2024-2025学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2 2.2.1 双曲线及其标准方程（教师用书）教学实录 新人教A版选修1-1

2024-2025学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.22.2.1双曲线及其标准方程（教师用书）教学实录新人教A版选修1-1科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.22.2.1双曲线及其标准方程（教师用书）教学实录新人教A版选修1-1教学内容分析1.本节课的主要教学内容：本节课将围绕双曲线及其标准方程展开，深入探讨双曲线的性质、图像及其方程的求解方法。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课内容与学生在平面几何、解析几何等方面的知识紧密相关，特别是对二次函数、圆的性质等知识的掌握程度。教材章节为新版人教A版选修1-1第2章圆锥曲线与方程中的2.2.1节。核心素养目标教学难点与重点1.教学重点，

①理解双曲线的定义及其几何特征，能够根据定义判断一个曲线是否为双曲线。

②掌握双曲线的标准方程及其参数a、b、c之间的关系，能够根据双曲线的几何特征写出其标准方程。

③学会利用双曲线的标准方程求解双曲线上的点的坐标，以及与双曲线相关的几何问题。

2.教学难点，

①理解双曲线的渐近线概念，并能推导出双曲线的渐近线方程。

②掌握双曲线的几何性质，如对称性、顶点、焦点、实轴和虚轴等，并能应用于解决实际问题。

③学会将实际问题转化为双曲线问题，并利用双曲线方程进行求解，这一过程中需要较强的抽象思维和建模能力。

④在解决双曲线问题时，能够灵活运用代数方法和几何方法，将两者有机结合，提高解题效率。教学资源-软硬件资源：计算机、投影仪、电子白板

-课程平台：学校内部教学平台

-信息化资源：双曲线图形动态演示软件、相关数学教育网站资源

-教学手段：多媒体课件、实物教具（如双曲线模型）、黑板板书教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求，如要求学生阅读双曲线的定义和性质，了解双曲线的标准方程。

设计预习问题：围绕双曲线及其标准方程，设计一系列具有启发性和探究性的问题，如“如何判断一个曲线是否为双曲线？”、“双曲线的标准方程中参数a、b、c分别代表什么？”等。

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果，例如通过查看学生的在线互动和提交的预习成果。

学生活动：

自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解双曲线的基本概念和性质。

思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问，例如学生可能对双曲线的对称性感到困惑。

提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处，以便教师了解学生的学习情况。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过展示双曲线的实际应用案例，如天文观测中的双曲线轨道，引出XX课题，激发学生的学习兴趣。

讲解知识点：详细讲解双曲线的标准方程及其推导过程，结合实例帮助学生理解方程的物理意义。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生根据双曲线的标准方程推导出其渐近线方程，培养合作学习能力和逻辑推理能力。

解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，如“如何确定双曲线的焦点位置？”进行及时解答和指导。

学生活动：

听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题，如“双曲线的焦点与顶点有何关系？”

参与课堂活动：积极参与小组讨论，通过合作探究双曲线的性质，如对称性、渐近线等。

提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，如“双曲线在实际生活中的应用有哪些？”勇敢提问并参与讨论。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置与双曲线相关的应用题，如求解双曲线上的点到焦点的距离，巩固学生对双曲线方程的应用。

提供拓展资源：提供与双曲线相关的拓展资源，如在线数学软件、相关数学竞赛题目等，供学生进一步学习。

反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导，如指出解题过程中的错误和改进方法。

学生活动：

完成作业：认真完成老师布置的课后作业，如绘制双曲线的图像，分析其几何性质。

拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习，如研究双曲线的物理意义或历史发展。

反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议，例如“如何在未来的学习中提高自己的几何直观能力？”知识点梳理1.双曲线的定义

-双曲线是一种平面曲线，它由两个定点（焦点）F1和F2上的所有点P组成，使得点P到两个焦点的距离之差的绝对值等于常数2a（即|PF1|-|PF2|=2a，或|PF2|-|PF1|=2a）。

-双曲线有两个分支，分别称为左支和右支。

2.双曲线的标准方程

-双曲线的标准方程为x²/a²-y²/b²=1或y²/a²-x²/b²=1，其中a和b是实数，且a>0，b>0。

-方程中的a²和b²分别表示实轴和虚轴的长度平方，c²=a²+b²表示焦距的长度平方。

3.双曲线的几何性质

-顶点：双曲线的顶点位于实轴上，坐标为(-a,0)和(a,0)。

-焦点：双曲线的焦点位于实轴上，坐标为(-c,0)和(c,0)，其中c是焦距的长度。

-渐近线：双曲线的渐近线是两条直线，它们的方程为y=±(b/a)x，表示双曲线的无限延伸趋势。

4.双曲线的渐近线方程

-双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x，其中a和b分别是双曲线标准方程中的参数。

-渐近线表示双曲线在无限远处的行为，即当x或y趋向于无穷大时，双曲线的值趋向于渐近线的值。

5.双曲线的对称性

-双曲线具有关于实轴和虚轴的对称性，即关于x轴和y轴的对称。

-这意味着双曲线上的任意一点P关于实轴和虚轴的对称点也在双曲线上。

6.双曲线的切线和法线

-双曲线上的任意一点P处的切线与实轴和虚轴的夹角相等，且切线与实轴和虚轴的夹角的正切值等于双曲线在该点的导数。

-双曲线上的任意一点P处的法线垂直于切线，且法线的斜率是切线斜率的负倒数。

7.双曲线的离心率

-双曲线的离心率e定义为e=c/a，其中c是焦距的长度，a是实轴的长度。

-离心率是双曲线的一个关键参数，它决定了双曲线的形状和大小。

8.双曲线的焦点距离

-双曲线的焦点距离2c等于两个焦点之间的距离，即2c=|F1F2|。

-焦点距离是双曲线的一个重要性质，它决定了双曲线的形状和大小。

9.双曲线的实轴和虚轴

-双曲线的实轴是连接两个顶点的线段，长度为2a。

-双曲线的虚轴是垂直于实轴的线段，长度为2b。

10.双曲线的应用

-双曲线在物理学、天文学、工程学等领域有广泛的应用，如描述天体的运动轨迹、电磁场的分布等。

-双曲线的应用还包括优化问题、图像处理、数据压缩等方面。课后作业1.已知双曲线的标准方程为x²/9-y²/16=1，求：

（1）实轴长和虚轴长；

（2）焦点坐标；

（3）渐近线方程。

答案：

（1）实轴长=2a=2*3=6，虚轴长=2b=2*4=8；

（2）焦点坐标为(-c,0)和(c,0)，其中c²=a²+b²，所以c²=3²+4²=9+16=25，c=5，焦点坐标为(-5,0)和(5,0)；

（3）渐近线方程为y=±(b/a)x，即y=±(4/3)x。

2.一条双曲线的焦点距离为10，实轴长为6，求双曲线的标准方程。

答案：由于焦点距离为10，即2c=10，所以c=5。实轴长为6，即2a=6，所以a=3。由c²=a²+b²，得b²=c²-a²=5²-3²=25-9=16，所以双曲线的标准方程为x²/9-y²/16=1。

3.双曲线x²/16-y²/9=1的左支上一点P的横坐标为-4，求点P到双曲线的焦点的距离。

答案：双曲线的焦点坐标为(-c,0)和(c,0)，其中c²=a²+b²=16+9=25，c=5。点P到左焦点的距离为|PF1|=√((-4+5)²+0²)=√(1)=1。

4.已知双曲线x²/9-y²/4=1上一点P的纵坐标为2，求点P到双曲线的焦点的距离。

答案：双曲线的焦点坐标为(-c,0)和(c,0)，其中c²=a²+b²=9+4=13，c=√13。点P到左焦点的距离为|PF1|=√((-3)²+(2)²)=√(9+4)=√13。

5.一条双曲线的焦点距离为8，渐近线方程为y=±(3/4)x，求双曲线的标准方程。

答案：由于渐近线方程为y=±(b/a)x，所以b/a=3/4。焦点距离为8，即2c=8，所以c=4。由c²=a²+b²，得b²=c²-a²=4²-(3/4*a)²。解得a=2，b=3/2。因此，双曲线的标准方程为x²/4-y²/(9/4)=1，即x²/4-y²/9/4=1。教学反思教学一节新课总是充满了挑战与惊喜，尤其是像双曲线这样的知识点，既有抽象的数学概念，又有丰富的实际应用。在回顾了这一节课的教学过程后，我想分享一些我的教学反思。

首先，我觉得在导入环节做得还不错。通过一个与双曲线相关的实际案例，比如卫星轨道的形状，我成功地吸引了学生的注意力，并让他们对双曲线有了初步的认识。我发现，当学生们能够将抽象的数学知识与现实生活联系起来时，他们的学习兴趣会更加浓厚。

接着，在讲解双曲线的标准方程时，我注意到了一些学生对于参数a、b、c的理解存在困难。我意识到，我可能需要花费更多的时间来解释这些参数的实际意义，以及它们如何影响双曲线的形状和位置。为了帮助学生更好地理解，我决定在下一节课中引入更多的几何直观工具，比如动态图形和模拟实验。

在课堂活动中，我设计了一些小组讨论和问题解决任务，以促进学生的合作学习和批判性思维。我注意到，在小组讨论中，一些学生表现得很积极，能够提出有见地的观点，而有些学生则相对沉默。这让我意识到，我需要更多地鼓励那些不太活跃的学生，创造一个更加包容和鼓励提问的课堂氛围。

在解答学生的疑问时，我发现了一些共性的问题，比如对渐近线的理解和对双曲线性质的掌握。为了解决这些问题，我在课后准备了一些补充材料，如额外的练习题和解释视频，以便学生能够在家中复习和巩固。

在教学过程中，我也意识到了自己的一些不足。例如，在讲解双曲线的对称性时，我没有给出足够的例子来帮助学生理解。这让我反思，今后在教学时，我应该更加注重举例说明，特别是对于那些比较难以理解的概念。

此外，我对于课堂时间的把握也有待提高。在讲解双曲线的几何性质时，我发现时间有些紧张，导致一些重要的内容没有充分展开。因此，我需要在课前做好更详细的备课，合理分配时间，确保每个知识点都能得到充分的讲解。

最后，我认为在教学评价方面，我还可以做得更好。我通常会通过作业和测验来评估学生的学习情况，但我觉得还可以引入更多的形式，比如课堂参与度和小组合作的评价，以更全面地了解学生的学习效果。课堂小结，当堂检测课堂小结：

今天我们学习了双曲线及其标准方程。首先，我们了解了双曲线的定义，它是平面上所有点到两个固定点（焦点）的距离之差为常数的点的集合。这个定义帮助我们理解了双曲线的基本性质。

接着，我们学习了双曲线的标准方程，它有两种形式：x²/a²-y²/b²=1和y²/a²-x²/b²=1。这两个方程分别对应于双曲线的左右开口和上下开口。我们讨论了参数a和b的含义，它们分别代表实轴和虚轴的长度，而参数c则是焦距，满足c²=a²+b²。

在几何性质方面，我们学习了双曲线的顶点、焦点、渐近线等概念。顶点是实轴上的点，焦点是双曲线上的特殊点，渐近线则是双曲线无限延伸时接近的直线。我们还讨论了双曲线的对称性、切线和法线的性质。

为了帮助学生巩固今天所学的内容，我准备了一些当堂检测题。

当堂检测：

1.写出双曲线x²/4-y²/9=1的焦点坐标。

答案：焦点坐标为(-5,0)和(5,0)。

2.如果双曲线的焦点距离为10，实轴长为6，求双曲线的标准方程。

答案：双曲线的标准方程为x²/9-y²/16=1。

3.双曲线x²/9-y²/4=1上一点P的横坐标为-3，求点P到双曲线的焦点的距离。

答案：点P到左焦点的距离为|PF1|=√((-3+3)²+0²)=√0=0，点P到右焦点的距离为|PF2|=√((-3-3)²+0²)=√36=6。

4.给定双曲线的渐近线方程y=±(3/2)x，求双曲线的标准方程。

答案：双曲线的标准方程为y²/9-x²/4=1。

5.证明双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x。

答案：由于双曲线的标准方程为x²/a²-y²/b²=1，当x趋向于无穷大时，y²/b²趋向于0，因此y/b趋向于0，即y/b=(x/a)。同理，当y趋向于无穷大时，x/a趋向于0，即y/b=(x/a)。整理得到y=±(b/a)x，这就是双曲线的渐近线方程。板书设计1.双曲线的定义

①双曲线：平面内所有点到两个定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数2a的点的集合。

②定点：焦点

③常数：2a

2.双曲线的标准方程

①标准方程：x²/a²-