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数值分析第二章插值法Hermite插值12--------(1)两点三次Hermite插值F3例：设x0

x1

x2,已知f(x0)、f(x1)、f(x2)和f’(x1),求多项式P(x)满足P(xi)=f(xi)，i=0,1,2，且P’(x1)=f’(x1),并估计误差。模仿Newton多项式的思想，设解：首先，P的阶数=3A为待定系数，可由P’(x1)=f’(x1)确定与Lagrange分析完全类似45

求Hermite多项式的基本步骤：

写出相应于条件的、的组合形式；

对每一个找出尽可能多的条件给出的根；其中

根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式；

根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数；由可得67大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流8

最后完整写出H(x)。910两点三次Hermite插值的误差为11构造辅助函数均是二重根连续使用4次Rolle定理，可得，使得12即所以,两点三次Hermite插值的余项为以上分析都能成立吗？13一般的，总认为次数越高，逼近f(x)的精度就越好，但实际上并非如此。14§2.6分段低次插值/*piecewisepolynomialapproximation*/RememberwhatIhavesaid?IncreasingthedegreeofinterpolatingpolynomialwillNOTguaranteeagoodresult,sincehigh-degreepolynomialsareoscillating.例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n

越大，端点附近抖动越大，称为Runge现象Ln(x)

f(x)

分段低次插值15不同次数的Lagrange插值多项式的比较图Runge现象从上图可以看出，随着n的增加，Ln(x)的计算结果

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