第九章 专题十三 带电体在电场中运动的综合问题

第九章静电场专题十三带电体在电场中运动的综合问题Contents题型1电场中的图像问题题型2带电粒子在交变电场的

运动题型3“等效法”在复合场中

的运用题型4电场中的力电综合问题练习帮练透好题精准分层添加标题单击此处输入你的正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅的阐述观点0102添加标题单击此处输入你的正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅的阐述观点目录核心考点五年考情电场中的图像问题2023：上海T8；2021：山东T6带电粒子在交变电场中的运动

“等效法”在复合场中的运用2022：全国甲T21，辽宁T14；2019：浙江4月T13电场中的力电综合问题2023：新课标T25，浙江6月T12，浙江1月

T12；2022：浙江6月T15，辽宁T10；2021：福建T15；2020：天津T12；2019：全国ⅡT20，全国ⅡT24命题分析

预测图像问题一般以选择题形式考查，其他内容一般以压轴选择题或计算

题形式考查，考查频次一般.预计2025年高考将考查利用“等效法”求

解带电粒子在复合场中运动的力电综合问题.另外可能会将电场中电势

能与其他能量相关问题结合起来考查，要注意与弹簧、斜面等模型的

结合.1.v－t图像根据v－t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受

静电力的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及

电势能的变化.题型1电场中的图像问题2.φ－x图像(1)电场强度在x轴方向分量的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是

曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图).切线的

斜率为零时沿x轴方向电场强度为零.(2)在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强

度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向.(如图)(3)在φ－x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正

负，然后作出判断.(4)电场中常见的φ－x图像①点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图.②两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图.③两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图.3.E－x图像(1)E－x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场

强度E的正方向，则E＞0，电场强度E沿x轴正方向；E＜0，电场强度E沿x轴负方向.(2)E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电

场方向判定.在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、

电势能变化等情况.(3)电场中常见的E－x图像①点电荷的E－x图像正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示.②两个等量异种点电荷的E－x图像，如图.③两个等量正点电荷的E－x图像，如图.4.Ep－x图像

5.Ek－x图像

命题点1电场中的v－t图像1.一带电粒子仅在电场力作用下从A点开始以－v0做直线运动，其v－t图像如图所示.

粒子在t0时刻运动到B点，3t0时刻运动到C点，下列说法正确的是(

C

)A.A、B、C三点的电势关系为φB＞φA＞φCB.A、B、C三点的场强大小关系为EC＞EB＞EAC.粒子从A点经B点运动到C点，电势能先增加后减少D.粒子从A点经B点运动到C点，电场力先做正功后做负功C

命题点2

φ－x图像2.[多选]在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图所示.下列

说法正确的有(

AC

)A.q1和q2带有异种电荷B.x1处的电场强度为零C.负电荷从x1移到x2，电势能减小D.负电荷从x1移到x2，受到的电场力增大AC

命题拓展如图，某负点电荷从x3处静止释放，判断其能否到达x4处，并说明理由.[答案]

能；负点电荷在x3～x2之间受到沿x轴正方向的电场力，在x3～x2之间加速运

动，在x2～x4之间受到沿x轴负方向的电场力，在x2～x4之间减速运动，又x3和x4两处

的电势相等，则负点电荷到达x4处时速度恰好为0.命题点3

E－x图像3.一静电场在x轴方向上的电场强度E随x的变化关系如图所示，在x轴上有四点x1、

x2、x3、x4，相邻两点间的距离相等，x轴正方向为场强正方向，一个带正电的点电

荷沿x轴运动，则点电荷(

B

)A.在x2和x4两点处电势相等B.由x1运动到x4的过程中，加速度先增大后减小C.由x1运动到x4的过程中，电势能先增大后减小D.从x2运动到x1的过程中，电场力做的功为W1，从x3运动到x2的过程

中，电场力做的功为W2，则W1＝W2B[解析]

由题图可知x1到x4处的场强沿x轴负方向，则点电荷从x1到x4处逆着电场方向

移动，电势升高，故带正电的点电荷电势能一直增大，A、C错误；点电荷由x1运动到x4的过程中，由题图可以看出电场强度的绝对值先增大后减小，所以电场力

先增大后减小，加速度也先增大后减小，B正确；E－x图线与横轴所围图形的面积

的绝对值表示电势差的绝对值，由题图可知U32＞U21，故W2＞W1，D错误.命题点4

Ep－x、Ek－x图像4.一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动.取该直线为x

轴，起始点O为坐标原点，其电势能Ep与位移x的关系如图所示.下列图像中合理的是

(

D

)D

1.带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化

(如方波)的情形.当粒子垂直于交变电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电

场方向的分运动具有周期性.2.研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二

定律正确地判断粒子的运动情况.根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末

速度、位移等.题型2带电粒子在交变电场中的运动3.注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子运动时间上的周期性和空间

上的对称性，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与运动过程相关的临

界条件.4.对于锯齿波和正弦波类电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电

粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动.5.[粒子在交变电场中的直线运动/多选]如图甲所示，A、B是一对平行的金属板，在

两板间加上一周期为T的交变电压，A板的电势φA＝0，UBA随时间的变化规律如图乙

所示.现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区域，设电子的初速度和重力的

影响可忽略，则(

AB

)图甲

图乙A.若电子是在t＝0时刻进入的，它将一直向B板运动

方法点拨交变电场中的直线运动处理方法U－t图像v－t图像轨迹图

U－t图像v－t图像轨迹图

6.[粒子在交变电场中的临界问题/2024四川泸县四中月考]如图甲所示，在xOy坐标

系中，两金属板平行放置，OD与x轴重合，板的左端与原点O重合，板长L＝2m，

板间距离d＝1m，紧靠极板右侧有一足够大荧光屏.两金属板间电压UAO随时间的变

化规律如图乙所示，变化周期为T＝2×10－3s，U0＝5×103V，t＝0时刻一带正电的

粒子从左上角A点附近，以v0＝1000m/s的速度平行于AB边射入两板间，最终打到

荧光屏上.已知粒子带电荷量q＝1×10－5C，质量m＝1×10－7kg，不计粒子所受重

力，求：(1)粒子在板间运动的时间；[答案]

2×10－3s[解析]

粒子在板间沿x轴方向做匀速运动，运动时间为t，根据L＝v0t0代入数据解得t0＝2×10－3s(2)粒子打到屏上的速度；

(3)若A处的粒子源以v0＝1000m/s的速度平行于AB边连续不断发射相同粒子，求荧

光屏上的光带长度是多少？若向右移动荧光屏，屏上光带位置和长度如何变化(写出

结论，不要求计算过程).[答案]

0.5m

光带位置下移，长度不变

1.等效重力场物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是物体处在匀强电场和重力

场中的运动就会变得复杂一些.此时可以将重力场与电场“合二为一”，用一个全新

的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”.题型3“等效法”在复合场中的运用2.等效重力场的相关知识点及解释等效重力场⇔重力场、电场叠加而成的复合场等效重力⇔重力、电场力的合力等效重力加速度⇔等效重力与物体质量的比值等效“最低点”⇔物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”⇔物体做圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能⇔等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积3.举例7.[多选]如图所示，空间存在一竖直向下的匀强电场，电场强度为E.

该空间有一带

电小球用绝缘细线悬挂在O点，可在竖直平面内做完整的变速圆周运动，且小球运

动到最高点时，细线受到的拉力最大.已知带电小球的质量为m，带电荷量为q，细

线长为l，重力加速度为g，则(

BD

)A.小球带正电B.电场力大于重力C.小球运动到最低点时速度最大BD

8.如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平

面内，O是圆心，AB是竖直方向的直径.一质量为m、电荷量为＋q(q＞0)的小球套在

圆环上，并静止在P点，OP与竖直方向的夹角θ＝37°.不计空气阻力，已知重力加速

度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.求：(1)电场强度E的大小；

[解析]

当小球静止在P点时，小球的受力情况如图所示，

(2)若要使小球从P点出发能做完整的圆周运动，小球初速度的大小应满足的条件.

方法点拨等效法求解电场中圆周运动问题的解题思路1.求出重力与电场力的合力F合，将这个合力视为一个“等效重力”.

3.找出等效“最低点”和等效“最高点”.4.将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解.1.解题关键通过审题抓住受力分析和运动过程分析是关键，然后根据不同的运动过程中各力做

功的特点来选择相应规律求解.动能定理和能量守恒定律在处理电场中的能量问题时

仍是首选的方法.(1)用正交分解法处理带电粒子的复杂运动问题：可以将复杂的运动分解为两个互相

正交的比较简单的直线运动.(2)用能量观点处理带电粒子在电场中的运动问题：对于受变力作用的带电粒子的运

动问题，必须借助于能量观点来处理；即使是受恒力作用的运动问题，用能量观点

处理常常也更加简便.题型4电场中的力电综合问题2.用能量观点处理带电粒子的运动问题(1)用动能定理处理思维顺序一般为：①弄清研究对象，明确所研究的物理过程.②分析粒子在所研究过程中的受力情况，弄清哪些力做功，做正功还是负功.③弄清所研究过程的始、末状态(主要指动能).④根据W＝ΔEk列出方程求解.(2)用包括电势能和内能在内的能量守恒定律处理列式的方法常有两种：①利用初、末状态的总能量相等(即E1＝E2)列方程.②利用某些能量的减少量等于另一些能量的增加量列方程.(3)两个结论①若带电粒子只在电场力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变.②若带电粒子只在重力和电场力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变.

A.M点的电势高于A点的电势B.B点的电势等于D点的电势[解析]

由题意知，因为经过C点时粒子的动能最小，所以粒子从

O点到C点克服合外力所做的功最多，而重力和电场力对粒子做的

功只与粒子的初、末位置有关，与路径无关，由此可推知重力和

电场力的合力F的方向一定水平向左，如图所示，又因为qE＝

2mg，则根据几何关系以及平行四边形定则可知电场强度方向与

水平方向夹角为30°，根据沿电场强度方向电势降低可知M点的电

势高于A点的电势，B点的电势低于D点的电势，A正确，B错误；

[答案]

－6×10－3J

OM与竖直方向成60°角，EpA＝0，小球从A到M的过程中，根据功能关系有WAM＝EpA

－EpM电场力做功WAM＝EqR(1＋sinθ)联立并代入数据解得EpM＝－6×10－3J[解析]

设过O点的电场线与半圆轨道的交点为M，则小球在M点电势能最低，如

图所示.(2)最大速度的大小.[答案]

10m/s

11.[圆周运动＋抛体运动/2024云南昆明“三诊一模”摸底]如图所示，质量为

m、带电荷量为＋q的小球(可视为质点)与不可伸长的绝缘轻绳相连，绳子另一

端固定在O点的拉力传感器上(拉力传感器没有画出)，O点距离水平地面的高度

为2R，空间存在竖直向下的匀强电场.现使小球获得一初速度后绕O点在竖直平

面内做半径为R的圆周运动，拉力传感器显示出绳子拉力的最小值为0，最大值

为12mg，g为重力加速度.(1)求匀强电场的场强大小E；

(2)若小球运动到最低点时绳子断裂，求小球落地点到O点的水平距离.

[解析]

绳断后小球做类平抛运动

1.[电场中的图像问题/2023上海]空间中有一电场，电势分布如图所示，现放入一个

负点电荷，随后向右移动此电荷，下列电荷电势能随位置变化的图像正确的是

(

C)CABCD[解析]

由φ－s图像可知，沿s轴正向电势逐渐降低，由公式Ep＝qφ可知负电荷在低

电势点的电势能大，所以负电荷向右移动的过程中电势能逐渐增大，又各点的电势

为正值，则负电荷在各点具有的电势能为负值，故C正确，ABD错误.

C图甲图乙

A.轨道半径r小的粒子角速度一定小B.电荷量大的粒子的动能一定大C.粒子的速度大小与轨道半径r一定无关D.当加垂直纸面磁场时，粒子一定做离心运动BC

BCDA.带负电C.运动至a点的加速度大小为2g

图丙图乙图甲

[解析]

小球从A点静止释放，根据动能定理有

(2)小球经过O点时的速度大小；

(3)小球过O点后运动的轨迹方程.

1.[多选]如图所示，在粗糙绝缘水平面上间隔一定距离放置两个带电的物体A、B，

带电荷量分别为＋Q和－q(设两电荷间只有库仑力)，开始时，A、B均处于静止状

态，在物体B上施加一水平向右的恒力F，使物体

A、B向右运动.在此过程中，下列

说法正确的是(

AD

)A.力F、库仑力及摩擦力对物体B所做的功之和等于物体B的动能增量B.力F做的功与摩擦力对物体B做的功之和等于物体B的动能增量C.库仑力及摩擦力对物体A做的功等于物体A的动能增量与电势能增量之和D.力F做的功及摩擦力对物体A和B做功的代数和等于物体A和B的动能增量及电势能增量之和AD12345678910111213[解析]

根据动能定理知，力F做的功与摩擦力对物体B做的功及库仑力对物体B做

的功之和等于物体B的动能增量，故A正确，B错误；根据动能定理知库仑力及摩擦

力对物体A做的功等于物体A的动能增量，C错误；根据能量守恒可知：力F做的功

及摩擦力对物体A和B做功的代数和等于物体A和B的动能增量及电势能增量之和，故

D正确.123456789101112132.[多选]某条电场线是一条直线，上边依次有O、A、B、C四个点，相邻两点间距离

均为d，以O点为坐标原点，沿电场强度方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随

x的变化规律如图所示.一个带电荷量为＋q的粒子，从O点右侧某处(到O点间距离极

小，可忽略)由静止释放，仅受电场力作用，则(

AD

)B.粒子从A到B做匀速直线运动C.粒子在OA段电势能减少量小于BC段电势能减少量AD12345678910111213

123456789101112133.[2024湖北“宜荆荆恩”起点考试]如图甲所示，在某电场中建立x坐标轴，一个质

子仅在电场力作用下沿x轴正方向运动，经过间距相等的A、B、C三点，该质子的电

势能Ep随坐标x变化的关系如图乙所示，则下列说法正确的是(

A

)图甲

图乙AA.A点电势高于B点电势B.A点的电场强度小于B点的电场强度C.质子经过A点的速率大于经过B点的速率D.A、B两点电势差UAB小于B、C两点电势差UBC12345678910111213

123456789101112134.[2024山东菏泽明德学校月考/多选]两个等量同种正点电荷固定于光滑绝缘水平面

上，其连线中垂线上有A、B、C三点，如图甲所示，一个电荷量为＋2×10－3C、质

量为0.1kg的小物块(可视为质点)从C点静止释放，其在水平面内运动的v－t图像如

图乙所示，其中B点处为整条图线切线斜率最大的位置(图中标出了该切线)，则下列

说法正确的是(

ACD

)A.由C到A的过程中物块的电势能逐渐减小B.B、A两点间的电势差UBA＝5VC.由C点到A点电势逐渐降低D.B点为中垂线上电场强度最大的点，场强为100N/CACD12345678910111213

12345678910111213

A.小物块在斜面上运动的加速度大小为6m/s2B.小物块从A点运动到C点所用的时间为5sC.小物块与水平地面间的动摩擦因数为0.4D.小物块从A点运动到C点，静电力所做的功等于系统内能的增加量BC12345678910111213

12345678910111213

A.动能最小与最大的位置在同一等势面上B.电势能最小的位置恰是机械能最大的位置D.在B点受到大圆环弹力大小为mgBC12345678910111213

12345678910111213

12345678910111213(2)落地时小球的动能.

12345678910111213

8.[2022全国甲/多选]地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正电荷

的小球自电场中P点水平向左射出.小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能

和电势能的零点均取在P点.则射出后(

BD

)A.小球的动能最小时，其电势能最大B.小球的动能等于初始动能时，其电势能最大C.小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大D.从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量BD12345678910111213[解析]

由题意可知，小球所受电场力与重力的合力指向右下，与水平方向成

45°角，小球向左射出后做匀变速曲线运动，当其水平分量速度与竖直分量速

度大小相等时，即速度方向与小球所受合力方向垂直时，小球克服合力做的功

最大，此时动能最小，而此时小球仍具有水平向左的分速度，电场力仍将对其

做负功，其电势能继续增大，A、C项错误；小球在电场力方向上的加速度大

小ax＝g，竖直方向加速度大小ay＝g，当小球水平分量速度减为零时，克服电

场力做的功最大，小球的电势能最大，由匀变速运动规律有v0＝gt，此时小球

竖直方向的速度vy＝gt＝v0，所以此时小球动能等于初动能，由能量守恒定律

可知，小球重力势能减少量等于小球电势能的增加量，又由功能关系知重力做

的功等于小球重力势能的减少量，故B、D项正确.12345678910111213易错点拨

合力为恒力时，当小球的速度与合力方向垂直时，小球的速度最小，动

能最小，电势能与重力势能的和最大，而不是电势能最大，因此在处理本题时应注

意能量的转化.123456789101112139.某静电场方向平行于x轴，其电势φ随x的变化规律如图所示.设x轴正方向为电场强

度E的方向，下列各图分别表示x轴上各点的电场强度E随x的变化图像，其中可能正

确的是(

B

)ABCDB[解析]

φ－x图像的斜率的绝对值表示电场强度的大小，沿电场方向电势降低，因

而在x＝0的左侧，电场方向向左，在x＝0的右侧，电场方向向右，且在x轴的左、右

两侧图像斜率不变，即电场均为匀强电场，B正确.1234567891011121310.[多选]如图甲所示，平行金属板中央有一个静止的电子(不计重力)，两板间距离

足够大.当两板间加上如图乙所示的交变电压后，选项图中反映电子速度v、位移x和

加速度a随时间t的变化规律图像，可能正确的是(

AD

)AD12345678910111213

1234567891011121311.如图所示，固定于竖直平面内的粗糙绝缘斜杆与水平方向夹角为30°，平面内存

在一水平向左的匀强电场.质量为1×10－3kg、带电荷量为＋5×10－6C的小球套在杆

上，小球沿杆下滑过程中未受摩擦力作用.重力加速度g取10m/s2.(1)求电场强度E的大小(结果保留三位有效数字)；[答案]

3.46×103N/C

[解析]

小球的受力分析如图甲所示，小球未受摩擦力作用，说明小球和杆之间没有弹力根据垂直杆方向受力平衡可得Eqsin30°＝mgcos30°

12345678910111213(2)求小球下滑过程中的加速度大小；[答案]

20m/s2

(3)若场强大小不变，方向变为水平向右.为使小球能由静止开始沿杆向上运动，求杆

与小球之间的动摩擦因数μ的取值范围(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力).

12345678910111213[解析]

场强大小不变，方向变为水平向右，小球的受力分析如图乙所示，可得FN＝mg

cos30°＋Eqsin30°Ff＝μFN为使小球能沿杆向上运动，应满足Eqcos30°＞mgsin30°＋Ff

1234567891011121312.[2024福建泉州质量监测]如图甲，粗糙绝缘水平面上有两个完全相同的金属小滑

块A、B，质量均为m.空间有场强大小均为E、方向均沿水平方向但相反的两个匀强

电场，B处于电场分界线上.开始时，A带电荷量为＋2q，B不带电，A、B相距s，速

度均为0，一段时间后A、B发生弹性正碰，且碰撞时间极短，碰后A、B所带电荷量

均恒为＋q，碰后A的最大速度恰好与碰前的最大速度大小相等，A的部分v－t图像如

图乙所示(vm为未知量)，整个过程中，A、B之间的库仑力视为真空中点电荷的相