平面向量 2025山东各地市一模数学试题分类汇编

平面向量-山东各地市2025届高三数学一模模拟试题汇编14.（2025·山东潍坊·一模）已知同一平面内的单位向量，，，则的最小值是________；若与不共线，，，，，则________．【答案】①.②.2【解析】【分析】利用数量积定义及运算律可得第一空；设，利用平面向量的线性运算分类讨论结合共线的充要条件确定的值即可.【详解】要使最小，需模长最大，且与夹角为，故当同向，且反向时，，可取得最小值；设，即，又，，均为单位向量，若共线，则首尾相连一条线段，则此时与共线，不符题意；所以不共线，则首尾相连形成一个菱形，即，因为，，所以，则，所以.故答案为：，2.（2025·山师附中·一模）已知向量满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据投影向量的定义求解．【详解】由题意，，所以在上的投影向量为，故选：A．5.（2025·山东青岛·一模）已知，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用投影向量公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果.【详解】在上的投影向量为.故选：A.3.（2025·山东淄博·一模）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设出的坐标，利用给定条件得到，再利用投影向量公式求解即可.【详解】设，因为，所以，解得，，即向量在向量上的投影向量为.故选：A.4.（2025·山东泰安·一模）已知向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由两边平方可得，再结合向量夹角的计算可得.【详解】，所以，两边平方可得，又，所以，所以.故选：D5.（2025·山东临沂·一模）在中，点是的中点，点在上，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，，根据点在上，即可列方程求解.【详解】由题意点是的中点，所以，又，所以，解得，又因为点在上，所以，解得或（舍去）.故选：B.9.（2025·山东菏泽·一模）已知平面向量，，则下列说法正确的有（）A.向量，不可能垂直 B.向量，不可能共线C.不可能为3 D.若，则在上的投影向量为【答案】BD【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示可判断A；根据向量平行的坐标表示可判断B；根据向量模长坐标公式可判断C；根据在上的投影向量为可判断D.【详解】由题意知，.对于选项A，若向量，则，即，显然此式能成立，故A错；对于选项B，若向量，则有，即，即，显然此式不成立，故B正确；对于选项C，，则当时，，故C错；对于选项D，若，则，，则在上的投影向量为，故D正确.故选：BD15.（2025·山东齐鲁名校大联考·一模）在中，．若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由为的中点得到，再由，即可求解；【详解】因为，所以为的中点，所以．又，所以，所以，所以，所以，所以．故选：C16.（2025·山东齐鲁名校大联考·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，P为内一点．若点P满足，且，则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】由三角形内心的性质与半角公式求解【详解】由，得，即，整理可得，故点P在的平分线上，同理可得点P在的平分线上，所以点P为的内心．如图，延长，交于点D，过点P作，，垂足分别为E，F，设，，由，得，由D，A，C三点共线得，所以．因为，所以，代入得，当且仅当，即时等号成立，故的最大值为．本资料由“高中数学领