题型09 6类圆锥曲线离心率解题技巧-高考数学答题技巧与模板构建

题型096类圆锥曲线离心率解题技巧（定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程求离心率）技法01技法01椭圆、双曲线中的定义法求离心率的解题技巧技法02焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率的解题技巧技法03斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率的解题技巧技法04定比分点求椭圆、双曲线的离心率的解题技巧技法05余弦定理求椭圆、双曲线的离心率的解题技巧技法06构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率的解题技巧本节导航技法01椭圆、双曲线中的定义法求离心率的解题技巧通过定义法计算离心率是掌握其本质的关键途径，也是新高考常考考点。通常，这一方法会在选填题中以椭圆或双曲线为背景进行考查，偶尔也会出现在解答题中，需要特别加强练习。椭圆公式1:，公式2:变形，双曲线公式1:，公式（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（

）A．4 B．3 C．2 D．1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为．2．（2024·广西贵港·模拟预测）已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．1．（2024·湖南邵阳·模拟预测）若点在双曲线的一条渐近线上，则的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，为原点，若，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2024·江西新余·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（

）.A． B． C． D．技法02焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率的解题技巧在研究焦点三角形时，我们发现求解离心率的方法众多。这些方法经常以椭圆或双曲线作为问题的依托，在小题中进行考查，难度相对较低，需要加强练习。已知棚圆方程为,两焦点分别为,设焦点三角形,,则椭圆的离心率公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则（全国·高考真题）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，∠=，则C的离心率为A． B． C． D．1．已知是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为（）A.B.C.D.2．（全国·高考真题）设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．1．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．椭圆的焦点为，，上顶点为A，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．已知双曲线的左右焦点分别为、，曲线上的点满足，，，则双曲线的离心率为．技法03斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率的解题技巧掌握斜率乘积求解离心率是新高考卷中常见的考查点，通常以椭圆或双曲线作为题目的载体，在选填题中进行测试，偶尔也会在解答题中出现，因此需要特别加强练习。如图，已知点椭圆长轴端点（短轴端点），是椭圆上异于的一点，则.推广：如图，已知点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零，如图，已知点双曲线实轴端点，是双曲线上异于的一点，则.推广：如图，已知点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零，.（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．1．（2025·吉林·二模）已知椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称.若直线，的斜率之积为，则椭圆C的离心率为.2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为的三个顶点都在上，且直线过原点，直线斜率的乘积为3，则双曲线的离心率为．3．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线交椭圆E于另一点D，记直线，的斜率分别为，，若，则E的离心率为（

）A． B． C． D．1．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线交椭圆E于另一点D，记直线，的斜率分别为，，若，则E的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（

）A． B． C． D．技法04定比分点求椭圆、双曲线的离心率的解题技巧已知定比分点求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习.点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或（全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为A． B． C． D．1．（全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则A．1 B． C． D．22．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线，若一过焦点F的斜率的直线与双曲线交于A、B两点（A、B在同一支上），且满足，则双曲线的离心率（

）A． B． C． D．1．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点A，B在上，直线倾斜角为，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．2．已知分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．技法05余弦定理求椭圆、双曲线的离心率的解题技巧运用余弦定理来计算离心率是新高考卷中经常出现的题目，通常以椭圆或双曲线作为问题的背景，在选填题中进行考查。需要特别加强练习。边的余弦定理，，角的余弦定理，，（2024·湖南长沙·二模）已知，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，过作的垂线，并与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．1．（2024·河北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为．1．（2024·浙江·一模）已知椭圆：，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为.2．（2024·江苏徐州·一模）设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左支交于点，坐标原点O到直线的距离为的面积为，则C的离心率为.3．（2024·重庆·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别是和，下顶点为点，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为．技法06构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率的解题技巧构造其次方程求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习.在求解椭圆和双曲线的离心率时，构造齐次方程是一种有效的方法。这种方法的核心在于通过引入适当的变量和等式，构造出一个或多个齐次方程，然后通过解这些方程来求解离心率。具体步骤通常包括：首先，根据椭圆或双曲线的性质，确定已知条件和需要求解的目标；其次，通过巧妙的构造，引入新的变量，并建立起与离心率相关的齐次方程；接着，利用数学工具如代数法、三角法或几何法等，解出这个齐次方程；最后，根据解出的结果，反推出离心率的值。这种方法的关键在于如何巧妙地构造齐次方程，以及如何利用已知条件进行有效的求解。通过不断的练习和实践，可以逐渐掌握这种方法的技巧，提高解题效率和准确性。比值问题，令a=1可快速求解设椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线与E交于A，B两点，点C满足，若，则E的离心率为（

）A． B． C． D．1．已知双曲线，如图，过的右焦点作直线与的两条渐近线分别交于点，与轴交于点，若，且，则的离心率为（

）

A． B． C．2 D．2．（2024·湖南长沙·二模）设椭圆与双曲线有相同的焦距，它们的离心率分别为，，椭圆的焦点为，，，在第一象限的交点为，若点在直线上，且，则的值为（

）A．2 B．3 C． D．1．已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点B是双曲线上位于第二象限的点．直线与双曲线交于另一点A，，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（

）A．或 B．或 C．或 D．或3．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．一、单选题1．（2025·陕西咸阳·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与椭圆C在第二象限交于点M，且，则C的离心率为（

）．A． B． C． D．2．（2025·江西·一模）已知双曲线：（，）的右焦点为，其中一条渐近线上存在一点，使得另一条渐近线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．43．（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，且曲线与在第一象限相交于点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．44．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知椭圆的左，右焦点分别为，点在该椭圆上，若满足为直角三角形的点共有8个，则该椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2025·广东·一模）设椭圆的右焦点为.为上一点，的半径为，过作轴的垂线，交于两点，在的左侧.记的离心率为，点轨迹的离心率为，点轨迹的离心率为，则（

）A． B．C． D．二、多选题6．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知圆：，双曲线：的左，右焦点分别为，，为双曲线右支上的一点，直线的斜率恰好为该双曲线的离心率，且为直角三角形，则（

）A．的值唯一 B．C． D．的渐近线与共有4个公共点7．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点（在第四象限），若，则（

）A． B．的面积为C．的离心率为 D．直线AB的斜率为三、填空题8．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为．9．（2024·黑龙江大庆·一模）已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于M，N两点.若，则椭圆的离心率为.10．（2024·广东佛山·模拟预测）已知双曲线的离心率，圆与双曲线E的渐近线相切，则．11．（2024·浙江杭州·模拟预测）设双曲线的左焦点为，右顶点为，上一点满足，若三角形的边经过，则双曲线的离心率是12．（2024·浙江杭州·一模）已知双曲线都经过点，离心率分别记为，设双曲线的渐近线分