陕西省西安市部分学校2025届高三第二次模拟考试数学试卷

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页陕西省西安市部分学校2025届高三第二次模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=−5,1,4A．1,4,7 B．1,42．若复数z=−2+iA．2 B．2 C．22 3．若函数f(x)=sinωx+3A．43 B．53 C．2 4．近年来，新能源汽车产销量的快速增长推动了动力电池产业的发展．已知蓄电池的容量C(单位：A⋅h)、放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间满足的关系式为C=Ilog23⋅tA．35h B．30h C．25h D．20h5．在正四棱锥P−ABCD中，已知AA．96 B．80 C．64 D．326．对于函数f(x)，若存在两个常数a，b，使得fa+xfa−A．12 B．−12 C．27．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上、下顶点分别为B1，B2，左、右焦点分别为F1A．5 B．215 C．45 8．已知定义在R上的函数f(x)满足∀x,y∈R，A．g(x)B．g(x)有2个零点，且2个零点分别在(C．g(x)D．g(x)有2个零点，且2个零点分别在(二、多选题9．某学校为了提高高三年级学生的某学科成绩，在第一次联考后采取了“培优补短”等一系列举措．为了更好地总结经验，现从高三年级1000名学生中随机抽取100名学生，将其前后两次联考成绩(满分150分)分别按照[50,70)，[70,90)，…，[130,150]分成五组，绘制成频率分布直方图，如图所示．下列说法正确的是（

）A．mB．估计该年级第二次联考成绩在130分以上的学生比第一次联考对应分数段的多10人C．第二次联考学生的成绩波动更小D．与第一次联考相比，第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数减少，在[110,150]内的学生人数增加10．已知点A1,1和圆C：x2+y2−6x−8y+24=0，过A作圆C的两条切线lA．|B．AC．l1，l2与lD．l1，l2与l11．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)A．f(B．f(C．f(D．f(三、填空题12．已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且13．法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：Fn=22n+1(n=0，1，2，3，…)是质数．后来数学家欧拉证明了这个猜想不成立．现设an=log1614．《九章算术·商功》中有如下类似问题：今有刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．意思如下：今有一个刍童，上底面宽1尺、长2尺，下底面宽3尺、长4尺，高1尺．刍童是上、下底面为相互平行的不相似长方形，且两底面的中心连线与底面垂直的六面体，如图，若A是该六面体上底面的一个顶点，点M在下底面的外接圆上，则线段AM长度的最大值为尺．四、解答题15．已知函数f((1)若a=2，b=0，求(2)若a=3，且f(x)在x16．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D(1)证明：平面AEB1(2)求二面角B−17．某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队．(1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率；(2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(1)求cosA；(2)若点D在线段BC上，AD为∠BAC的角平分线，且A19．在平面直角坐标系xOy中，已知任意平面向量AB=x,y，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转α角得到向量AP(1)在平面直角坐标系xOy中，写出将点P2,1分别绕原点O按逆时针方向旋转π2，(2)在平面直角坐标系xOy中，求曲线xy=1绕原点O(3)已知由（2）得到的曲线C与y轴正半轴的交点为D，直线l与曲线C的两支交于A，B两点（B在第一象限），与x轴交于点T63,0，设直线DA，DB的倾斜角分别为答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《陕西省西安市部分学校2025届高三第二次模拟考试数学试卷》参考答案题号12345678910答案BCADDBBCBCDABD题号11答案AD1．B【分析】首先求解集合B，再求交集.【详解】由题可知B={x|−故选：B2．C【分析】由复数除法几何意义求复数的模．【详解】因为z=所以|z故选：C．3．A【分析】应用辅助角公式得f(x)【详解】由题设f(因为fπ所以π2ω+π3因为ω>0，所以故选：A.4．D【分析】根据题意，由6log【详解】由6log得t=故选：D5．D【分析】根据正四棱锥的性质，利用勾股定理求得棱锥的高，结合体积公式，可得答案.【详解】连接AC，BD，设AC与BD交于点O，连接OP．易知PO⊥OA，PO就是正四棱锥又PA=5，所以P故选：D.6．B【分析】根据“平方差关联函数”定义建立等式，通过化简求出a,【详解】因为f(x)化简得9+6解得a故a+故选：B．7．B【分析】根据椭圆离心率与焦点三角形的公式，建立方程，利用对角线之积的一半，可得答案.【详解】因为C的离心率为14，所以ca=又因为△PF1F2的周长为10，所以2a+又因为a2=b2+c2故选：B.8．C【分析】根据已知求得f(x)【详解】令x=y=0，得所以[f(0)]令x=0，得f(−2函数g(x)=f(x故选：C9．BCD【分析】由频率和为1列方程求参数判断A；再根据两次联考对应的直方图分析B、C、D的正误.【详解】因为20m+0.3因为第一次联考成绩在130分以上的学生人数大约占5%第二次联考成绩在130分以上的学生人数大约占6%所以增加1%第一次联考成绩集中于70～110分的学生人数占比为75%第二次联考成绩集中于90～130分的学生人数占比为84%第二次联考成绩数据更集中，所以方差更小，C正确．第一次联考成绩在[50,90)内的学生人数占比为35%，在[110,150]内的学生人数占比为20第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数占比为10%，在[110,150]内的学生人数占比为46故选：BCD10．ABD【分析】化成标准方程后，利用勾股定理进行求解A；利用余弦定理及二倍角公式即可求解B；根据a+b+c没有最大值，即可判断围成三角形的面积没有最大值即可判断C；当第三条切线l3与圆相切的切点落在另两个切点M【详解】A．依题意得圆C：(x−3B．因为cos∠MAC.要使l1，l2与l3围成三角形的面积最大，则圆C设这个三角形的三条边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积S=12(aD．当第三条切线l3与圆相切的切点落在另两个切点M，N与圆C三角形的周长最小，且等于两条切线长的和43故选：ABD．11．AD【分析】整理等式并构造函数，根据导数为零设出函数，结合函数值可得函数fx【详解】f′(x设g(x)=2xf则g(1)所以g(x)=2令f′(x)>0，得所以f(x)在−所以f(x)在x令f(x)故选：AD.12．−14【分析】由已知及向量数量积的运算律得a2【详解】因为a⋅(a−2故答案为：−13．32【分析】易得an=2【详解】由题意知an=log所以Sn则Sn当且仅当n=故答案为：3214．34【分析】设点A在底面上的射影是Q，上底面外接圆在下底面上的射影是圆O1，易知Q，O1，M三点共线时，线段AM的长度最大，再根据已知求线段【详解】如图，设点A在底面上的射影是Q，上底面外接圆在下底面上的射影是圆O1当Q，O1，M三点共线时，线段AM由题意得QO1=12因为AQ⊥圆O1故答案为：3415．(1)6x(2)答案见解析．【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；（2）对函数求导，结合极值点有f′(−1)【详解】（1）因为a=2，b=0，所以所以f′(1)=−6（2）若a=3，则f(因为f(x)在x=−所以f(x)由f′(x)>0，得x<f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)所以x=5时，函数f(16．(1)证明见解析；(2)25【分析】（1）根据已知有AE⊥A（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求二面角的余弦值，进而求其正弦值.【详解】（1）因为tan∠AED=3，所以所以∠AEA1=90°，即AE⊥所以A1B1⊥AE，而A1因为AE⊂平面AEB1（2）以A为坐标原点，AB，AD，AA1的方向分别为x，由D1E=3DE=3，AB=3则AE=(设n=(x,y,z)是平面由（1）知A1E⊥AE，A1E⊥A所以取A1E=设二面角B−AE−B1的大小为17．(1)3(2)分布列见解析，3【分析】（1）利用组合数求得总情况数与符合题意的情况数，根据古典概型，可得答案；（2）利用离散型随机变量的计算步骤求得分布列，根据期望的计算公式，可得答案．【详解】（1）解：设事件A为“小张被选入医疗救援队”，则P(（2）X的所有取值可能为1，2，3，4，5，P(X=P(X=P(X的分布列为X12345P151051故E(18．(1)2(2)5+【分析】（1）利用正弦定理化简等式，根据三角函数的二倍角公式，可得答案；（2）根据图形组合建立面积的等式，利用余弦定理，建立方程组，可得答案.【详解】（1）由6bsinCcosA所以cosA（2）由（1）知sinA=53．由题意知即12×2在△ABC中，cosA=则b2解得bc=6所以△ABC19．(1)P1−1(2)y(3)证明见解析【分析】（1）根据三角函数的OP（2）根据三角函数的定义可得变换后的点的坐标为x′=xcosα（3）联立直线与曲线方程得韦达定理，进而分三种情况x1=0,x1≠0,以及直线A【详解】（1）OP所以5故P15sin∠P（2）设将点Px,y绕原点O按逆时针方向旋转α设OP=O则x=rcosθ，所以x′y′设曲线xy=1上任意一点x,y绕原点O则x得y′2−x′（