ACB≌△DEB得：BD＝BA，∠DBA＝∠ABC，∴∠BAD＝∠BDA＝70°，∴∠ABD＝40°，∴∠ABC＝∠ABD＝40°，∴∠BAC＝50°；（3）∵BC＝8，AC＝6，∠C＝90°，∴AB=B由△ACB≌△DEB得，∠DEB＝∠C＝90°且BE＝BC＝8，DE＝AC＝6，∴AE＝AB﹣BE＝2，在Rt△DEA中，AD＝210，设AD边上的高为h，∴ℎ=AB⋅DE即△ABD中AD边上的高为310【点评】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质和勾股定理．熟练掌握以上知识点是关键．18．（2024秋•白碱滩区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，0），C（4，4）．（1）按下列要求作图：①将△ABC向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A2B1C2．（2）求点C1在旋转过程中所经过的路径长．（结果保留π）【考点】作图﹣旋转变换；轨迹；作图﹣平移变换．【答案】（1）①作图见解析；②作图见解析；（2）2π．【分析】（1）①利用点平移的坐标规律，分别写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后连接A1B1、A1C1、B1C1可得△A1B1C1；②利用网格特点和旋转的性质，分别画出点A1、C1的对应点A2、C2，然后连接A2B1、A2C2、B1C2可得△A2B1C2；（2）根据弧长公式计算．【解答】（1）①如图所示，则△A1B1C1即为所作；∴A1（﹣3，2），B1（0，1），C1（0，5）；②如上图，△A2B1C2为所作；（2）∵90⋅π⋅4180∴点C1在旋转过程中所经过的路径长为2π．【点评】本题考查作图—旋转变换、平移变换，弧长公式，解题的关键是掌握旋转的性质：对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移的性质．19．（2024秋•巩义市期末）已知△ACD中，AC＝AD，∠CAD＝α，∠PAC＝30°，将点C关于直线AP对称，得到点B，连接BA．（1）连接BD，①依题意，在图1中补全图形；②若α＝80°，则∠BDC的度数为30°；③当α的度数发生变化时，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE．若α＝90°．求证：CE⊥ED．【考点】几何变换综合题．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】（1）①见解析过程；②30°；③∠BDC的大小不变，∠BDC＝30°；（2）见解析过程．【分析】（1）①根据题意画出图形即可求；②由等腰三角形的性质可得∠ADC＝∠ACD＝50°，由轴对称的性质可得∠PAB＝∠PAC＝30°，AB＝AC，即可求解；③由等腰三角形的性质可得∠ADC＝∠ACD＝90°−12α，由轴对称的性质可得∠PAB＝∠PAC＝30°，AB＝（2）由“AAS”可证△ABE≌△ACH，可证AE＝AH，∠BAE＝∠CAH＝45°，可证△AEH是等边三角形，可得EH＝AH＝CH＝DH，即可求解．【解答】（1）：①解：如图所示；②解：∵AC＝AD，∠CAD＝80°，∴∠ADC＝∠ACD＝50°，∵∠PAC＝30°，将点C关于直线AP对称，得到点B，∴∠PAB＝∠PAC＝30°，AB＝AC，∴∠BAD＝140°，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝20°，∴∠BDC＝30°，故答案为：30°；③解：∠BDC的大小不变，理由如下：∵AC＝AD，∠CAD＝α，∴∠ADC＝∠ACD＝90°−12∵∠PAC＝30°，将点C关于直线AP对称，得到点B，∴∠PAB＝∠PAC＝30°，AB＝AC，∴∠BAD＝60°+α，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝60°−12∴∠BDC＝30°；（2）证明：过点A作AH⊥CD于H，连接EH，∵AC＝AD，∠CAD＝90°，AH⊥CD，∴AH＝CH＝DH，∵∠B＝∠ACD，AB＝AC，∠AEB＝∠AHC＝90°，∴△ABE≌△ACH（AAS），∴AE＝AH，∠BAE＝∠CAH＝45°，∴∠BAC＝2∠PAC＝60°＝∠EAH，∴△AEH是等边三角形，∴EH＝AH＝CH＝DH，∴∠CED＝90°，∴CE⊥DE．【点评】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．20．（2024秋•邗江区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，P、Q为平面内不重合的两个点，其中P（x1，y1），Q（x2，y2），若有2（x1﹣y1）＝x2﹣y2，则称点Q为点P的“两倍差点”．（1）在点A（0，2）、B（3，﹣1）、C(2+1，2−1)、D（1，﹣1）中，点C，D（2）已知点M的坐标为（﹣1，2）：①若点N是直线y＝2x+3上一点，且点M是点N的“两倍差点”；求点N的坐标；②若点H的坐标为（2，0），点T是点M的“两倍差点”，当线段HT距离最小时，点T的坐标为（﹣2，4）；（3）若将直线y=−12x+32在y轴左侧的图象沿x轴翻折，其余图象保持不变，所形成的新的图象记为图形W，若图形W上恰好有点P【考点】几何变换综合题．【专题】新定义；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【答案】（1）C，D；（2）①N（−3②（﹣2，4）；（3）−3【分析】（1）根据定义得：x2﹣y2＝2（2﹣1）＝2，进一步得出结果；（2）①设N（x，2x+3），根据定义得出2[x﹣（2x+3）]＝﹣1﹣2，求得x=−3②设T（x，y），根据定义得出x﹣y＝2×（﹣1﹣2），从而y＝x+6，T在直线l：y＝x+6上运动，当HT⊥l时，HT最小，进一步得出结果；（3）可得出直线y=−12x+32在y轴右侧的图象是射线AB，直线y=−12x+32在y轴左侧的图象沿x轴翻折的图象是射线y=12x−32，设射线AB上的点Q（a，−12a+32）是点P的“两倍差点”，根据定义得出2m＝a﹣（−12a+32）【解答】解：（1）由题意得，x2﹣y2＝2（2﹣1）＝2，∵0﹣2＝﹣2≠2，3﹣（﹣1）＝4≠2，（2+1)−(∴C和D是点E的“两倍差点”，故答案为：C，D；（2）①设N（x，2x+3），∴2[x﹣（2x+3）]＝﹣1﹣2，∴x=−3∴2×(−3∴N（−3②如图1，设T（x，y），∴x﹣y＝2×（﹣1﹣2），∴y＝x+6，如图1，T在直线l：y＝x+6上运动，当HT⊥l时，HT最小，设l交x轴于A（﹣6，0），交y轴于C（0，6），作TB⊥AH，∴OA＝OC，∵∠AOC＝90°，∴∠CAO＝∠ACO＝45°，∴△ATH是等腰直角三角形，∴AB＝BH，TB=12∵AH＝2﹣（﹣6）＝8，12∴TB＝4，∴T（﹣2，4）；故答案为：（﹣2，4）；（3）如图2，直线y=−12x+32在y轴右侧的图象是射线AB，直线y=−12x+设射线AB上的点Q（a，−12a+则2m＝a﹣（−12a+32∴a=4∵a＞0，∴43∴m＞−3设射线CD上的点F（b，12b−3∴2m＝b﹣（12∴b＝4m﹣3，∵b＜0，∴4m﹣3＜0，∴m＜3∴−3【点评】本题在新定义的基础上，考查了一次函数及其图象的性质，解一元一次不等式组，等腰直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是对新定义的理解．

考点卡片1．规律型：点的坐标1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．2．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．3．全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．4．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．5．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．6．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．7．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2−b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．8．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以