2025年广州市高三一模数学高考试卷及答案详解

第=page11页，共=sectionpages11页广东省广州市2025届高三毕业班综合测试（一）数学试题（广州市一模）❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足1+iz=i，则z的虚部为(

)A.−1 B.1 C.−i D.i2.已知集合A={x|0≤x≤a}，B={x|x2−2x≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是A.(0,2) B.(0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞)3.在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，BC=4EC，点F是线段DE的中点，若AF=λAB+μA.54 B.1 C.78 4.已知球O的表面积为4π，一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线与下底面所成角为π3，则该圆台的侧面积为(

)A.334π B.32π5.已知点P在双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上，且点PA.3 B.2 C.3 D.6.已知实数a，b满足3a=4bA.b<a<0 B.2b<a<0 C.0<a<b D.0<2b<a7.已知ω>0，曲线y=cosωx与y=cos(ωx−πA.33π B.22π8.定义域为R的偶函数f(x)在(−∞,0]上单调递减，且f(3)=0，若关于x的不等式(mx−2)f(x−2)≥(nx+3)f(2−x)的解集为[−1,+∞)，则em−2n+en+1A.2e3 B.2e2 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：10，7，7，8，8，9，7;第二组：10，5，5，8，9，9，10.则(

)A.两组数据的平均数相等

B.第一组数据的方差大于第二组数据的方差

C.两组数据的极差相等

D.第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数10.已知函数f(x)=ln4−xx+ax在x=3处取得极大值，f(x)的导函数为f′(x)A.a=43

B.当0<x<1时，f(x)>f(x2)

C.f′(2+x)=f′(2−x)

D.当11.如图，半径为1的动圆C沿着圆O:x2+y2=1外侧无滑动地滚动一周，圆C上的点P(a,b)形成的外旋轮线Γ，因其形状像心形又称心脏线.已知运动开始时点P与点A(1,0)重合.A.曲线Γ上存在到原点的距离超过23的点

B.点(1,2)在曲线Γ上

C.曲线Γ与直线x+y−22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知cosαsin(α−β)−sinαcos13.将1，2，3，⋯，9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有

种.414.在正三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=32，AB=6，点D在△ABC内部运动(包括边界)，点D到棱PA，PB，PC的距离分别记为d1，d2，d3，且d12四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

已知c=a(1+2(1)求证：B=2A;(2)若a=3，b=26，求△ABC的面积16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2BC=2，侧面PCD是等边三角形，三棱锥A−PBD的体积为33，点E是棱CP的中点.(1)求证：平面PBC⊥平面PCD;(2)求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值.17.(本小题15分)n(n∈N∗,n≥3)个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙;否则，传球者等可能地将球传给另外的n−1个人中的任何一个.第一次传球由甲手中传出，第k(k∈N(1)求A5(2)，B5(2)(2)求A(3)比较Bn(k+1)与n−2n−118.(本小题17分)

已知动点P到点F(12,0)的距离等于它到直线x=−12(1)求C的方程;(2)O为坐标原点，过点M(2,0)且斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，直线AO与直线x=−2相交于点D，过点B且与C相切的直线交x轴于点E.(ⅰ)证明：直线DE//l;(ⅱ)满足四边形ABDE的面积为12的直线l共有多少条?说明理由.19.(本小题17分)已知n∈N∗且n≥3，集合An={a1,a2,⋯,an}，其中0<a1<a2<⋯<an.若存在函数f(x)(f(x)≠x)，其图象在区间D=[a1,an]上是一段连续曲线，且{f(ai(1)判断集合{1,2,8,9}是否是[1,9]的T子集?说明理由;(2)判断f(x)=ln(1+2ex)是否为集合A(3)若ai<aj(i,j∈N∗,1≤i<j≤n)，则ajai∈An，试问是否存在函数f(x)，使得集合A答案和解析1.【答案】B

【解析】由题意得iz=i−1，z=i−1i=(i−1)×ii×i=−1−i2.【答案】D

【解析】解：A={x|0≤x≤a}，B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，B⊆A，

则a≥2.3.【答案】C

【解析】解：已知点F是线段DE的中点，根据向量加法的平行四边形法则，可得：AF=12(AD+AE)，

因为BC=4EC，所以BE=34BC，

在平行四边形ABCD中，BC=AD，那么BE=344.【答案】B

【解析】解：设球的半径为R，可得4πR2=4π，即R=1，

∵圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线与下底面所成角为π3，

∴圆台的下底面半径为R，圆台的母线长为R，圆台的高ℎ=Rsinπ3=35.【答案】D

【解析】解：设点Px0,y0，则y02=b2x02−a2a2，

双曲线的渐近线方程为y=

±bax，即6.【答案】B

【解析】解：设3a=4b=k，

则a=log3k，b=log4k，

当k>1时，a>0，b>0，ab=log3klog4k=lgklg3lgklg4=lg4lg3=log7.【答案】A

【解析】解：由cosωx=cos(ωx−π3)得cosωx=12cosωx+32sinωx，

即cosωx=3sinωx，即tanωx=338.【答案】C

【解析】解：因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x−2)=f(2−x)，

所以(mx−2)f(x−2)≥(nx+3)f(2−x)可化为(mx−2−nx−3)f(x−2)≥0，即[(m−n)x−5]f(x−2)≥0，

因为f(x)在(−∞,0]上单调递减，且f(3)=0，所以f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(−3)=0，

所以当x∈(−∞,−1)∪(5,+∞)时，f(x−2)>0，当x∈(−1,5)时，f(x−2)<0，

因为[(m−n)x−5]f(x−2)≥0的解集为[−1,+∞),

所以当x∈[−1,5]时，(m−n)x−5≤0恒成立，或x∈(5,+∞)时，(m−n)x−5≥0恒成立，

所以m−n=1，

所以em−2n+en+1=e1−n+en+1≥29.【答案】AD

【解析】解：A选项：第一组数据的平均数为10+7+7+8+8+9+77=8，

第二组数据的平均数为10+5+5+8+9+9+107=8，

所以两组数据的平均数相等，A正确;

B选项：第一组数据的方差为1710−82+7−82+7−82+8−82+8−82+9−82+7−82=87，

第二组数据的方差为1710−810.【答案】ACD

【解析】解：由4−xx>0，则0<x<4，则函数f(x)的定义域为(0,4)，

则f(x)=ln(4−x)−lnx+ax，x∈(0,4)，则f′(x)=1x−4−1x+a，

因为函数f(x)在x=3处取得极大值，所以f′(3)=−1−13+a=0，即a=43，

此时f(x)=ln(4−x)−lnx+43x，则f′(x)=1x−4−1x+43=4(x−1)(x−3)3x(x−4)，

令f′(x)<0，得0<x<1或3<x<4;令f′(x)>0，得1<x<3，

所以函数f(x)在(0,1)和(3,4)上单调递减，在(1,3)上单调递增，

则函数f(x)在x=3处取得极大值，符合题意，即a=43，故A正确;

由上述可知函数f(x)在(0,1)上单调递减，当0<x<1时，0<x2<x<1，则f(x)<f(x2)，故B错误;

由f′(x)=11.【答案】BCD

【解析】解：首先建立动圆滚动过程中的参数方程，已知定圆O:x2+y2=1，半径r=1，

设动圆滚动的圆心角为θ(弧度制)，动圆的圆心为C，动圆半径R=1.

因为|OC|=1+1=2，所以动圆的圆心C的坐标为(2cosθ,2sinθ).

设点P(a,b)，根据圆的滚动性质，因为开始时P(1,0)，动圆滚动θ角度后，

P点相对动圆圆心的角度变化，点P相对于动圆圆心C的坐标为(cos(θ+π2),sin(θ+π2))，

根据三角函数诱导公式，则P点坐标满足a=2cos θ−sin θb=2sin θ+cos θ.

分析选项A:计算点P(a,b)到原点O的距离d=a2+b2，将a=2cosθ−sinθ，b=2sinθ+cosθ代入可得：

a2+b2=(2cosθ−sinθ)2+(2sinθ+cosθ)2=5，所以d=a2+b2=5<23，A12.【答案】−3【解析】解：由两角差的正弦公式可知：

cosαsin(α−β)−sinαcos(β−α)

=sin(α−β)cosα−cos(α−β)sinα

=13.【答案】12

【解析】解：由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得9在左上角，1在右下角，如图，

2，3排在d，f位置，有A22种方法，从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在a，b位置，有C42种方法，

最后两个数字从上到下由大到小排在c，e位置，有1种方法，

所以填写方格表的方法共有A2214.【答案】2π

【解析】解：∵正三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=32，AB=6，

∴PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC，

可将该三棱锥放置在棱长为32的正方体之中，如图.

过D作各个面的垂线，如图，

d12+d22+d32=DE2+EH2+DF2+FJ2+DF2+FI2

=2DE2+DF2+DG2=20，

∴DE2+DF2+DG2=10，∴DP=10，

D在以P为球心，15.【答案】解：(1)由题意得：根据正弦定理得：sinC=sinA(1+2cosB)

所以sinA+B=sinA+2sinAcosB

所以sinAcosB+cosAsinB=sinA+2sinAcosB

所以sinA=cosAsinB−sinAcosB=sinB−A

所以A=B−A【解析】详细解答和解析过程见【答案】16.【答案】(1)证明：设P到底面ABCD的距离为h，

∴VA−PBD=VP−ABD=13S△ABD⋅ℎ=13⋅ℎ=33⇒ℎ=3，

取CD中点O，连接PO，

∵△PCD为等边三角形，且CD=2，

∴PO=3=ℎ，

∴PO⊥平面ABCD，

又BC⊂平面ABCD，

∴PO⊥BC，

又∵BC⊥CD，PO∩CD=O，PO，CD⊂平面PCD，

∴BC⊥平面PCD，

∵BC⊂平面PBC，

∴平面PBC⊥平面PCD.

(2)如图建系.

则B(1,1,0)，D(0,−1,0)，E(0,12,32)

则DB=(1,2,0)，DE=(0,32,【解析】详细解答和解析过程见【答案】17.【答案】解：(1)

∴A5(2)=14，B5(2)=0，A5(3)=34×14=316，B5(3)=14+34×14=716.

(2)由题意知，若第k+1次球在甲手中，则第k次不在甲手中，

第k次球不在甲手中的概率是1−Ank，

此时传球者传给甲的概率是1n−1，

即An(k+1)=1n−1[1−An(k)]，A【解析】详细解答和解析过程见【答案】18.【答案】解：(1)由题意知动点P的轨迹为抛物线，

设方程为y2=2px(p>0)，

则p2=12，解得p=1，

∴C的方程y2=2x;

(2)(i)设直线AB的方程为x=my+2，m≠0，A(y122,y1)，B(y222,y2)，设y1>0.

由x=my+2y2=2x⇒y2−2my−4=0⇒y1y2=−4，

kOA=2y1，直线OA方程为y=2y1x，∴D(−2,−4y1)，

抛物线在B处的切线方程为：y2y=2⋅y222+x2=y222+x，

令y=0⇒E(−y222,0).∴kDE=【解析】详细解答和解析过程见【答案】19.【答案】解：(1)令f(x)=10−x，f(x)在[1,9]上是连续函数，

且f(1)=9，f(2)=8，f(8)