合肥工业大学高等数学下91省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第一节多元函数基本概念

一、平面点集n维空间二、多元函数概念三、多元函数极限四、多元函数连续性第九章多元函数微分学第1页点P0去心邻域记为1.邻域比如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点集称为点P0

邻域.一、平面点集n维空间第2页在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻域与圆邻域平面上方邻域为。能够相互包含.第3页(1)内点、外点、边界点设有点集E及一点P:

若存在点P某邻域U(P)E,

若存在点P某邻域U(P)∩E=,则称P为E内点；则称P为E外点;

若对点P任一邻域U(P)既含E中内点也含E则称P为E边界点.外点,显然,E内点必属于E,

E外点必不属于E,E

边界点可能属于E,也可能不属于E.2.区域第4页若对任意给定,邻域内总有E中点,则称P是E聚点.聚点能够属于E,也能够不属于E

(因为聚点能够为E边界点)(2)聚点第5页D

若点集E点都是内点，则称E为开集；

若点集E

边界,则称E为闭集；

开区域连同它边界一起称为闭区域.

若集D中任意两点都可用一完全属于D折线相连,则称D是连通;

连通开集称为开区域;

E边界点全体称为E边界;(3)开区域及闭区域第6页比如，在平面上开区域闭区域第7页

整个平面是最大开域,

也是最大闭域；

点集

是开集，但非开区域.o

对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点

A距离APK,则称D为有界域,界域.不然称为无存在一圆盘,可覆盖整个区域,即为有界域.第8页3.n维空间n元有序数组全体称为n维空间,记作即n维空间中每一个元素称为空间中称为该点第k个坐标.一个点,当全部坐标称该元素为

中零元,记作O.中点a邻域为第9页二、多元函数概念

引例:

圆柱体体积

定量理想气体压强

三角形面积海伦公式第10页定义1.设非空点集点集D称为函数定义域;数集称为函数值域.尤其地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上

n元函数,记作第11页比如,二元函数定义域为圆域说明:

二元函数

z=f(x,y),(x,y)

D图形为中心在原点上半球面.图形普通为空间曲面.第12页三、多元函数极限定义2.

设n元函数点,则称A为函数(也称为n重极限)当n=2时,记二元函数极限可写作：P0是D聚若存在常数A,对一记作都有对任意正数

,总存在正数,切第13页例1

设求证：证:故总有要证第14页例2

设求证：证：故总有要证第15页

若当点不一样值或有极限不存在，解设沿直线趋于点在点(0,0)极限.则能够断定函数极限不存则有k值不一样极限不一样!在(0,0)点极限不存在.以不一样方式趋于在。例3

讨论函数函数趋于第16页例4求解这里函数定义域为为聚点。由积极限运算法则，得第17页例5

求而解因则故第18页仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.

二重极限不一样.

假如它们都存在,则三者相等。比如,显然与累次极限但由例3知它在(0,0)点二重极限不存在.第19页四、多元函数连续性

定义3

.

设n元函数定义在D上,假如存在假如函数在D上各点处都连续,则称此函数在

D

上连续.不然称为不连续,此时称为间断点.则称n元函数连续,

第20页比如,函数在点(0,0)极限不存在,故(0,0)为其间断点.

又如,函数在圆周上间断.

结论:

一切多元初等函数在定义区域内连续.第21页定理：若

f(P)在有界闭域

D

上连续,则*(4)f(P)必在D

上一致连续.在

D

上可取得最大值

M及最小值

m;(3)对任意(有界性定理)

(最值定理)

(介值定理)

(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似以下性质:(证