圆的知识点小结

<圆>的复习教学内容1．圆有关的概念：圆的定义、半径、直径、弦、弦心距、弧、优弧、劣弧、半圆、等弧、等圆、同心圆、圆周角、圆心角、圆内角、圆外角2．圆有关的性质：轴对称性与旋转的不变性——垂径定理，弧、弦、圆心角的关系定理，圆周角定理及其推论3．与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆和圆的位置关系．4．正多边形和圆．5．弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积．教学目标1．了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理，圆周角和圆心角的关系定理．2．探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系，了解切线的概念，掌握切线的性质和判定及其运用。3．进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边形的有关计算．4．熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．考点知识1、与圆有关位置关系的判定；2、与圆有关的计算，重点是考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理，并能综合运用勾股定理、三角函数、全等、相似等知识；3、与圆有关的证明，重点是切线的证明，注意与圆有关的角的转化；注意在图中去发现寻找基本图；试题分布1、圆中角度、线段计算、位置关系的判定多以选择题出现.2、圆的证明与综合计算分布在解答题.教学过程知识梳理1．圆有关的概念：圆的定义、半径、直径、弦、弦心距、弧、优弧、劣弧、半圆、等弧、等圆、同心圆、圆周角、圆心角、圆内角、圆外角2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论。3.圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，4.圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。5.不在同一直线上的三点确定一个圆。三角形的外接圆与圆的内接三角形、三角形的外心。6.圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。7.切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。8.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。9.圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。10.圆内接正多边形的计算（1）正三角形：在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形：同理，四边形的有关计算在中进行，：（3）正六边形：同理，六边形的有关计算在中进行，11.扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式（1）扇形：弧长公式：；扇形面积公式：：圆心角：扇形多对应的圆的半径：扇形弧长：扇形面积（2）圆柱：圆柱侧面展开图=圆柱的体积：（3）圆锥：圆锥侧面展开图=圆锥的体积12.作图平分已知弧；作三角形的外接圆。13.圆中常见的辅助线（1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等；（2）作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算；（3）作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算；（4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角；（5）作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角；（6）遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点。14.圆中常见图形：直角三角形等腰三角形圆内接四边形相似三角形（二）常考题型分析．与圆有关位置关系的判定例1、如图，是一个五环图案，它由五个圆组成.下排的两个圆的位置关系是（）（A）内含.（B）外切.（C）相交.（D）外离.例2、⊙O1和⊙O2的半径分别为3、r，两圆的圆心距d＝8，若⊙O1和⊙O2外离，则r满足（）（A）r＞5（B）0＜r＜8（C）r＝5（D）0＜r＜5【评析】：主要考查与圆有关位置关系：（1）点与圆；（2）直线与圆；（3）圆与圆.判断方法：利用距离与半径的大小关系；也可通过观察公共点的个数来判断..与圆有关角度、线段计算例1、如图1，在⊙O中，弦BE与CD相交于点F，CB、ED的延长线相交于点A，若∠A＝30°，∠CFE＝70°，则∠CDE的度数为（）A．20°B．40°C．50°D．60°例2、如图2，点D是线段AB、BC的垂直平分线的交点，若∠ABC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．100°B．115°C．130°D．150°例3、如图3，以正方形ABCD的AB边为直径作⊙O，过点C作直线切⊙O于F，交AD于E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE的周长为（）A.12B.13C.14D.15例4、如图4，△ABC的外接圆⊙O的半径为1，D、E分别为AB、AC的中点，则sin∠BAC的值等于线段（）DA．BC的长B．DE的长C．AD的长D．AE的长D例5、如图5，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A.OM的长B.2OM的长C.CD的长D.2CD的长.DD（图1）（图2）（图3）（图4）（图5）【评析】：（1）圆中角度计算问题主要考查圆周角定理及推论，注意在圆中转化角的基本方法：由角到弧，由弧到角；（2）圆中线段计算问题主要考查垂径定理，注意通过弦、弦心距、半径或直径所对圆周角构造直角三角形,以及解直角三角形等知识解决问题；(3）圆与三角函数的结合，主要借助圆将相应的角度、线段加以转化和集中，常借助直径所对圆周角，垂直弦于半径构造直角三角形，从而解决角的三角函数问题，综合性较强..面积、弧长计算例1、圆锥的底面半径为3cm，母线为9cmA．6лcm2B．9лcm2C．12лcm2D．27л例2、如图,梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，以AB为直径的⊙O切CD于E点，交BC于F，若AB＝4cm，AD＝1cm，则图中阴影部分的面积是cm2.【评析】：（1）主要考查学生对圆中弧长公式，面积公式，圆锥侧面展开图面积的运用；（2）一般涉及与圆在关的面积问题时需将阴影部分中的弧转化到其所在的扇形中解决.切线的证明与计算例1、如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE.（1）求证:直线DE是⊙O的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OF＝CF，求tan∠ACO的值.例2、如图，由正方形ABCD的顶点A引一条直线，与BD、CD及BC的延长线分别交于点E、F、G。求证：CE和△CGF的外接圆O相切。【评析】：(1）切线的证明作为圆中一个最重要也是最基本的证明，是中考的传统保留题，从近几年中考来看，切线的证明难度不大.①已知直线与圆公共点类：连圆心与公共点，证明半径与直线垂直；②不知直线与圆公共点类：过圆心作直线的垂线，证垂线段等于半径.（2）在切线的证明中，应多注意圆中角的方法：半径所对圆周角；同弧所对圆周角与圆心角间的转化；利用平行线、全等三角形等知识构造角度的关系；（3）在计算中，一般涉及求具体线段长，线段比值，图形面积，锐角三角函数.主要考查学生的化归思想、方程思想；而问题往往需由半径解决，可结合全等三角形，相似三角形，解直角三角形等知识构造出含半径的直角三角形解决问题；同时要掌握一些基本图形的转化方法..圆中的综合证明例1、盼盼同学在学习正多边形时，发现了以下一组有趣的结论：①如图1，若P是圆内接正三角形ABC的外接圆的上一点，则；②如图2，若P是圆内接正四边形ABCD的外接圆的上一点，则；③如图3，若P是圆内接正五边形ABCDE的外接圆的上一点，请问与PA有怎样的数量关系，写出结论，并加以证明；④若P是圆内接正n边形的外接圆的上一点，请问与又有怎样的数量关系，写出结论，不要求证明.【评析】：综合运用圆的相关性质、定理以及全等、相似、图形的变换等知识解决较为复杂的几何问题；将圆与正多边形、动态几何问题结合于在体，重在考查学生综合运用的能力，类比分析能力，以及由特殊到一般的思想方法.（三）。课堂小结（四）练习1.已知点到圆周上的点的最大距离为m,最小距离为n.则此圆的半径_____.2.有个长、宽分别为4和3的矩形ABCD,现以点A为圆心,若B、C、D至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则⊙A半径r的范围是_________.3.⊙O的半径为15厘米,点O到直线l的距离OH=9厘米,P,Q,R为l上的三个点,PH=9厘米,QH=12厘米,RH=15厘米,则P,Q,R与⊙O的位置关系分别为.4.在⊙O中，弦AB=40厘米，CD=48厘米，且AB∥CD,AB与CD距离是