湖南省2024年中考数学试卷含真题解析

湖南省2024年中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在日常生活中，若收入300元记作元，则支出180元应记作（）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】C【解析】【解答】解：若收入为“”，则支出为“”，所以支出180元记作元．故答案为：C.【分析】由正负数表示相反意义的量，根据题意，正数表示收入，那么负数表示支出，即可作答.2．据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家．将4015000用科学记数法表示应为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：用科学记数法表示为．故答案为：B.

【分析】用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．3．如图，该纸杯的主视图是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：该纸杯的主视图是选项A，故答案为：A.【分析】主视图是从几何体的正面观察，即可得出答案．4．下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：A、∵，∴该选项计算错误，不符合题意；B、∵，∴该选项计算正确，符合题意；C、∵，∴该选项计算不正确，不符合题意；D、∵，∴该选项计算不正确，不符合题意；故答案为：B.

【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法，积的乘方，分别对各个选项计算验证，即可解答.5．计算的结果是（）A． B． C．14 D．【答案】D【解析】【解答】解：，故答案为：D.

【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案即可．6．下列命题中，正确的是（）A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形【答案】A【解析】【解答】解：A、两点之间，线段最短，该选项是真命题，符合题意；B、菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，该选项是假命题，不符合题意；C、正五边形的外角和为，该选项是假命题，不符合题意；D、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，该选项是假命题，不符合题意；故答案为：A.

【分析】根据多边形外角和，菱形的性质，轴对称图形的特点及两点之间线段最短，逐一判断即可作答.7．如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：．故答案为：C.

【分析】根据圆周角定理可知，即可得到答案．8．某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（）A．130 B．158 C．160 D．192【答案】B【解析】【解答】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158，∴中位数是158，故答案为：B.

【分析】先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，即可解答.9．如图，在中，点，分别为边，的中点．下列结论中，错误的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：∵点分别为边的中点，∴，，故正确；∵，∴，故正确；∵，∴，∴，故错误；故答案为：D.

【分析】根据三角形中位线的性质可判断正确，相似三角形的判定和性质可判断，即可得出结果.10．在平面直角坐标系中，对于点，若，均为整数，则称点为“整点”，特别地，当（其中的值为整数时，称“整点”为“超整点”．已知点在第二象限，下列说法正确的是（）A．B．若点为“整点”，则点的个数为3个C．若点为“超整点”，则点的个数为1个D．若点为“超整点”，则点到两坐标轴的距离之和大于10【答案】C【解析】【解答】解：∵点在第二象限，∴，∴，故选项A错误；∵点为“整点”，，∴整数a为，，0，1，∴“整点”点P的个数为4个，故选项B错误；∴“整点”P为，，，，∵，，，∴“超整点”P为，故选项C正确；∵点为“超整点”，∴点P坐标为，∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误，故答案为：C.

【分析】根据象限点的特征，先判断出a的取值范围，再根据题中新定义，找到符合条件的“整点”“超整点”，再由点到坐标轴的距离即可对四个选项逐一判断.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。11．计算：．【答案】2024【解析】【解答】解：故答案为：2024.

【分析】根据相反数的定义，化简多重符号即可.12．有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是．【答案】【解析】【解答】解：∵共有4枚棋子“”“”“”“”，∴从中随机翻开一张，恰好翻到棋子“”的概率是．故答案为：.【分析】根据概率公式“概率所求情况数与总情况数之比”，即可作答．13．分式方程的解为．【答案】【解析】【解答】解：最简公分母为：x+1

方程的两边同乘（x+1），得2=x+1，解得x=1．检验：当x=1时，x+1=2≠0．所以原方程的解为x=1．故答案为：x=1．【分析】根据解分式方程的一般步骤，先找到分式方程的最简公分母，再去分母将分式方程化为整式方程求解，注意解后必须要检验.14．若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角的度数为．【答案】100【解析】【解答】解：等腰三角形两个底角相等，都为40°所以其顶角.

故答案为：100.

【分析】根据等腰三角形的性质（等边对等角）及三角形内角和定理即可解答.15．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为．【答案】2【解析】【解答】解：∵

∴，解得：故答案为：2.

【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式，列出关于

k的方程，即可解答.16．在一定条件下，乐器中弦振动的频率与弦长成反比例关系，即为常数，．若某乐器的弦长为0.9米，振动频率为200赫兹，则的值为．【答案】180【解析】【解答】解：将，代入，得，解得，故答案为：180．

【分析】利用待定系数法求反比例函数解析式，即可求解.17．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则，【答案】6【解析】【解答】解：由题意，是的平分线

∵是边上的高，，

∴，

∴

∴，故答案为：6．【分析】根据尺规作图的步骤，判断出BP是的平分线，再由角平分线的性质及题中线段之间的数量关系，即可计算出AM的长.18．如图，图1为《天工开物》记载的用于舂chōng捣谷物的工具——“碓duì”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，则点到水平线的距离为分米（结果用含根号的式子表示）．【答案】【解析】【解答】解：∵，

∴

如图，延长交l于点H，连接

在中，，，∴

在中．故答案为：．

【分析】根据已知条件，延长交l于点H，连接，构造出和，再利用特殊角三角函数值和解直角三角形的相关知识求解即可.三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．计算：．【答案】解：原式．【解析】【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数、零次幂的运算等，先化简绝对值、零次幂及特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键．20．先化简，再求值：，其中．【答案】解：原式，当时，原式．【解析】【分析】根据分式混合运算的法则，将原式先化简再代入求值即可.21．某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查．家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次被抽取的学生人数为人：（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是；（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数．【答案】（1）100（2）“3项”的人数为：（人，补全条形统计图如下：（3）36（4）（人，答：估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数大约为300人．【解析】【解答】（1）解：根据题意得：人，故答案为：100；（3），故答案为：36；

【分析】（1）用参与1项家务劳动的人数除以其所占的比例即可得出结果；（2）先根据（1）求出的总人数即可算出3项家务劳动的学生人数，然后补全统计图即可；（3）用360度乘以4项及以上所占的比例即可；（4）总人数1200乘以参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的比例，用样本数据估计总体．22．如图，在四边形中，，点在边上，▲．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若，，，求线段的长．【答案】（1）选择①或②，证明如下：选择①，，，，四边形为平行四边形；选择②，，，，，四边形为平行四边形；故答案为：①或②；（2）由（1）可知，四边形为平行四边形，，，，，即线段的长为6．【解析】【分析】（1）若选择①，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；若选择②，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；（2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解．23．某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富．已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？【答案】（1）解：设脐橙树苗的单价为元，黄金贡柚树苗的单价为元，由题意得：，解得：，答：脐橙树苗的单价为50元，黄金贡柚树苗的单价为30元；（2）解：设可以购买脐橙树苗棵，则购买黄金贡柚树苗棵，由题意得：，解得：，答：最多可以购买脐橙树苗400棵．【解析】【分析】（1）设脐橙树苗的单价为元，黄金贡柚树苗的单价为元，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列二元一次方程组求解即可；

（2）设可以购买脐橙树苗棵，则购买黄金贡柚树苗棵，根据“总费用不超过38000元”列一元一次不等式求解即可．24．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：测绘过程与数据信息①在水池外取一点，使得点，，在同一条直线上；②过点作，并沿方向前进到点，用皮尺测得的长为4米；③在点处用测角仪测得，，；④用计算器计算得：，，，，，．请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）（1）求线段和的长度；（2）求底座的底面的面积．【答案】（1），的长为4米，，，（米；，米，（米；（2）过点作于点，如图所示：，，米，米，米，底座的底面的面积为：（平方米）．【解析】【分析】（1）在Rt△CFE中，，即可解出CE的长度，再由判断出三角形BEF是等腰直角三角形，即可算出BC的长.

（2）过点A作于点M，先得出四边形AMEB是矩形，由性质得，然后在Rt△AMF中，，即可解出MF的长，从而得到AB，再根据矩形的面积即可解答.25．已知二次函数的图象经过点，点，，，是此二次函数的图象上的两个动点．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图1，此二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点在直线的上方，过点作轴于点，交于点，连接，，．若，求证：的值为定值；（3）如图2，点在第二象限，，若点在直线上，且横坐标为，过点作轴于点，求线段长度的最大值．【答案】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，则，即抛物线的表达式为：；（2）证明：为定值，理由：令，则，则点，由点、的坐标得，直线的表达式为：，设点、、的表达式分别为：，、，、，，则，同理可得：，则为定值；（3）解：点、的表达式分别为：，、，，由点、的坐标得，直线的表达式为：，则，故的最大值为：．【解析】【分析】（1）将A点代入二次函数解析式用待定系数法求解即可；（2）先根据A、B两点坐标，求出直线的解析式，表示出，，，由，：，分别表示出的面积，代入即可解答；（3）根据题意，若，则，根据P、Q坐标，求出直线的解析式，把代入直线解析式后，利用配方法即可求出线段长度的最大值．26．【问题背景】已知点是半径为的上的定点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接，过点作的切线，在直线上取点，使得为锐角．（1）【初步感知】如图1，当时，▲；（2）【问题探究】以线段为对角线作矩形，使得边过点，连接，对角线，相交于点．①如图2，当时，求证：无论在给定的范围内如何变化，总成立：②如图3，当，时，请补全图形，并求及的值．【答案】（1）30（2）①证明：四边形是矩形，，，，，，，，，在和中，，，，，．即无论在给定的范围内如何变化，总成立．②解：是切线，，，．设，则，，，，，，即点