大学物理习题解答

大学物理习题解答

湖南大学应用物理系

2

根据速度与位移的关系式必?=vp+2as,得

第一章质点运动学2

a=(n-})vtr/2s,(2)

P26.(I)平方之后除以(2)式证得

1.1一质点沿直线运动，运动方程为

2(n-l)y

x(f)=6r-2尸.试求：a=--------

5+1)产

(1)第2s内的位移和平均速度；

(2)1s末及2s末的瞬时速度，第2s内计算得加速度为

的路程：

2(5-1)30

(3)ls末的瞬时加速度和第2s内的平均=0.4(ms'2).

(5+1)102

加速度.

［解答］(1)质点在第Is末的位移大小为1.3一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他

x(l)=6Xl2-2Xp=4(m).以与水平成22.5。的夹角的初速度65ms-1从西

在第2s末的位移大小为边起跳，准确地落在坑的东边.已知东边比

x(2)=6X22-2X23=8(m).西边低70m,忽略空气阻力，且取g=

在第2s内的位移大小为lOmf，.问:

A.v=x(2)-x(l)=4(m),(1)矿

经过的时间为A/=ls,所以平均速度大小为坑有多宽？

V=Ax/△f=4(m『).他飞越的时

(2)质点的瞬时速度大小为间多长？

v(r)=d.v/df=12/-6Z2,(2)他图1.3

因此v(l)=12X1-6X］2=6(m・s"),在东边落地

v(2)=12X2-6X22=0,时的速度？速度与水平面的夹角？

质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即［解答］方法一：分步法.(I)夹角用。

As=A”4m.表示，人和车(他)在竖直方向首先做竖直上

(3)质点的瞬时加速度大小为抛运动，初速度的大小为

a(t)=dv/dz=12-12/,vyo=vosin^=24.87(m-s-').

因此Is末的瞬时加速度为取向上的方向为正，根据匀变速直线运

o(l)=12-12X1=0,动的速度公式

第2s内的平均加速度为

Vz-Vo=CH，

a=［v(2)-v(l)］/Ar=(0-6］/l=-6(m-s*2).这里的io就是a=-g；当他达到最高点

［注意］第几秒内的平均速度和平均加速时，i，,=0,所以上升到最高点的时间为

度的时间间隔都是1秒.h==2.49(s).

1.2一质点作匀加速直线运动，在/二再根据匀变速直线运动的速度和位移的

10s内走过路程s=30m,币其速度增为〃=5关系式

v,2-vo2=2as,

倍.试证加速度为〃.可得上升的最大高度为

Ai=小"2g=30.94(m).

并由上述数据求出量值.他从最高点开始再做自由落体运动，下

落的高度为

［证明］依题意得v；=nvo,

根据速度公式%%+at,得112=hl+/?=100.94(m).

a=(n-1)vjt,(1)

根据自由落体运动公式5=8丹2,得下落的时［证明］(1)分离变量得当二一攵山,

间为v-

选小，

积分

%0

因此他飞越的时间为

1

t=t\+，2=6.98(S).可得—Fkt.

他飞越的水平速度为%

vA<)=I,ocos^=60.05(m«"),

所以矿坑的宽度为(2)公式可化为1，二——，

1+片)kt

x=419.19(111).

(2)根据自由落体速度公式可得他落地由于所以

的竖直速度大小为

积分旧而靠…日

1

vy=gt=69.8(m-s)>

落地速度为

22l/2

v=(vv+vv)=92.08(m-s'),

因此x=—ln(v0Z:/+1).证毕.

与水平方向的夹角为k

(P=arctan(v/vr)=49.30。，［讨论］当力是速度的函数时，即/=

方向斜向下.J(v),根据牛顿第二定律得了=

方法二：一步法.取向上的方向为正，由于a=d2x/d/2,

他在竖直方向的位移为)，=上"-8刃2,移项得而dt/dz=v,

时间的一元二次方程所以a=dv/d/»

'g一一％sin/+y=(),分离变量得方程

,mdv

解得dr=------,

/(v)

/=(%sin8±旧®/6-2gy)g.

解方程即可求解.

这里),=_70m,根号项就是他落地时在竖直在不题中，A已经包括了质点的质

方向的速度大小，由于时间应该取正值，所量.如果阻力与速度反向、大小与船速的〃

以公式取正根，计算时间为次方成正比，则

/=6.98(s).dv/d/=-3.

由此可以求解其他问题.(1)如果〃=1,则得

1.4一个正在沿直线行驶的汽船，关闭四一df,

发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、v

大小与船速平方成正比例的加速度，即dv/dr积分得

=-kv2,及为常数.Inv=-kt+C.

(1)试证在关闭发动机后，船在/时刻当r=0时，v=v(),所以C=lnv(),因此

Inu/wo=-kt,

的速度大小为-=—+kt：得速度为

V=VoeR

(2)试证在时间/内，船行驶的距离为而dv=voe^dr,积分得

x=a-"+c.

x=—ln(v0A：r+1).

~k

当，=OE寸，x=0,所以C、=v/k,因此

解得r3=V3/6.

dv所以

(2)如果刀XL则得一二—&k,积分

n

v0=2+4/3=2(1+>/3/3)=3.l54(rcd).

得

(3)当a-On时,可得rfi=rco2,

产"t

一=-kt+C.即2小=(12产)2,

1-72,/3

解得Z=(1/6)=0.55(S).

1.6—飞机在铅直面内飞行，某时刻飞

工

当r=o时，y=W，所以----=C,因此机的速度为v=300ms1,方向与水平线夹角

1-n

为30。而斜向下，此后飞机的加速度为

11/八，20j5ms-2,方向与水平前进方向夹角为30。

-----r=-----r+(〃-V)kt.

己限

而斜向上,问多长时间后，飞机又回到原来

如果〃=2,就是本题的结果.的高度？

如果〃W2,可得在此期间

K机在水

={［1+(〃-1)环-知2”一［-1}

平方向飞

(〃-2)广2攵，

行的距离

读者不妨自证.为多少？

1.5一质点沿半径为0.10m的圆周运［解答］建立水平和垂直坐标系，飞机的

动，其角位置(以弧度表示)可用公式表示：初速度的大小为

。=2+4应求：Vox=VOCOS0,

(l)/=2s时，它的法向加速度和切向加voy=vosinO.

速度；加速度的大小为

(2)当切向加速度恰为总加速度大小的ax=67COS«,

一半时，。为何值？ay=asina.

(3)在哪一时刻，切向加速度和法向加运动方程为

速度恰有相等的值？1,

［解答］(1)角速度为

to=dO/dt=12/2=48(radsl),12

法向加速度为

a=rar=230.4(ms'2)；1°

n即x-+/acosa•厂，

角加速度为

//=d(o/dt2

=24r=48(rad-s')>y=-v0sin+g〃sina/.

切向加速度为

火=力=4.8(ms2).令y=0,解得飞机回到原来高度时的时间为

(2)总加速度为〃=(a,+”严,

♦=0(舍去)；"2"』。=］0限).

当勾=all时，有4a,2=ar+”,即asina

将/代入x的方程求得x=9000m.

Cln=46

［注意］选择不同的坐标系，例如x方向沿

由此得=rj3yf3,着”的方向或者沿着W的方向，也能求出相

同的结果.

22

即(12r)=24r>/3,

h=vjcos^?/.

2/_27_21/v

两式消去时间/即得所求.证毕.

V=^2-u2=41-U2/V2

第二章质点力学的基本定律

二,%证毕.

Vl-/r/v2P46.

1.io如图所示，一汽车在雨中沿直线2.1如图所示，把一个质量为小的木块

行驶，其速度为也，下落雨的速度方向与铅放在与水平成。角的固尸/

定斜面上，两者间的心心

直方向的夹角

静摩擦因素〃，较小，J

为仇偏向于汽

因此若不加支持，木上0____________

车前进方向，

速度为V2.今在块将加速下滑.图21

车后放一长方(1)试证tan^=/<v；

形物体，问车

(2)须施加多大的水平力F,可使木块

速也为多大时图1.10

此物体刚好不会被雨水淋湿？恰不下滑？这时木块对斜面的正压力多大？

［解答］雨对地的速度V：等于雨对车的速(3)如不断增大F的大小，则摩擦力和

正压力将有怎样的变化？

度外加车对地的速

(1)［证明］木块在斜面上时受到重力

度网，由此可作矢量力”么生2

G=mg和斜面的支持力N以及静摩擦力

*V)

三角形.根据题意得

子,其口

tana=l/h.

方法一：利用直角三角形.根据直角三片工=网乂

角形得而N=Geos。.

V)=i，2sinO+V3sin«,要使木块加速下

其中内=vi/cosa,而vi=y2cos仇滑，重力沿着斜面

因此vi=lysine+V2cos^sina/cosa>的分量不得小于最

即％=%(sinO+/cos。).证毕.大静摩擦力人.根据牛顿第二定律得

hGsin。-UsGcosO=ma=0»

方法二：利用正弦定理.根据正弦定理因此land=.证毕.

可得(2)［解答］

要使物体恰好不

匕二匕，

下滑，则有

sin(6+a)sin(900-a)'

Gsin。-HSN-

所以Fcos6>=0,(I)

N-Geos。--

=匕(sin0+cos0tana),

Fsin9=0.(2)

(2)x〃；+(1)得

即v,=v(sin^+—cos^).

~2hGsinO-“sGcosO-"cos。-4/sin。=0,

方法三：利用位移关系.将雨滴的速度解得

分解为竖直和水平两个分量，在/时间内，雨

sin。一从cos。

滴的位移为F=--------------mg.(3)

cos^+sin。

/=(vi-V2sin19)z,

上式代入(2)得Ncosa+Tsina-nig=0»

7tosa-Nsina=ma.

N=-巡—.(4)

解得N="Mgeosa-asina)=68.54(N),

cos0+从sin0

T=〃】(gsina+acosa)=77.29(N).

(3)［解答］当木块平衡时，一般情况(2)令N=0,得加速度为

下，有a=getga=16.97(ni-s'2).

Gsin。Fcos^=0,N-Geos。-Fsin。=0.2.3物体A和8的质量分别为g=

解得8kg,mn=16kg,它们之间用绳子联结，在倾

f=Gsin夕-Fcosf),N=Geos。+产sin。角a=3?。的斜面上向下滑动，如图所示.4

和B与斜面的滑动摩擦因素分别为〃M=0.2,

可知：①当户的大小不断增加时，摩擦力将

"他=04求：

不断减小；当/二Gtan。时，摩擦力为零；当(1)物体A和B的加速度；

尸再增加时摩擦力将反向：至于木块是否向(2)绳子的一

上做加速运动，则要进一步讨论.张力；

②正压力将不断增加.⑶如果将A

［讨论］当tan^<1/分时，如果木块恰好不和B互换位置.，则

上滑，则摩擦力恰好等于最大静摩擦力，方(1)和(2)的结

果如何？图

向沿着斜面向下，用上面的方法列方程，可23

得［解答］根据角度关系可得sin«=3/5=

0.6,cojwt=4/5=0.8,tana=3/4=0.75.

「〃、。

sin9+2cos

F------------------ms.(1)如果物体A和8之间没有绳子，由

cos6sin。

于tanOM",可知：A和5都要沿斜面做加速

将(3)式中的心改为必就是这个结果.可见：运动，而8的加速度比较小.当A和8之间

当lan0=l/"、时，〃趋于无穷大，只有当tan。有绳子时，它们将以相同的加速度运动.

<1依时，才能增加F的大小使木块向上加速设绳子的

滑动.张力为八根据

2.2如图所示，设质量m=10kg的小牛顿第一定律分

球挂在倾角a=30。的光滑斜面上，求：别对A和8列运

(1)当动方程：

斜面以加速度〃?4gsina-

a=g/3沿图7Agecsa-T=mAa,

中所示的方向T+"mgsina-=mi(a.

运动时，绳中两式相加得

的张力及小球［(〃〃+ma)sina-〃八+心cosa］g

对斜面的正压力各是多大？=(mA+mB)a»

(2)当斜面的加速度至少为多大时小球所以加速度为

对斜面的正压力为零？(g=9.8ms2)=3.26(m-s'2).

［解答］(2)将加速度。的公式代入任一方程都

(1)小球受到可解得张力为

重力G,斜面

的支持力N和

绳子的张力

T.建立坐标3.86(N).

系，列方程得

由此可见：当两物体的摩擦因素相等时，张相反.

力才为零，这是因为它们的加速度相等.物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的

(3)将A和3互换位置后，由于A的加大小为

速度比较大，所以绳子不会张紧，其张力为fm=HUI=2(N),

零.这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向

A的运动方程为也相反.

板受桌子的支持力大小等于其重力

m.Agsina-ftkAinAgcosa=〃?.必八,

解得CIA=g(sina-"MCOS。)=4.12(ms'2).NM=(〃？+M)g=29.4(N),

同理得an=8($ina-"jtflcosa)=2.7(4m-s-2).这也是桌子受板的压力的大小，但方向相

2.4一个重量为P的质点，在光滑的固反.

板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为

定斜面(倾角为a)上以初速度。°运动，得的

—="*Nw=7.35(N).

方向与斜面底边的这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向乜相

水平约A8平行，反.

如图所示，求这质(2)设物体在最大静摩擦力作用下和板

点的运动轨道.一起做加速度为4、

［解答］质点在的运动，物体的运rynJ

斜上运动的加速度动方程为

为4=且$也扇方向与初速度方向垂直.其运f=^nig=ma',p,w

动方程为可得a'=jbg.।J*"!।F［

板的运动方程为f'

1I.2

x=v（）ty=—at2=一gsina•1.

r22F+M)g=Ma',

将r=x/w,代入后一方程得质点的轨道方程即F=/+Ma'+"以加+M)g

为=(",+"«)(〃？+M)g,

算得F=16.I7(N).

因此要招板从物体下面抽出，至少需要

I6.17N的力.

这是抛物线方程.2.6如图所示：已知尸=4!^,"“=

2.5桌上.有一质量M=1kg的平板，板0.3kg,加2=02kg,两物体与水平面的的摩擦

上放一质量m=2kg的另一物体，设物体与因素匀为0.2.求质量为利的物体的加速度及

板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为他=绳子对它的拉力.(绳子和滑轮质量均大计)

0.25,静摩擦因素为加=为30.求：［解答］利用几何关系得两物体的加速度

之间的关系为他=2m，而力的关系为了产

(1)今以水平力户拉板，使两者一•起以

2T?.

〃=Imsz的加速度运动，试计算物体与板、对两物体列运动方程得

与桌面间的相互作用力：Tz-〃吆=1712(12,

(2)要将板从物体下面抽出，至少需要F-T\一〃〃hg=ni\a\.

多大的力？可以解得/〃2的加速度为

［解答］(1)物体与板之间有正压力和摩

擦力的作用.

板对物体的支持大小等于物体的重力

M,=mg=19.6；N),绳对它的拉力为

这也是板受物体的压力的大小，但压力方向

4/

（5）以同样大小的加速度0（岳=5）,

T=一生——(F-〃叫g/2)二

1

町/2+2〃％

将小车从斜面上推下来.

1.35（N）.［解答］（1）小车

2.7两沿水平方向做匀速直

根弹簧的倔强线运动时，摆在水平

系数分别为h方向没有受到力的作

和也求证：用，摆线偏角为零，

（1）它们(b)线中张力为T=mg.

串联起来时，ki（2）小车在水平

总倔强系数4图2.7方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是

合外力.由于

与％l和22.满足关系关系式'=」■+」-：

［an。=ma/mg,

kk、k

2所以6=arctan（皈）；

（2）它们并联起来时，总倔强系数2=绳子张力等于摆所受的拉力

+k”

2

T={(ma)?+(冲)2=m/a+g2.

［解答］当力尸将弹簧共拉长尤时，有F:

kx,其中A为总倔强系数.（3）小车沿斜而

两个弹簧分别拉长》和也，产生的弹力自由滑下时，摆仍然

分别为受到重力和拉力，合

Fi=kix\,Fz=te.力沿斜面向下，所以

（1）由于弹簧串联，所以8=（p；

"=F［=户2，x=X\-X2»T="igcostp.

（4）根据题意

因此£二二十&，即L=J-+-L.

作力的矢量图，将

kk、k、kk.k、

竖直虚线延长，与

（2）由于弹簧井联，所以水平辅助线相交，

F=Fi+F2fx=xi=xi，可得一直角三角

因此kx=k\X\+#2X2，即k=k\+ki.形，。角的对边是

2.8如图所示，质量为，〃的摆悬于架mbcos（pf邻边是mg

上，架固定于小车上，在下述各种情况中，+mbsin（p,由此可

求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角打）及得：

线中的张力丁.

八mbcos(D

TiF（1）小车沿水tan6=-------------------

皿mg+mbsin(p

平线作匀速运动；

^7777777^777^77777777777777777777^77777777/

tl/l（2）小车以加因此角度为

图2.6

速度4沿水平方向八bcos(p

0=arctan-----------

g+/?sin0

运动；

（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜■

而与水平而成e角；而张力为

（4）用与斜面平行的加速度6把小车沿=+g?+2bgsin(p

斜面往上推（设"二Z0；

in

0\

B

(5)与上一问由丁图2.9

相比，加速度的方

V：

向反向，只要将上

一结果中的〃改为-〃

就行了.所以7^=2mg=1.96(N).

2.9如图所(2)由(1)式积分得

小：质量为m-1-,

—底=glcos夕+C,

10kg的小球，拴在

长度/=5m的轻绳子的一端，构成一个当6=60。时，vc=0,所以C=」8/2,

摆.撰动时，与竖直线的最大夹角为因此速度为

60°.求:

vc=Jg/(2cos6-l).

(1)小球通过竖直位置时的速度为多

少？此时绳的张力多大？切向加速度为

(2)在60。的任一位置时，求小球速at=gsin。；

度-与。的关系式.这时小球的加速度为多法向加速度为

大？绳中的张力多大？

(3)在0=60。时，小球的加速度多大？①，=?=g(2cose-l).

A

绳的张力有多大？

所以张力为

［解答］(1)小球在由77?-mgcosO=matl,

运动中受到重力和绳子

Tc=mgcos。+man=mg(3cos。-1).

的拉力，由于小球沿圆(3)当夕二60。时，切向加速度为

弧运动，所以合力方向

沿着圆弧的切线方向，

即F=-mgsinO,负号

表示角度。增加的方向为正方向.法向加速度为

小球的运动方程为an=0,

绳子的拉力

T=mg/2=0.49(N).

dr2

［注意］在学过机械能守恒定律之后，求

其中s表示弧长.由于$=所=/仇所以速度解速率更方便.

为2.10一质量为小的小球，最初静止于

ds,d。如图所示的A点，然后沿半径为/■的光滑圆弧

v=—=/—,

didr的内表面ADC8下滑.试求小球在C点时的

因此角速度和对圆弧表面的作用力.

尸dvdvd。mdv［解答］此

F=in——=ni------=—v—，

dr60dr/d。题情形与上一

即v-dv=-g/sin例仇(1)题的数学类型

是相同的.

取积分J：vdv=-g/sin069,

取上题

i0中/二;•，对(1)式积分

得一4=g/cos。

260aJ；vdv=-^sin^d^,

解得a

得—=rgcosO

0=\j'^=2.21(m-s,).

-9(r

解得速度为利用V=dA如，可得

%=J2g〃cosa，d2xdvdrdvdv

--=—=----=v—,

drd/d/drdr

角速度为

因此方程变为

.Mr

wvdv=----,

由于Nc-nigcosa=2〃?gcosa,所以积分得

Nc=3/)igccynO.1、k

—mv~=—+C.

2.11小石块沿2x

一弯曲光滑轨道上由利月初始条件，当x=xo时，v=0,所以

静止滑下力高度时，

C=-k/xQ,因此

它的速率多大？(要

T、kk

求用牛顿第二定律积—